OU ASSUJETTI A CERTAINES CONDITIONS

§ I. — Considérations générales.

Lorsqu'un système invariable, libre ou assujetti à certaines conditions, se meut dans l'espace, il existe entre les vitesses des différents points certaines relations qui, dans beaucoup de cas, s'expriment très simplement, et que l'on déduit des formules relatives à la transformation des coordonnées. Je vais montrer, dans cet article, que les mêmes relations peuvent être tirées du principe de vitesses virtuelles. Ordinairement, on se sert de ce principe pour déterminer les forces capables de maintenir en équilibre un système de points matériels assujetti à des liaisons données, en supposant connues les vitesses que ces points peuvent acquérir dans un ou plusieurs mouvements virtuels du système, c'est-à-dire dans des mouvements compatibles avec les liaisons dont il s'agit. Mais il est clair qu'on peut renverser la question, et qu'après avoir établi les conditions d'équilibre par une méthode quelconque, ou même, si l'on veut, par la considération de quelques-uns des mouvements virtuels, on pourra se servir, pour déterminer la nature de tous les autres, du principe que nous venons de rappeler. Ajoutons qu'il est utile, dans cette détermination, de substituer au principe des vitesses virtuelles un autre principe que l'on tire immédiatement du premier, et qui se trouve renfermé dans la proposition suivante.

Théorèmk. — Supposons que deux systèmes de forces soient successivement appliqués à des points assujettis à des liaisons quelconques. Pour que ces deux systèmes de forces soient équivalents, il sera nécessaire, et il suffira que, dans un mouvement virtuel quelconque, la somme des moments virtuels des forces du premier système soit égale à la somme des moments virtuels des forces du second système.

Démonstration. — Supposons que les deux systèmes de forces donnés se composent, le premier, des forces P, P', P", ...; le second, des forces Q, Q', Q", Ces deux systèmes seront équivalents si un troisième système, choisi de manière à faire équilibre au premier, fait en même temps équilibre au second. Or soient R, R', R", ... les forces qui composeront ce troisième système. Pour que le principe des vitesses virtuelles soit vérifié, il sera nécessaire, et il suffira, que, dans un mouvement virtuel quelconque, la somme des moments virtuels des forces R, R', R", ..., prise en signe contraire, devienne équivalente, non seulement à la somme des moments virtuels des forces P, P', P", ..., mais encore à la somme des moments virtuels des forces Q,

Q', Q", Donc ces deux dernières sommes devront être égales et

affectées du même signe.

Nous allons maintenant appliquer le théorème qui précède à la détermination des mouvements que peut prendre un système de points matériels liés invariablement les uns aux autres. Nous commencerons par examiner le cas où tous ces points sont compris dans un plan fixe dont ils ne doivent jamais sortir. Nous passerons ensuite au cas général où on les suppose disposés arbitrairement dans l'espace.

§ II. — Sur le mouvement d'an système de points matériels, qui, étant liés invariablement les uns aux autres, et compris dans un plan fixe, se meuvent sans sortir de ce plan.

Considérons un système de points matériels qui, étant liés invariablement les uns aux autres et compris dans un plan fixe, se meuvent sans sortir de ce plan. Le mouvement du système étant compatible

avec les liaisons données sera un mouvement virtuel. Cela posé, on déduira sans peine, du théorème établi dans le § I, les propositions suivantes :

Théorème I. — Si, à une époque quelconque du mouvement, deux jwints du système invariable ont des vitesses nulles, les vitesses de tous les autres points se réduiront à zéro.

Démonstration. — Ce théorème, qui est évident par lui-même, quand les deux points donnés ont des vitesses constamment nulles, c'est-à-dire quand ils demeurent en repos, peut être démontré, dans tous les cas, à l'aide des raisonnements que nous allons indiquer.

Soient A', A" les points dont les vitesses sont nulles, et co la vitesse d'un troisième point A choisi arbitrairement. Si l'on applique à ce dernier point une force P, comprise dans le plan fixe et dirigée d'une manière quelconque, on pourra généralement la décomposer en deux autres forces P', P" dirigées suivant les droites AA', AA". D'ailleurs, ces droites étant invariables, on pourra supposer la force P' appliquée au point A', la force P" au point A", et alors la somme des moments virtuels de ces deux forces s'évanouira. Donc, la force P, équivalente au système des deux autres, devra elle-même fournir, en vertu du théorème établi dans le § 1, un moment virtuel égal à zéro. On aura donc nécessairement

(0 Pw COS(P, 0)) =:■ O,

quels que soient l'angle (P, w) et l'intensité de la force P, c'est-à-dire, en d'autres termes,

Les raisonnements qui précèdent ne seraient plus applicables si le point A était situé sur la droite A' A". Mais alors, en remplaçant la force P par deux forces parallèles P', P" respectivement appliquées aux points A', A", on démontrerait, comme on vient de le faire, les formules (i) et (2); et l'on reconnaîtrait encore que, dans l'hypothèse admise, la vitesse du produit A se réduit à zéro.

TiiÉoiiÈME II. — Si, à une époque quelconque du mouvement, les vitesses de tous les points du système invariable sont différentes de zéro, ces vitesses seront toutes égales et dirigées suivant cbs droites parallèles .

Démonstration. — En effet, soient w', to'' les vitesses de deux points quelconques A', A". Si ces vitesses ne sont pas dirigées suivant des droites parallèles, les perpendiculaires élevées sur leurs directions et dans le plan donné, par les deux points A', A", se couperont en un troisième point A. Or, si l'on applique à ce dernier une force P comprise dans le plan fixe et dirigée d'une manière quelconque, la force P sera équivalente au système de deux autres forces P', V" dirigées suivant les droites AA', AA" et respectivement appliquées aux points A', A". Gela posé, si l'on nomme w la vitesse du point A, on aura nécessairement, en vertu du théorème énoncé dans le § I,

(3) Pwcos(P, w) = P'c/cos(P', oy)+P"(o"cos(P", co").

D'ailleurs, les droites AA', AA" étant perpendiculaires aux directions des vitesses co', co", on aura encore

(4) COS(P', (.)') = o, cos(P", w")=o.

