SUR LES DIVERSES PROPRIÉTÉS
on doit joindre encore les suivantes :
(8) T{œ) = {2r.ya; ^e-^{i-h£)
et
Dans l'équation (8), qui a été donnée par M. Laplace, et qui coïncide, pour des valeurs entières de x, avec la formule (i52) du Mémoire Sur les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, t désigne un nombre d'autant plus petit que la valeur de x est plus considérable. Quant à la formule (9), M. Legendre l'a établie, dans ses Exercices de Calcul intégral, à l'aide d'une intégration double et en s'appuyant sur les propriétés de la fonction
dx-
J'observerai ici que la même formule pourrait être déduite des équations (5) et (8). En effet, il résulte évidemment de l'équation (5) que le premier membre de la formule (9) ne varie pas quand on fait croître la valeur de x de l'unité. Donc ce premier membre ne variera pas non plus, si l'on ajoute à la valeur de x autant d'unités que l'on voudra, et si l'on fait croître x par ce moyen au delà de toute limite. Or, ([uand la variable x devient infinie, t s'évanouit dans l'équation (8), en vertu de laquelle le premier membre de la formule (9) se réduit à
(,o) (.K) ^ n-^c ^ (1+-^.) " Yi-+-„^) " ^..(I+''
nx \ nx
D'ailleurs, si l'on fait, pour abréger.
(") p-I'+tt:;:) i' +
nx
DE LA FONCTION T{.r).
et si l'on a égard à la formule
nx
on trouvera, pour des valeurs infinies de x,
/* Il
Il — 1
En substituant la valeur précédente de P dans l'expression (lo), on obtiendra pour résultat le second membre de la formule (9).
Nous terminerons cet article en faisant observer que, pour étendre les équations (3), (4), etc., au cas où la variable x prend une valeur quelconque, positive ou négative, il suffit de remplacer la formule
V{x) = j z-^-'e'^dx par la formule (16) de la page Go du premier
Volume ('). Alors, si l'on pose successivement
r désignant une quantité positive et plus petite que l'unité, on aura
dx, T{ — /■ — i)
dx,
et généralement
dx
(») OEuvres de Cauchy, S. IL T. VI, p. 8i.
Considérons un système de points matériels dont les masses soient respectivement m, m', ni:', ..., et représentons par r, r, r", ... les distances de ces points à un certain axe 00'. La somme
m /--h ni'r'^+ m" r"'^-\-. . .,
que nous désignerons, pour abréger, par la notation
sera ce qu'on nomme le moment d'inertie du système par rapport à l'axe 00'. M. Binet a proposé d'étendre la même dénomination au cas où l'on suppose que r, r, r\ ... représentent les distances des points matériels à un plan fixe, et d'admettre que, dans cette supposition, l^mr^ est le moment d'inertie du système par rapport au plan dont il s'agit. De plus, il a prouvé qu'on peut toujours construire, autour d'un point donné, un ellipsoïde dont ce point soit le centre, et dont cliaque diamètre soit équivalent au double de la racine carrée du moment d'inertie du système par rapport au plan conjugué à ce diamètre. Nous allons faire voir, dans cet article, que les moments d'inertie du s^-stème, par rapport à différents axes menés par un même point, peuvent être facilement déterminés, à l'aide d'un second ellipsoïde dont la construction fournit le moyen le plus simple de comparer entre eux ces moments d'inertie, et d'établir l'existence des trois droites désignées sous le nom iï axes principaux.
Soient A, A', ... les différents points matériels dont les masses ont été représentées par m, m\ m" , ... ; et
(i) K = imr2
le moment d'inertie du système des points A, A', A", . . . par rapport à l'axe 00' passant par le point 0. Prenons ce dernier point pour origine des coordonnées, et désignons par x, j, :■ les coordonnées rectangulaires de la masse m. Soient enfin s le rayon vecteur OA, § l'angle que forme ce rayon vecteur avec l'axe 00' prolongé dans une certaine direction, et X, a, v les angles formés par celui-ci avec les demi-axes des coordonnées positives. On aura évidemment
(2) /•rzr^sinô,
De plus, comme les angles compris entre le rayon vecteur .v et les demi-axes des coordonnées positives auront pour cosinus les rapports
on trouvera encore
(4) cosâ = — cosX + — cos,a+ -cosv ^ ' s s s
et, par suite,
(5) 5C0SÔ = j?cosX + jcos/x + 3 cosv;
puis on en conclura
/ r^ z=z s^ sin- à = s- — s^- cos'^ è (6) ^ = jc^ --h y- -i- z^— {x cosl -h y coi IJ. -Jt- :icosv)-
[ = (jcosv — z cosix)'^ + (z cosX — .v cosv)'^ -+- {x cosp. — ycos). )-.
il est bon d'observer que l'équation (6) peut être remplacée par l'une quelconque des deux suivantes :
1 /-^^.r^ sin^X H-/* sin^jULH- 3^ sin^y
( — 2/:; COS|J. COSV — 2CJ7COSV ces). — 2 J:?K COSX COSf/,
( /'^nr (r-+ Z-) COS'^>. H- (3^+ x"^) COS^W + {x- -\- Y') COS-'v
\ -;- 2j^:; cos/jt. cosv — 2CXC0SVC0S). — 2.rjcosA cos,a.
Cela posé, si l'on fait, pour abréger,
(9) \ = lni{y'-i-z'-), B=i2//z(32+^2), G = i m(^'-4- j^); ( I o) D = li fnjz, E = lm zx, Y =z1m xy ;
(il) G — l/n^S H = :S/»jS I =lniz\
on tirera de la formule (i), combinée avec l'équation (7) ou (8),
(12) ou
