X -\- ^,x ~yc + -— A^ + y^ Aj H- ^ A

àx

j l Aj - ( To + ^ A^ + ^ Aj 4- -T- A;

dx âf

il est clair que, si l'on désigne leur distance primitive par

on trouvera

— Ax r-^ Aic — ^- Av , ' A:; —

! + £/ \ âx ôy - ()z

()x âf

àX

Iz -...].

\ ' \ dx à y '^' à:

Soient maintenant a, p, y les angles que forme, avec les demi-axes des coordonnées positives, le rayon vecteur /• mené de la molécule ni à la molécule m'. On aura évidemment

A.57t=: /-COSa, A/ =:::/• ces (3, Iz =z /' COS'/',

et, en supposant la distance /■ infiniment petite, on tirera de l'équation (4) divisée par r-

cos a r-^ ces c. ~ cos ;i ,- cos y

dx dy '*- '

+ COS 3 ^ cos a r- cosp ^ cos y

^ ^ dx dv dz ' /

d^^ + [ cos y — -r-cosa

~ày

-cosp

dz dz

ces-

8i SUR LA CONDENSATION ET LA DILATATION

La quantité i + £, déterminée par la formule (6), n'est autre chose que le rapport du rayon vecteur /• à l'expression (3), c'est-à-dire le rapport entre les distances qui séparent les deux molécules infiniment voisines m et m , dans les deux états du corps solide. Par suite, la valeur numérique de z servira de mesure à ce qu'on peut nommer la dilatation ou la condensation linéaire du corps suivant la direction du rayon vecteur r, savoir, à la dilatation linéaire, si £ est une quantité positive, et à la condensation ou contraction linéaire, dans le cas contraire.

Concevons à présent qu'à partir du point (.r, j, :;) on porte sur la droite qui forme, avec les demi-axes des coordonnées positives, les angles a, fl, y, une longueur équivalente à i -^ £; et désignons par

les coordonnées de l'extrémité de cette longueur. On aura

^^' ces a ces (3 cosy

et la formule (G) donnera

ôl ùl dl V- / ^ On ^ ()n On

Ov Oy Os

Cette dernière équation représente un ellipsoïde dont la construction suffit pour indiquer les rapports qui existent entre 4es dilatations ou condensations linéaires dans les différentes directions autour du point (xyVyz). Nous appellerons dilatations ou condensations principales celles qui correspondent aux trois axes de l'ellipsoïde, et parmi lesquelles on rencontre toujours les dilatations ou condensations Tnœximum ou minimum. Les autres se trouvent symétriquement distribuées autour des trois axes de ce même ellipsoïde.

On peut aisément déduire des équations (G) et (8) les valeurs des variables £ et a, p, y qui correspondent aux condensations et dilata-

lions linéaires principales. En effet, si l'on pose, pour abréger.

(9) (,--re)=''

et, de plus,

dj7 / \dx j \dx

! ^ dlfdl \ dn d-n ^ (<K \ dK ^" ^ p^ = Tz U -V ^TzT.-"' U " V ^'

1 \ dx j dy dx\dy ) dx dy '

les formules (6) et (8) se réduiront aux suivantes :

( 9= A cos^a + H cos-(3 + (] cos^y + 2D cos|3 cosv ( » 2 )

( H- 2E cosy cosa + 2F cosa cosj3,

(i3) Ax^H- By-+ Cz^^- 2Dyz + 2Ezx + 2Fxy = i.

Or, dans, l'ellipsoïde représenté par l'équation (i3), le rayon vecteur mené du centre à un point de la surface sera normal à cette surface, si les angles a, [i, y, formés par le même rayon vecteur avec les demiaxes des coordonnées positives, vérifient la formule

, Acosa-i-Fcos(3 4-Ecosy Fcosa-+-Jîcos[3 + D cosy Ecosa + D cosjS + C cosy ^ ^'"*^ cosoc ~' cos[3 "" cosy '

et, comme les trois fractions qui précèdent, quand elles devieniuMit égales entre elles, sont en même temps équivalentes au rappoi't

(Acosa+Fcos[3+Ecosy)cosa+(Fcosa4-Bcos[34-Dcosy)cos(3+(Ecosa-t-Dcosj3+Ccosy)cosy .

cos^ a + cos^ (3 H- cos^ y ~~ *

il est clair (jue les valeurs de 0, a, (i, y correspondantes aux dilatations

ou condensations principales seront déterminées par la formule

(i5) A cosa+F cos(3+E cosy F cos«+]J cosfi+D cosy E cosa+D cosjS+C cosy ^ cosoc 008(3 ~ cosy ~^'

jointe à l'équation

('6) cos'a-f-cos^[3 + cos2y = 1.

D'ailleurs on conclura de la formule (i5)

/ (A — Ç)cosa-+-Fcos|3H-Ecosy = o,

('7) < Fcosa-f-(B — 6)cos|3 + Dcosy =o,

( E cosa + D cos(3 + (C — 5) cosy = o, et, par suite,

(i8) {A-0){B-0){C-0)-m{A-0)-FJ{n-6}-FHC-e)-^2l)EF^.o.

Soient 0', 0", (y les trois racines de cette dernière équation, et e', e", i'" les valeurs correspondantes de s, en sorte qu'on ait

\/0' sjb" sJO'"

Chacune des trois quantités i\ i", i'" représentera toujours, lorsqu'elle sera positive, une dilatation principale et, lorsqu'elle sera négative, une condensation principale prise avec le signe — . De plus on aura évidemment, en vertu de l'équation (i8),

(20) ()"Q"' + 6'"6'+(5'0"=BC + CA + AB-D2-E2-F% ( B' d" 9'" =z ABC - AD^ - BE- — CF^ + 2 DEF.