Donc la formule (3) donnera

(i) Po) cos(P, o) = 0,

quelles que soient les valeurs des quantités P, (P,(.o), et, par conséquent,

Cette conclusion étant contraire à l'hypothèse admise dans l'énoncé du théorème II, il est clair que le point A ne saurait exister. Donc les vitesses de deux points quelconques A', A" sont dirigées suivant des droites parallèles.

Il reste à faire voir que les vitesses w', to" sont égales. Or considérons d'abord le cas où la droite A' A'' n'est pas perpendiculaire aux

GEuvre.1 de C. — S. H, t. VU. l3

directions de ces vitesses. Le point d'application d'une force P, dirigée suivant cette droite, pourra être transporté, soit en A', soit en A". On aura donc

(5) Pr.)'cOS(P, f.)') = PO)"COS(P, oo"),

et, puisque les angles (P, w'), (P, w") seront égaux sans être droits, on tirera de la formule (5)

Si la droite A' A" était perpendiculaire aux directions de toutes les vitesses, on choisirait hors de cette droite un point quelconque A dont on désignerait la vitesse par co; puis, en raisonnant comme on vient de le faire, on établirait les équations to'= co, w"= co, desquelles on tirerait encore co'= co".

Théorème III. — Si, à une époque quelconque du mouvement, un seul point du système invariable a une vitesse nulle, la vitesse d'un second point choisi arbitrairement sera perpendiculaire au rayon vecteur mené du premier point au second, et proportionnelle à ce rayon vecteur.

Démonstration. — Soient 0 le point unique dont la vitesse est nulle, et co la vitesse d'un autre point A choisi arbitrairement. Si l'on applique au point 0 une force P dirigée suivant OA, son moment virtuel sera nul; et, comme on pourra transporter le point d'application de la force P de 0 en A, on aura encore, en vertu du théorème établi dans

le§l,

(,) Pwcos(P, w) = o;

puis on en conclura, en observant que les quantités P, co ne sont pas

nulles,

(y) COS(P, 0))=:O, (P, '^0

Donc l'angle (P, co) sera droit, et la vitesse oj perpendiculaire au rayon vecteur OA.

TJN SYSTÈME INVARIABLE, LIBRE, ETC. Oî)

Soit maintenant co' la vitesse d'un troisième point A'. Cette vitesse sera elle-même perpendiculaire au rayon vecteur OA'. Cela posé, appliquons aux points A et 0 deux forces égales à Q, et formant un couple, dont la première soit dirigée suivant la même droite et dans le même sens que la vitesse co. La somme des moments virtuels des deux forces du couple se réduira au moment virtuel de la première et, par conséquent, au produit

Concevons, en outre, qu'on applique aux points A' et 0 deux nouvelles forces Q' qui forment un second couple équivalent au premier, et qui soient dirigées suivant des droites perpendiculaires au rayon vecteur OA'. Les moments linéaires des deux couples devant être égaux, si l'on désigne, pour abréger, par r, r' les rayons vecteurs OA, OA', on aura nécessairement

(8) Q<r'—Qr,

D'ailleurs la somme des moments virtuels des forces du second couple,

savoir

Q'oj'cos(Q', 6)') = ±Q'w',

devra être égale à la somme des moments virtuels des forces du premier. On aura donc aussi

(9) Q'a)'cos(Q', «') =zt: Q'w'^ Qg) et, par suite,

(10) cos(Q', w')--=i ou (Q',a/) = o, (lO Q'w'i=Qo3.

Or il résulte de l'équation (lo) que la vitesse w' est dirigée dans le sens de la force Q'. Donc les vitesses w, co' sont dirigées, ainsi que les forces Q et Q', de manière à faire tourner dans le même sens, autour du centre 0, les deux points X et A'; ce qu'il était aisé de prévoir. Quant à la formule (i i), si on la combine avec la formule (8), on en

tirera immédiatement

, . 0)' Ci)

Donc les vitesses des points A et A' sont, non seulement perpendiculaires aux rayons vecteurs r, /', mais encore proportionnelles à ces rayons vecteurs.

Dans le mouvement que nous venons de considérer, la vitesse d'un point placé à l'unité de distance du centre 0 est ce qu'on nomme la vitesse angulaire du système invariable autour de ce même centre. Si l'on désigne la vitesse angulaire par a, la vitesse du point A, situé à l'extrémité du rayon vecteur /% sera déterminée par la for-

mule - = a, ou r

Les théorèmes I, II et III indiquent toutes les relations qui peuvent exister entre les vitesses de points matériels liés invariablement les uns aux autres, et compris dans un plan fixe dont ils ne doivent jamais sortir. Ces théorèmes prouvent que les vitesses dont il s'agit sont toujours celles que présenterait le système pris dans l'état de repos, ou transporté parallèlement à un axe fixe, ou tournant autour d'un centre fixe. Ajoutons : 1° que le mouvement de translation, parallèlement à un axe fixe, se déduit du mouvement de rotation autour d'un centre fixe, quand ce centre s'éloigne à une distance infinie de l'origine des coordonnées; 2" que le centre de rotation est un point dont la position, déterminée à chaque instant, varie en général d'un moment à l'autre dans le plan que l'on considère. C'est pour celte raison que nous désignerons le point dont il s'agit sous le nom de centre instantané de rotation.

Nous terminerons ce paragraphe en indiquant quelques propriétés remarquables du centre instantané de rotation d'une surface plane d'une étendue indéfinie, et dont les points, liés invariablement les uns aux autres, se meuvent sans sortir d'un certain plan. Nous obser-

