I -i- 2(jt)cos(3 cosy -T- 2Ccosy cosoc H- 2.f cosa cosf

Concevons maintenant qu'à partir du point (x,y,z-) on porte, sur la droite qui forme avec les demi-axes des coordonnées positives les angles a, [3, y, une longueur dont le carré représente la valeur numérique du rapport -; et désignons par x -\-\, y -+- y, :: + z les coordonnées de l'extrémité de cette longueur. On aura

(43) J^ = ^=J=±./±Î, ces a cosp ces y y s

et l'on tirera de la formule (42)

(44) .,l,x'' + 1)1)}'^+ SzM- 2(Dyz + 2*::zx -I- 2.îxy = ± I.

L'équation (44)» semblable à la formule (29) de la page 71, appartient à une surface du second degré, dont le centre coïncide avec le point (.r,j, :;). Cette même équation représente un ellipsoïde, dans le cas où £ ne change pas de signe tandis que l'on fait varier les angles a, [3, y, et se réduit alors à

( 45 ) «.l, \.^ -+- iJby' -f- C z- -h 2 CDyz -h 2Cz\-\- 2 4\y= i,

OU bien à

( 46 ) A, X- + 1)1 y- + £ z- + 2 tDyz 4- 2 c zx -H 2 rfxy := — I ,

selon que l'on suppose £ constamment positif ou constamment négatif. Dans ce cas, il n'y aura, autour du point (x,y,z), que des dilatations linéaires, si £ est positif, et des condensations linéaires, si £ est négatif. Dans le cas contraire, l'ellipsoïde se trouvera remplacé par le système de deux hyperboloïdes conjugués, dont l'un, représenté par l'équation (45), comprendra les extrémités des rayons vecteurs dirigés dans les divers sens suivant lesquels le corps solide se sera dilaté, tandis que l'autre, représenté par l'équation (4^)» comprendra les extrémités des rayons vecteurs dirigés dans les divers sens suivant lesquels le corps solide se sera condensé. Ajoutons que, dans tous les cas possibles, les condensations ou dilatations maximum ou minimum cor-

d'2 SUR L\ CONDENSATION ET LA DILATATION

respondront évidemment à deux axes de Tellipsoïde ou des deux hyperboloïdes. Cela posé, on pourra énoncer la proposition suivante :

Thkorkme. — Supposons que, par l'effet d'une cause quelconque, un corps solide ait passé d'un premier état naturel ou artificiel à un second état très peu différent du premier, et que, à partir d'un point donné de ce corps solide, on porte, sur chacun des demi-axes aboutissant au même point, une longueur équivalente à l'unité divisée par la racine carrée de la condensation ou dilatation linéaire mesurée suivant le demi-axe que l'on considère. Cette longueur sera le rayon vecteur d'un ellipsoïde qui aura pour centre le point {x, y, z), et dont les trois axes correspondront à trois dilatations ou condensations principales. Quant aux autres dilatations ou condensations, elles seront symétriquement distribuées autour de ces trois axes. Dans certains cas, l' ellipsoïde dont il s'agit se trouvera remplacé par deux hyperboloïdes à une nappe et à deux nappes, qui, étant conjugués l'un à l'autre, auront le même centre avec les mêmes axes, et seront touchés à r infini par une même surface conique du second degré. Ces cas sont ceux où il y aura, autour du point donné, dilatation dans un sens, condensation dans un autre. Alors la surface conique dont nous tuerions de parler séparera la région dilatée, qui correspondra au premier hyperboloïde, de la région condensée qui correspondra au second, et les génératrices de cette surface conique indiqueront les directions suivant lesquelles il n'y aura m dilatation ni condensation. Ajoutons que, parmi les condensations ou dilatations principales, on rencontrera toujours, si le corps est dilaté dans tous les sens, ou condensé dans tous les sens autour du point (.r, y, z), un maximum et un minimum de dilatation, ou bien un maximum et un minimum de condensation ; et, si le contraire arrive, une dilatation maximum avec une condensation maximum.

Il peut arriver que les trois condensations ou dilatations principales, ou au moins deux d'entre elles, deviennent équivalentes ou se réduisent à zéro. Alors l'ellipsoïde et les hyperboloïdes mentionnés dans le théorème précédent deviennent des surfaces de révolution ou des cylindres, et peuvent môme se réduire à une sphère ou à un système

(le deux plans parallèles. Ainsi, en particulier, lorsque le corps solide est dilalé dans tous les sens ou condensé dans tous les sens, et que les condensations ou dilatations principales sont équivalentes, l'ellipsoïde se cliani^e en une sphère, et la condensation ou dilatation linéaire a une valeur constante, (jui reste la même, dans toutes les directions autour du point Çr, y, z). Dans ce cas, la condensation ou dilatation du volume est évidemment le triple de la condensation ou dilatation linéaire.