Si l'on supposait les axes coordonnés parallèles aux droites menées par le point (a?, j, z), et correspondantes aux dilatations ou condensations linéaires principales, l'équation (i3) représenterait un ellipsoïde rapporté, non seulement à son centre, mais encore à ses axes. On aurait donc alors

ou, ce qui revient au même,

àz dy " dy dz ây dz 'ôy dz^

Él^Û —^ ^ ^^ ^^ da.^ dz ~ dz dx dz dx dz dx'

^ ,^ àl dl dri &n ^^.

dy dx ~ dx dy dx dy dx dy '

et comme l'équation (i8) se réduirait à

(23) (A-^)(li-5)(C-'5)=:o.

on pourrait prendre

Par suite, la formule (1-2) donnerait

(25) 0= ()'cos2 3c + 6"cos2|3 4- 5'"cos--/, ou, ce qui revient au même,

(26) (.-1-Y- f^^^'V^ /cos^\\^ f cosy

L'équation (26) sert à déduire la dilatation ou condensation, mesurée suivant un axe quelconque, des condensations ou dilatations principales, mesurées suivant trois axes qui se coupent à angles droits, quand on connaît les angles a, ^, y que forme le premier axe prolongé dans un certain sens avec les trois autres.

Outre les condensations et dilatations linéaires dont nous venons de parler, il peut être utile de considérer la condensation ou dilatation d'un très petit élément de volume qui renferme le point (^, j, :■). Or, supposons que, en vertu du changement d'état du corps solide, ce petit élément ait varié dans le rapport de i à i + 0. La valeur numérique de u servira précisément à mesurer ce qu'on peut appeler la dilalalion ou la condensation du volume au point (^tr, j, ^), savoir la dilatation du volume, si la quantité u est positive, et la condensation du volume

dans le cas contraire. Ajoutons qu'il suffira, pour déterminer la quantité u, de connaître les condensations ou dilatations linéaires principales, c'est-à-dire, en d'autres termes, les valeurs de £', s", £'". En effet, concevons, pour fixer les idées, que le petit élément de volume ait été renfermé, dans le premier état du corps solide, sous une surface sphérique décrite avec un rayon infiniment petit désigné par p. Ce petit élément, qui avait alors pour mesure le produit

prendra évidemment, après le changement d'état, la forme d'un ellipsoïde, dont les trois axes seront

('( en conséquence il deviendra équivalent au produit

A7:pH(,4 e')(i + £")(! +£'").

On aura donc

}7rp»

ou, ce qui revient au-même,

En combinant cette dernière équation avec la troisième des formules (20), on trouvera

(9.8) ('-—VizzABC-AD^-BE^-CF-^+aDEF.

Les équations (10), (i [), (12), (17), (27) et (28) se simplifient, quand la forme du corps solide varie très peu dans le passage du premier état au second. En effet, si l'on considère les quantités

comme infiniment petites du premier ordre, on tirera des équations dont il s'agit, en remplaçant 0 par (i -^ £)-^ et négligeant les infini-

DES COUPS SOLIDES, ment petits du second ordre ou d'un ordre plus élevé.

li = i — 2^- , OY

dz à y

El ^^ dx dz

s = -^ cos-a + -^. cos-^ -H I cos'-y + (^^ + |.) cos^ cosy -^Kra^-^-dl) cos7COsa + (^^. + -) cosacos^;

COSa

+ ^JC0SP+ (^; + |i|cosy=o,

\dj- ôzj \0y Oz' ^

s 1 cosy =0,

<]l an <K dx d y dz

Alors aussi l'élimination des angles a, [3, y entre les formules (32) produira l'équation

01 \ fàn dx V [ôf

()ri , (K àz

ôy) \ôx dz) \dy ■ dx

dy J \ dx

ai (HV- f()n dx^ dz) \dv

dl di^Y (^^1 dy dx J \dz

qui aura pour racines les quantités i\ i", e", et de laquelle on conclura

dz, dn d^

dx dy dz

^n m , m , , , n an de dt di di dn dy dz dz dx dx dy

^\dz'^dy) ^[dx'^dz) ^[dy'^dx)'

dx dy dz \ dx \dz dy) 4 dy\dx dz

4 dz \dy ^ dx) ^ 4 V^:; "^ dy) \dx '^ dz) \dy '^ dx ^

OEut'ies tle C. — S. II, t. VII.

Si l'on supposait les axes coordonnés parallèles aux droites suivant lesquelles se mesurent les dilatations et condensations principales relatives au point (^r, j, -), les conditions (21) ou (22) seraient vérifiées. On aurait donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre ou d'un ordre plus élevé,

âz ôy ax Oz df dx

et, comme ])ar suite l'équation (34) se réduirait à

on pourrait prendre

^^^^ '^d^' '~T/ '-'dV

Dans la même supposition, la formule (3i) donnerait

(3q) e =^ -v^cos-a + -t- cos^S-h -y^ cos'y,

^ ^^ dx dy ^ âz '

OU, ce qui revient au même,

(4o) £ = s' ces- OC 4- e" cos-;3 + s'^cos'y.

Cette dernière se déduit immédiatement de l'équation (2G), quand on considère £, £', i", £'" comme des quantités infiniment petites.

Revenons au cas où les axes coordonnés sont dirigés suivant des droites quelconques. Alors, si l'on fait, pour abréger,

àl „ dn ^ <K

dx ôy Oz

\ dz dy dx dz dy dx

la formule (3i) donnera

I £ = -l, cos^a + 1)1) cos2,5 + £ cos^y