verons d'abord que, à la fin d'un temps désigné par /, les différents points de la surface mobile occuperont dans l'espace des positions déterminées, et que l'un d'eux, le point 0, par exemple, sera le centre instantané de rotation. De plus, il est clair que, à cette époque, on pourra faire passer par le point 0 deux courbes distinctes tracées de manière à comprendre, la première, tous les points de la surAice mobile, et, la seconde, tous les points de l'espace qui deviendront plus tard des centres instantanés de rotation. Cela posé, soit A le point de la première courbe qui deviendra centre de rotation à la fin du temps i-f-A/, en s'appliquant sur un point correspondant de la seconde courbe désigné par B. Soit d'ailleurs A^ l'arc OA mesuré sur la première courbe, et regardé comme l'accroissement d'un arc fini .v aboutissant au point A. Si l'on considère la quantité A/ comme infiniment petite du premier ordre, l'arc AB que le point A aura parcouru, pendant l'instant A/, pour arriver à la position B, sera évidemment une. quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier. En effet, pour le démontrer, il suffira de faire voir que le rapport de ce dernier arc à A/ est une quantité infiniment petite. Or ce rapport représente précisément une moyenne entre les diverses valeurs que prend la vitesse du point A pendant l'instant A^; et, par conséquent, il a pour mesure le produit qu'on obtient en multipliant une valeur moyenne de la vitesse angulaire par une valeur moyenne de la distance infiniment petite qui, à cette époque du mouvement, sépare le point A du centre de rotation. L'arc AB sera donc une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier, tandis que l'arc OA ou A^ sera en général une quantité infiniment petite du premier ordre. Il est aisé d'en conclure que les arcs OA, OB, comptés à partir du point 0 sur les deux courbes ci-dessus mentionnées, auront pour différence une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier. Donc ces deux caurbes seront tangentes l'une à l'autre {imir le Tome I, p. 177

et suiv.) ('), et le rapport ^ ne variera pas sensiblement quand on y

(') OEuvres de Cauchy, S. II, T. VI, p. 221.

102 SUR LES MOUVEMENTS QUE PEUT PRExNDRE

remplacera l'arc OA ou A^ par l'arc OB. Donc, si l'on désigne par r la

As At''

limite du rapport -r^, c'est-à-dire si l'on fait

•j exprimera tout à la fois la vitesse avec laquelle le centre instantané de rotation se déplace, en passant d'un point à un autre, sur la surface mobile, et la vitesse avec laquelle le même centre change de position dans l'espace. Ajoutons que la première courbe, entraînée par le mouvement de la surfoce sur laquelle elle est tracée, parcourra une portion de l'espace qui aura pour enveloppe la seconde courbe; et que, si l'instant àt acquiert une valeur finie, les arcs correspondants OA, OB, mesurés sur les deux courbes, offriront pour différence une longueur infiniment petite, non plus du second ordre, mais du premier, c'està-dire qu'ils seront égaux entre eux.

Dans le cas particulier où l'une des courbes que l'on vient de considérer se réduit à un point, on doit en dire autant de l'autre. Alors la quantité ci-dessus désignée par u s'évanouit, et le centre instantané de rotation conserve toujours la même position non seulement dans l'espace, mais encore sur la surf^ice mobile.

§ III. — Sur le mouvement d'un système de points matériels, placés arbitrairement dans l'espace, et liés invariablement les uns aux autres.

Considérons un système invariable de points matériels qui, au.Jieu d'être renfermés dans un plan, soient distribués arbitrairement dans l'espace, et se meuvent d'une manière quelconque. Alors, à la place des théorèmes I et III du § II, on obtiendra immédiatement les propositions que nous allons énoncer.

riii:0RÈMi: I. — Si, à une époque quelconque du mouvement, trois points du système invariable, non situés sur une même droite, ont des vitesses nulles, les vitesses de tous les autres points se lèduironl à zéro.

Démonstration. — Ce théorème, qui est évident par lui-même, quand les trois points donnés ont des vitesses constamment nulles, c'est-à-dire quand ils demeurent en repos, peut être démontré dans tous les cas à l'aide des considérations suivantes :

Soient A', A", A'" les points non situés en ligne droite, dont on suppose les vitesses nulles, et co la vitesse d^in quatrième point A choisi arbitrairement. Si l'on applique à ce dernier point une force P dirigée d'une manière quelconque, on pourra généralement la décomposer en trois autres forces P', P", P"'dirigées suivant les droites AA', AA", AA". D'ailleurs, ces droites étant invariables, on pourra supposer la force P' appliquée au point A', la force P" au point A", la force P'" au point A", et alors la somme des moments virtuels de ces trois forces s'évanouira. Donc la force P, équivalente au système des trois autres, devra ellemême fournir un moment virtuel égal à zéro. On aura donc

(i) Po) cos(P, o) ^^ o,

(|uelles que soient les valeurs des quantités P, (P,w), et par consé- (juent

La démonstration précédente ne serait plus applicable si le point A était situé dans le plan du triangle A' A" A'". Mais alors il suffirait de remplacer la force P par trois forces parallèles P', P", P'" respectivement appliquées aux points X' , A", A" pour démontrer, comme on vient de le faire, les équations (i) et (2), et l'on reconnaîtrait encore par ce; moyen que, dans l'hypothèse admise, la vitesse du point A se réduit à zéro.

Théorème H. — Supposons que, à une époque quelconque du mouvement, deux points du système invariable aient des vitesses nulles, et que tous les points situés hors de la droite qui Joint les deux premiers aient des vitesses différentes de zéro. On pourra dés lors affirmer : 1° que les vitesses des divers points situés sur la droite dont il s'agit se réduisent à zéro ;

2" que la vitesse d'un point choisi arbitrairement hors de la même droite est, non seulem,ent perpendiculaire au plan qui renferme tout à la fois le point et la droite, et par conséquent à leur plus courte distance r, mais encore proportionnelle à la longueur r.

Démonstration. — Soient 0', 0" les deux points dont on suppose les vitesses nulles, et w la vitesse d'un troisième point 0 choisi arbitrairement sur la droite O'O". Il suffira d'appliquer à ce troisième point une force P dirigée d'une manière quelconque, puis de remplacer la force P par deux forces parallèles appliquées aux points 0', 0", et d'avoir égard au théorème énoncé dans le § I, pour établir les équations (i) et (2), dont la seconde exprime que la vitesse du point 0 se réduit à zéro.

Concevons à présent que l'on désigne par co, non plus la vitesse d'un point situé sur la droite O'O", mais la vitesse d'un point A situé hors de cette droite. Si l'on applique à ce point une force P dont la direction soit comprise dans le plan 0'0"A, on pourra décomposer la force P en deux autres forces P', P" dirigées suivant les droites AO', AO". D'ailleurs, ces droites étant invariables, on pourra supposer la force P' appliquée au point 0', la force P" au point 0", et alors la somme des moments virtuels de ces deux forces s'évanouira. Donc la force P, équivalente au système des deux autres, devra elle-même fournir un moment virtuel égal à zéro, en sorte qu'on aura

(i) Pw cos(P, oo) = o.

Donc, puisque les quantités co, P sont, par hypothèse, différente^ de zéro, l'on aura encore

(3) COS(P, 03)=:O OU (P, ùj)^-.

Cette dernière condition devant être remplie, quelle que soit la droite comprise dans le plan AO'O" et suivant laquelle on suppose dirigée la force P, on peut affirmer que la direction de la vitesse w sera perpendiculaire à toutes les droites renfermées dans ce plan, et par conséquent au plan lui-même.

UN SYSTÈME INVARIABLE, LIBRE, ETC. lOo

Soit maintenant w' la vitesse d'un nouveau point A', situé, comme le point A, hors de la droite O'O". La vitesse w' sera perpendiculaire au plan A'0'0". Soient d'ailleurs B, B'ies points où la droite 0'0"est rencontrée par les perpendiculaires abaissées sur elle des points A, A'; et désignons par r, r' les longueurs AB, A'B' qui mesurent les plus courtes distances de ces points à la droite 00'. Enfin, appliquons aux extrémités de la droite AB deux forces égales à Q, et formant un couple, dont la première soit dirigée suivant la même droite et dans le même sens que la vitesse co; puis, aux extrémités de la droite A'B', deux forces égales à Q, et formant un autre couple, dont la première soit dirigée suivant la même droite que la vitesse co'. Si les deux couples deviennent équivalents, leurs moments linéaires seront égaux, ainsi que les moments virtuels des forces Q et Q' respectivement appliquées aux points A et A'. On aura donc alors

(5) Q'w'cos(Q', c)')=±Q'w'=Qa);

et par suite

(6) COS(Q', 0)') = I ou (Q', 0)')=:O,

(7) Q'(o'=:Qo3,

Il résulte de l'équation (6) que la vitesse w' est dirigée dans le même sens que la force Q'. Donc les vitesses w, w' sont dirigées, ainsi que les forces Q et Q', de manière à faire tourner dans le même sens, autour du centre 0, les deux points A et A'; ce qu'il était aisé de prévoir. Quant à la formule (8), elle exprime que les vitesses des points A, A' sont proportionnelles aux plus courtes distances de ces points à la droite 00".

Dans le mouvement que nous venons de considérer, les vitesses des différents points du système invariable ont entre elles les mêmes rela-

OEuvresde C.— S.U,l.\U. 14

lions que si, la droite 00' étant fixe, le système tournait autour de cette droite. On désigne pour cette raison la droite 00' sous h; nom iVaoce instantané de rotation, et l'on nomme vitesse angulaire du système la vitesse d'un point placé à l'unité de distance de cet axe. Si l'on représente par « cette vitesse angulaire, la vitesse d'un autre point A, situé à la distance r de l'axe 00', sera déterminée par la formule

Si nous n'avons pas examiné dans ce paragraphe le cas où un seul point du système invariable aurait une vitesse nulle, c'est que ce ca» ne peut jamais se présenter quand le système invariable a plus de deux dimensions. Supposons, en effet, que le point 0 ait une vitesse nulle; soit oj la vitesse d'un autre point A choisi arbitrairement, et appliquons à ce dernier point une force P dirigée suivant la droite AO. Le moment virtuel de cette force devra conserver la même valeur quand on transportera le point d'application de A en 0. On aura, en conséquence,

(i) Pco cos(P, CO) = 0,

et l'on en conclura

(3) COS(P, Gj) = 0, (P, r.,)=^.

Donc la vitesse du point A sera nulle ou perpendiculaire au rayon vecteur OA. Cela posé, soient A', A" deux nouveaux points du système invariable tellement choisis que le plan AA'A" ne renferme pas le point 0; et désignons par w', w" les vitesses des points A', A". Si les trois vitesses w, co', co" diffèrent de zéro, elles seront respectivement perpendiculaires aux trois rayons vecteurs OA, OA', OA"; et la vitesse w ne pourra être parallèle aux deux autres, puisque les trois rayons vecteurs ne sont pas compris dans un même plan. Admettons, pour fixer

les idées, que, des deux vitesses w', w", la première*w'ne soit pas parallèle à w. Les plans menés par les points A, A' perpendiculairement aux directions de ces vitesses se couperont suivant un axe qui passera par le point 0; et, si l'on nomme C un second point de cet axe, une force R appliquée au point C pourra être décomposée en trois autres forces Q, 0', Q" respectivement dirigées suivant les droites CA, CA', CO. D'ailleurs, ces droites étant invariables, on pourra supposer la force Q appliquée au point A, la force Q' au point A', la force Q" au point 0 dont la vitesse est nulle, et alors la somme des moments virtuels de ces trois dernières forces se trouvera réduite au binôme

Qw cos(Q, m) -+- Q'w' cos(Q', w'),

c'est-à-dire à zéro, puisque (Q, w), (Q', w') seront évidemment deux andes droits. Donc la force R, équivalente au svstème des trois autres, devra elle-même fournir un moment virtuel nul; et, comme cette force est arbitraire en grandeur ainsi qu'en direction, il faudra nécessairement que la vitesse du point C auquel on la suppose appliquée se réduise à zéro.

On peut donc affirmer que, dans le mouvement d'un système invariable, quand la vitesse d'un point se réduit à zéro, d'autres points ont pareillement des vitesses nulles. Dans ce cas, les relations qui existent entre les différentes vitesses sont celles qu'indique le théorème IL Alors aussi la vitesse d'un point pourra être complètement déterminée, non seulement en grandeur, mais encore en direction, si l'on connaît les coordonnées de ce point, la direction de l'axe instantané de rotation, et le sens dans lequel le corps tourne autour de cet axe, avec la vitesse angulaire. En effet, soient, pour un instant donné, « cette dernière vitesse, ^, -q, ^ les coordonnées d'un point 0 situé sur l'axe instantané de rotation, x,y, z les coordonnées d'un point A placé à la distance /• du même axe, co la vitesse du point A, enfin a, p, y et X, u, v les angles que forment avec les demi-axes des coordonnées positives : i" la direction de la vitesse co; 2° l'axe instantané de rotation prolongé, h partir du point 0, dans une direction 00' telle que la vitesse w produise

autour de 00' un mouvement de rotation de droite à gauche. Concevons d'ailleurs que la vitesse w soit représentée par une longueur AB portée sur sa direction à partir du point A, et la vitesse angulaiie « par une autre longueur OC comptée à partir du point 0 dans la direction 00'. On pourra, en prenant un point quelconque de l'espace pour centre des moments, construire ce que nous nommerons les moments linéaires des vitesses w et «, c'est-à-dire les moments linéaires de deux forces AB, OC qui seraient représentées par les mêmes droites que ces vitesses. Cela posé, il est clair que, si l'on place le centre des moments au point A, la vitesse w, mesurée par le produit r^, et dirigée suivant un demi-axe perpendiculaire au plan AOO', coïncidera en grandeur et en direction avec le moment linéaire de la vitesse angulaire «. Donc les projections algébriques de la vitesse « sur les axes coordonnés seront équivalentes aux projections algébriques du moment linéaire de la vitesse 5^, c'est-à-dire aux trois produits

«[(^ — 7)cosv — (Ç — ^)cos/^], «[(C — = ) cos>. — (q —oc) cosv],

8[(^ — x) COSIX— (y) — J) COsA],

de sorte qu'on aura

/ wcosa=;«[(-/i — /) cosv — (C — - )COSfx],

(lo) ' wcos|3 = «[(Ç —z) cos>. — {c — x) cosv],

f to cosy =:«[(^ — j:") cos]j!.— (-ri — j) cos>.].

Si le point 0 était l'origine même des coordonnées, les formules fio) se réduiraient aux suivantes :

[ co cosa = — «(/ cosv — ^ cos]Ji),

(il) < Gi)C0S|3=: — «(^cos>. — oCCOSv),

( (ocosy=: — 8(a? cosjUL — j ces). ).

Lorsqu'un corps solide, retenu par un point fixe 0, vient à se mouvoir, la vitesse de ce point étant toujours nulle, le corps, en vertu de

ce qui précède, ne peut que tourner à chaque instant autour d'un certain axe passant par le point dont il s'agit. Mais la position de cet axe varie en général, d'un instant à l'autre, dans le corps et dans l'espace. Cela posé, concevons que, au bout du temps /, l'axe instantané de rotation rencontre, aux points G et D, la surface décrite du point 0 comme centre avec un rayon équivalent à l'unité. A cette époque, les points C, D, situés aux deux extrémités d'un même diamètre, seront les centres instantanés de rotation de la surface sphérique; et il est clair que, par chacun de ces points, on pourra faire passer deux courbes tracées sur la surface sphérique, de manière à comprendre, la première, tous les points du corps, et, la seconde, tous les points de l'espace, qui deviendront plus tard, à la place du point C ou D, des centres instantanés de rotation de la même surface. Or, désignons par A le point du corps qui, au bout du temps t + A/, deviendra centre de rotation de la surface sphérique à la place du point C; et nommons B le point de l'espace sur lequel, à cette époque, le point A viendra s'appliquer. Si l'on considère A/ comme un infiniment petit du premier ordre, les arcs GA, GB, mesurés à partir du point G sur les deux courbes qui passent par ce point, seront, en général, des infiniment petits du même ordre; mais l'arc AB, que le point A sera obligé de parcourir avant de s'appliquer sur le point B, sera une quantité infiniment petite d'un ordre plus élevé; car le rapport de ce dernier arc à l'instant A/, ou la vitesse moyenne du point A pendant cet instant, sera une quantité très petite, attendu que le point A restera très voisin du centre instantané de rotation depuis la fin du temps t jusqu'à la fin du temps t + ^t. Donc, à plus forte raison, la distance AB, comprise entre les extrémités des arcs GA, GB, sera une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur au premier. Il en résulte immédiatement : i° que les deux courbes menées par le point G seront tangentes l'une à l'autre; 2« que des arcs correspondants, mesurés sur ces deux courbes à partir du point G, donneront pour différence, s'ils sont infiniment petits du premier ordre, une quantité infiniment petite d'un ordre plus élevé; et, s'ils sont finis, une quantité infiniment petite, c'est-à-dire nulle. Soit

A.V l'un de ces mêmes arcs, considéré comme accroissement d'un arc fini s aboutissant au point C. Si l'on désigne par i» la limite du rapport

-r-% c'est-à-dire, si l'on fait

'j exprimera tout à la fois la vitesse avec laquelle chacun des centres instantanés de rotation se déplace sur la surface sphérique, et la vitesse avec laquelle il se déplace dans l'espace. Ajoutons que la courbe CA, entraînée par le mouvement de la surface sphérique sur laquelle elle est tracée, prendra successivement diverses positions, dans lesquelles elle se trouvera enveloppée par la courbe CB.

On serait encore parvenu à des résultats du môme genre, si la surface sphérique, au lieu d'avoir pour rayon l'unité de longueur, avait été décrite, du point 0 comme centre, avec un rayon quelconque. Cela posé, on déduira sans peine des principes ci-dessus établis la proposition suivante :

Théorème III. — Concevons qu'un corps solide, retenu par un point fixe, se meuve d'une manière quelconque autour de ce point. Supposons d'adleurs qu'à un instant donné on trace : i° dans le corps, 2" dans l'espace, les différentes droites avec lesquelles coïncidera successivement l'axe instantané de rotation. Tandis que la surface conique, qui aura pour génératrices les droites tracées dans le corps solide, sera entraînée par le mouvement du corps, elle touchera constamment la sur/ace conique qui aura pour génératrices les droites tracées dans l'espace, et, par conséquent, la seconde sur/ace ne sera autre chose que l'enveloppe de la portion de l'espace parcourue par la première.

Admettons maintenant qu'une droite mobile, assujettie à passer par le point 0, suive l'axe instantané de rotation dans ses positions successives. La quantité u, déterminée par la formule (12) , représentera évidemment la vitesse angulaire avec laquelle cette droite tournera autour du point 0 en changeant de position, soit dans le corps, soit dans l'espace.

UN SYSTÈME INVARIABLE, LIBRE, ETC. lit

Lorsqu'une des surfaces coniques mentionnées dans le théorème lïl se réduit à une droite, on doit en dire autant de l'autre surface. Alors la quantité u s'évanouit, et l'axe instantané de rotation conserve toujours la même position, non seulement dans l'espace, mais encore dans le corps solide. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Théorème IV. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 111, si l'axe instantané de rotation devient fixe de position dans le corps solide, il serctfixe dans l'espace, et réciproquement.

On peut remarquer que la première partie du théorème IV est évidente par elle-même; car, lorsque les mêmes points du corps se trouvent constamment sur l'axe de rotation, chacun de ces points a constamment une vitesse nulle et demeure en conséquence immohile dans l'espace.

Il reste maintenant à faire connaître les relations qui peuvent exister entre les vitesses des différents points d'un système invariable ou d'un corps solide, quand toutes ces vitesses diffèrent de zéro. Pour y parvenir, nous commencerons par établir une proposition auxiliaire dont voici l'énoncé :

Théorème V. — Supposons que deux points matériels A, A' se meurent dans l'espace d'une manière quelconque, et qu'un observateur, placé sur le point A', détermine, pour un instant donné, la vitesse apparente du point A. La vitesse absolue de celui-ci sera représentée, non seulement en grandeur, mais encore en direction, par la diagonale du parallélogramme construit sur la vitesse apparente, et sur une longueur égale et parallèle à la vitesse absolue du point A'.

Démonstration. — Rapportons les positions de tous les points de l'espace à trois axes fixes qui se coupent à angles droits; et désignons, au bout du temps /, par x, y, z les coordonnées du point A, par r', y, z' celles du point A'. Soient, à la même époque.

la distance des points A, A'; co, w' leurs vitesses absolues, représen-

W COSa =: -7-;

, dx'

w cosa =1 -y-

tées par des longueurs AB, A'B' portées sur les directions de ces vitesses; et a, |3, y; a', (3', y' les angles que forment ces directions avec les demi-axes des coordonnées positives. Les projections algébriques des vitesses absolues w, co' seront

' dt ' dt

"^ dt ' dt

Concevons d'ailleurs qu'un observateur, placé sur le point A', mesure à cbaque instant le rayon vecteur r mené du point A' au point A, et les angles formés par ce rayon vecteur avec les demi-axes des coordonnées positives, ou plutôt avec trois demi-axes parallèles menés par le point A'. Les angles dont il s'agit seront ceux dont les cosinus sont équivalents aux trois fractions

et l'observateur aura tous les éléments nécessaires pour déterminer, non pas le mouvement absolu du point A dans l'espace, mais le mouvement relatif ou apparent de ce point autour du point A' considéré comme immobile, c'est-à-dire : i*' la courbe que le point A, vu du point A', semblera décrire; 2" l'intensité et la direction de la vitesse apparente du point A, ou, ce qui revient au même, les trois quantités ^'

^'^^ ■ dt ' dr~' '(h ■'

qui représenteront les projections algébriques de la vitesse apparente. Cela posé, admettons que l'on porte, à partir du point A et sur la direction de sa vitesse apparente, une longueur AE propre à représenter cette même vitesse; puis, sur un demi-axe parallèle à A'B', une longueur AF=: A'B'. Les trois longueurs AB, AE, AF, étant projetées sur

les axes des .^, y et z-, donneront pour projections algébriques les quantités (r4), (j5), (17); et, comme les équations

dj: __ doc' d{x — œ') dt ~ ~di

dy^d f dt dt

dz dz'

dt ^ dt ' dt

qui subsistent évidemment entre ces quantités, sont entièrement semblables aux équations qui ont lieu entre les projections algébriques de deux forces appliquées à un point unique et de leur résultante, on peut affirmer que la première longueur sera la diagonale du parallélogramme construit sur les deux autres.

Ces principes étant établis, considérons un système invariable ou un corps solide qui se meuve d'une manière quelconque dans l'espace. Soient, au bout du temps t, ù la vitesse du point 0 choisi arbitrairement dans le corps solide, et a, h, c les angles formés par la direction de la vitesse 0 avec les demi-axes des coordonnées positives. Concevons, de plus, qu'un observateur, placé au point 0, détermine le mouvement apparent du corps autour de ce point regardé comme immobile. Ce mouvement apparent ne pourra être, en vertu de ce qui a été dit ci-dessus, qu'un mouvement de rotation autour d'un axe instantané passant par le point 0. Soient X, jx, v les angles que forme cet axe, prolongé à partir du point 0 dans une direction telle que le corps tourne autour de lui de droite à gauche, avec les demi-axes des coordonnées positives; et désignons par « la vitesse angulaire du corps solide dans le mouvement de rotation apparent. Enfin, représentons toujours par x, y, :: les coordonnées d'un point quelconque A de ce même corps. Pour l'observateur placé au point 0, les projections algébriques de la vitesse apparente du point A seront respectivement

I «[(r;-7)cosv-(:-..)cos/jL], /^^SEÛB^^

(19) h[(C-~^)cos>, -(-: -.r)cosvJ, n tIîsJVEKSlT¥

( 8[(c:-^)cos,a-(-^-r)cos/l. N^^^UFORN^

OF.uvres de C. - S. II, t. VU.

Donc, en vertu du théorème Y, la vitesse absolue w du point A et les angles a, fl, y, que formera la direction de cette vitesse avec les demiaxes des coordonnées positives, seront déterminés par les équations

i r0C0Sa=-i2C0Sa-H»(yi COSV — Ç COSfJi) — «(vcosv + z COS/Jt.),

(20) ' o)cos;3=:12cos^^-^ «(Ç cosA — ç cosv) — 8(3 cosA +.rcosv),

I 03 cosy = i2cosc -h«(^ cos/ji — ti cos>,) — «(xcosfx 4- jcos>.).

Les valeurs précédentes de wcosa, wcos[3, cocosy, c'est-à-dire les projections algébriques de la vitesse absolue du point A, sont nécessairement indépendantes de la position du point 0. Elles devront donc rester invariables, tandis qu'on fera varier le point 0, quelles que soient d'ailleurs les valeurs attribuées aux coordonnées or, y, z. Il en résulte que les coefficients de a-, y, z dans les seconds membres des équations (20), et, par conséquent, les trois produits

(21) 8C0S)., «COS/J-, 8 COSV,

ne changeront pas de valeur, si l'on remplace le point 0 par un autre. Donc, au bout d'un temps quelconque t, la vitesse angulaire « el les angles X, (a, v, qui déterminent la direction de l'axe instantané dans le mouvement de rotation apparent, sont des quantités indépendantes de la position de l' observateur. La première de ces quantités est ce que nous nommerons la vitesse instantanée de rotation du corps solide.

Supposons à présent que le point 0 coïncide, au bout du temps /, avec l'origine même des coordonnées. On aura, dans ce cas, ^ = o, y] = 0, 'C = o, et les formules (20) se réduiront à

/ oj cosa = i^cosa — «(j COSV — ^ cosfjt.),

(22) ' wcos[3 = i2cos^ — 8(^ cos>. — ^cosv), \ 0) cosy ^ i2cosc — 8(jrcos/jt — jcosÀ).

Soient d'ailleurs 0, A les angles que forment les directions des vitesses oj, Ù avec la direction de l'axe instantané de rotation. On aura évidemment

(28) cosô =r cosa cosA -I- cos;3 cos/jL 4- cosy COSV,

(24) COsArr: COSa COSÀ + COS6cOSjUt -f- COSC COSV,

et l'on tirera (les formules (22), respectivement multipliées par cosÀ, eosîx, cosv,

(25) &) cosâ = ilcosA.

Cette dernière équation prouve que la vitesse absolue d'un point cjnelconque A du corps solide, étant projetée sur la direction d'un axe instantané de rotation, fournit une projection constante, c'est-à-dire indépendante de la position du point A. On en conclut que la vitesse w obtiendra la plus petite valeur possible, lorsque sa direction sera parallèle à celle des axes de rotation. Or, cette condition sera remplie, quand les coordonnées X, r, z vérifieront la formule

/ i2cosa — «(jcosv — z cosjji) l cos>>

,^. I i2cosZ> — «(^ cos>. — j; cosv)

j COSfJi

[ £2cosc — «(j-cosjijt — r cosÀ)

\ cosv

que l'on peut remplacer par les équations

( i2cosa — «(/cosv — z cos/ji) = iicosAcos).,

(27) < i2cos/> — «(g COSÀ — ^cosv) = l>cosAcosjji, ( licosc — «(j7C0Sfji.— jcos>. ) =i2cosAcosv,

et qui représente une droite dont chaque point est animé d'une vitesse dirigée suivant l'axe instantané de rotation que fournirait le mouvement apparent autour de ce point. La droite dont il s'agit ici est ce que nous appellerons Vaxe instantané de rotation du corps solide, et la vitesse de chacun des points situés sur cet axe sera la vitesse instantanée de translation du même corps. Dorénavant nous désignerons par 'j cette dernière vitesse. Si l'axe instantané de rotation du corps solide passait, non par le point {x, y, :;), mais par le point (l, r^, l), on aurait nécessairement, dans la formule (23),

(28) Q. = j, cosA = ±i:

et la vitesse w d'un point (x, y, z), situé hors de l'axe instantané, vérifierait l'équation

(29) M COSè=n±-j,

le double signe ± devant être réduit tantôt au signe -t-, tantôt au signe —, selon que le mouvement de rotation s'exécuterait de droite à gauche, ou de gauche à droite, autour de l'axe instantané prolongé dans le sens de la vitesse i».

On pourrait au reste établir, sans calcul, la plupart des résultats que nous venons d'énoncer, à l'aide des considérations suivantes :

Soit 00' l'axe instantané de rotation que fournit, au bout du temps /, le mouvement apparent du corps autour d'un point donné 0. Pour déterminer en grandeur et en direction la vitesse absolue d'un point A situé hors de cet axe, il suffira (voir le théorème V) de chercher la diagonale du parallélogramme construit sur la vitesse apparente du point A, et sur une droite égale et parallèle à la vitesse du point 0. Il en résulte : i" que tous les points situés sur une droite parallèle à l'axe 00' seront animés de la même vitesse absolue; 2° que la direction de cette vitesse absolue sera parallèle à l'axe 00', et dirigée suivant la droite elle-même, si cette droite a été choisie de manière que la vitesse apparente de chacun de ses points soit égale et parallèle à la projection de la vitesse absolue du point 0 sur un plan perpendiculaire à l'axe 00', mais dirigée en sens inverse.

Il suit encore de ces considérations que les vitesses absolues de tous les points du corps solide, au bout du temps /, seront complèterpent déterminées, quand on connaîtra la position de l'axe instantané de rotation de ce même corps, ainsi que les deux vitesses instantanées de rotation et de translation. Cette remarque entraîne évidemment la proposition suivante :

Théorème YI. — Quelle que soit la nature du mouvement d'un corps solide, les relations existantes entre les différents points seront toujours celles qui auraient lieu, si le corps était retenu de manière à pouvoir seulement tourner autour d'un axe fixe et glisser le long de cet axe.

Si, pour fixer les idées, on suppose que l'axe instantané de rotation passe, au bout du temps t, par le point dont les coordonnées sont \, Y], ^, on déduira facilement des équations (20) la grandeur et la direction de la vitesse w d'un autre point choisi arbitrairement dans le corps solide, et correspondant aux coordonnées Xy r, z. En effet, pour y parvenir, il suffira de poser, dans les formules (20), 0 = u, et, de plus,

(3o) cosa=:cos>., C0S6 = C0Sf/, cosc = cosv,

ou bien

(3i) cosa=— cos>., cosi =— cos/JL, cosc = — cosv,

suivant que le mouvement de rotation du corps solide s'effectuera de droite à gauche, ou de gauche à droite, autour de l'axe instantané de rotation prolongé dans la direction de la vitesse u. Par conséquent, on trouvera, dans la première supposition,

/ o)cosa = -j cosA + 8[(y2 — 7)cosv — {t, — z) cos^],

(32) . wcos;3 = jcospL-i-a[(C — ^)cosX — (^ — x) cosv], ( G)Cos-/ =-j cosv + «[(^ — -p) cos/jL — {-c\ —y) cosA],

et, dans la seconde,

/ (,)Cosa = — •JCOsX + «[(-n — 7)cosv — (C — -)cosp.],

(33) < o)cos^ =— .•jcos;j.+ «[(Ç — ^)cosX — (; — ^) cosv], ( 00 cosy =— -j cosv + «[(; — x) cos/j!.— (-0 — j) cosA].

Lorsque l'axe instantané de rotation du corps solide passe par l'origine même des coordonnées, on peut remplacer par zéro chacune des trois quantités \, ■/], 'C dans les formules (32) ou (33), dont les trois premières se réduisent à

/ (ocosa=iucosX — «j'cosv -4- ac cosfjt,

(34) \ GO cost3 =: "j cosfjL — 85 cos>. H- 8.r cosv, (0 ces y = 'J cosv — ^x cos|jl + «jcosA;

et les trois dernières à

/ (0 cosa z^— V cosA — a/cosv -4- ^z cos/jl, (35) ' 0)008(3 =— ucosfjt. — a-3 cosA -+- 8 J7 cosv,

' W COSy =r — J COSV — 8 0? COS|JL -f- 8/ COS?..

Dans les équations (34) et (35), ainsi que dans les formules (^29), (32) et (33), u désigne la vitesse instantanée de translation du corps solide.

Lorsque la quantité «, c'est-à-dire la vitesse instantanée de rotation du corps solide se réduit à zéro, on tire des formules (32) ou (33)

9 v cosa cosfS __ cosy

COSA COSjJL COSV

Donc alors tous les points du corps solide ont des vitesses égales et parallèles, comme si le corps était assujetti de manière à pouvoir seulement glisser le long d'un axe fixe, sans tourner autour de cet axe.

Nous terminerons cet article en indiquant quelques propriétés remarquables de l'axe instantané de rotation d'un corps solide. Soit 00' la direction de cet axe au bout du temps /. 11 est clair qu'à cette époque on pourra faire passer par l'axe 00' deux surfaces réglées, construites de manière à comprendre toutes les droites, tracées dans le corps ou dans l'espace, qui deviendront plus tard des axes instantanés de rotation. Cela posé, soient AA', BB' deux droites correspondantes, comprises dans les deux surfaces, en sorte que la droite AA' doive s'appliquer sur la droite BB', en devenant un axe de rotation du corps solide, à la fin du temps / 4- A/. Admettons d'ailleurs : i" qu'un plan mené par le point 0 perpendiculairement à l'axe 00' rencontre la droite AA' au point A, et la droite BB' au point B'; 2° que B soit le point de la seconde droite avec lequel le point A coïncidera, quand la première droite s'appliquera sur la seconde. P]nfin, soit D la projection du point B sur le plan OAB'. Si l'on considère At comme un infiniment petit du premier ordre, la distance T3B' et les arcs OA, OB', mesurés à partir du

point 0 sur les deux courbes d'intersection du plan OAB' avec les deux surfaces réglées, seront, en général, des infiniment petits du môme ordre. Mais la distance DB' et l'arc AD, que la projection du point A sur le plan OAB' sera obligée de parcourir avant de s'appliquer sur le point D, seront des quantités infiniment petites d'un ordre plus élevé. En effet, comme la longueur BB' sera mesurée sur une droite sensiblement perpendiculaire au plan dont il s'agit, le rapport de la projection DB' à BB' sera très petit; et l'on pourra en dire autant du rapport entre l'arc AD et l'instant It, attendu que ce dernier rapport représente une moyenne entre les diverses valeurs que reçoit la projection de la vitesse du point A sur le plan OAB', depuis la fin du temps t jusqu'à la fin du temps / + A/, et que cette projection reste évidemment très petite pendant l'instant At. Si l'on conservait quelques doutes à cet égard, il suffirait d'observer que la projection de la vitesse du point A est la diagonale d'un parallélogramme construit sur deux côtés, qui restent très petits l'un et l'autre pendant l'instant At, et qui représentent : 1° la projection de la vitesse de translation du corps solide sur le plan OAB', sensiblement perpendiculaire à la direction de cette vitesse; 2° la projection sur le même plan de la vitesse apparente qu'attribuerait au point A un observateur placé en un point de l'axe instantané de rotation. Donc l'arc AD, la distance DB', la somme des longueurs AD, DB' et, à plus forte raison, la distance AB' seront des quantités infiniment petites d'un ordre supérieur au premier. Il est aisé d'en conclure : i° que les deux arcs de courbes OA, OB' seront tangents l'un à l'autre; 2° que les deux surfaces réglées se toucheront suivant la droite 00', et que la première surface, entraînée par le mouvement du corps, prendra successivement diverses positions dans lesquelles elle se trouvera enveloppée par la seconde. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème VII. — Concevons qu'un corps solide se meuve d'une manière quelconque dans l'espace, et qu'à un instant donné on trace : i ° dans le corps; 2° dans l'espace, les différentes droites avec lesquelles coïncidera successivement l'axe instantané de rotation de ce corps solide. Tandis que

la surface réglée, qui aura pour génératrices les droites tracées dans le corps, sera entraînée par le mouvement de celui-ci, elle touchera constamment la surface réglée qui aura pour génératrices les droites tracées dans l'espace, et, par conséquent, la seconde surface ne sera autre chose que l'enveloppe de la portion de l'espace parcourue par la première.

Lorsqu'une des surfaces réglées se réduit à une droite, on doit en dire autant de l'autre surface. Alors l'axe instantané conserve toujours le même position, non seulement dans l'espace, mais aussi dans le corps solide. On peut donc énoncer encore le théorème suivant :

Théorème VI IL — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème VU, si l'axe instantané de rotation du corps solide devient fixe de position dans le corps, il sera fixe dans l'espace; et réciproquement .

Il importe d'observer que la première partie du théorème VIII est évidente; car, si l'axe instantané de rotation coïncide, pendant toute la durée du mouvement, avec une seule des droites que l'on peut tracer dans le corps, cette droite, étant constamment animée en ses divers points de vitesses dirigées suivant elle-même, occupera toujours dans l'espace la même place.