K :== A COS^X + B COS^/J. -H G COS^V

— 2D COSpi COSV — 2E COSV COSX — 2F COSX COS/JL,

k = G sin^X -\- H sin-/jt. h- I sin^v

— 2D COSjUL COSV — 2E COSV ces À — 2 F COS). COSjJ!..

Ajoutons que les quantités A, B, G, déterminées par les formules (9), sont précisément les moments d'inertie relatifs aux axes des x, y et z.

Concevons à présent que l'on désigne par x, y, z les coordonnées d'un point 0' choisi arbitrairement sur l'axe 00', et par k la longueur 00'. On aura évidemment

COSA COS/Jt. COSV

et, en substituant dans l'équation (12) les valeurs de cosX, costx, COSV tirées de la formule (i5), on trouvera

(16) Ax-2+By2+Gz2— 2Dyz — 2Ezx — 2Fxy = KA^

Supposons, de plus, que l'axe 00' vienne à se mouvoir, en tournant autour du point 0, et que, pendant ce mouvement, la longueur 00'= k varie de manière à être constamment représentée par une certaine fonction du rnoment d'inertie K. Ce moment d'inertie pourra lui-même s'exprimer en fonction de la distance

et le point 0' décrira évidemment une surface courbe, dont la con-

struction fera connaître la dépendance qui existe entre la valeur de K et la direction de l'axe 00'. Observons d'ailleurs que cette surface courbe sera représentée par l'équation (i6), quand on y considérera X: et K comme des fonctions des coordonnées x, y, z devenues variables.

Parmi les différentes relations qu'on peut établir entre les quantités k et K, l'une de celles qui ramènent l'équation (i6) aux formes les plus simples consiste à supposer la longueur k réciproquement proportionnelle à la racine carrée du moment d'inertie K. En effet, si, pour fixer les idées, on prend

(17) k— --zi ou K/c-=:i,

l'équation (16) deviendra

(18) Ax2+ By2+ Cz^— 2l)yz — 2Ezx — '2Fxy = r.

La surface, représentée par cette dernière équation, est évidemment une surface du second degré, qui a pour centre l'origine même des coordonnées. De plus, comme le moment d'inertie K, uniquement composé de termes positifs, ne s'évanouira jamais, à moins que tous les points matériels donnés ne soient situés sur une même droite, et qu'en conséquence la longueur k conservera généralement, pour toutes les positions de l'axe 00', une valeur finie, il est clair que la surface (18) sera un ellipsoïde. On peut donc énoncer la proposition suivante :

Théorème L — Considérons un système quelconque de points matériels k,

A' et supposons que, après avoir mené par un point 0 pris à volonté

dans l'espace une infinité d'axes, on détermine les divers moments d'inertie du système par rapport à ces mêmes axes. Si, à partir du point 0, on porte sur chaque axe une longueur numériquement équivalente à l'unité divisée par la racine carrée du moment d'inertie correspondant, les extrémités des diverses longueurs seront comprises dans la surface d'un ellipsoïde dont le point 0 sera le centre.

i28 SUR LES MOMENTS D'INERTIE.

Si tous les points matériels du système que l'on considère étaient situés sur un même axe, le moment d'inertie relatif à cet axe deviendrait nul, et la longueur correspondante serait infinie; d'oii il résulte que l'ellipsoïde se transformerait en surface cylindrique.

Observons maintenant que, la direction des axes coordonnés étant arbitraire, on pourra toujours ffiire coïncider ces axes avec ceux de l'ellipsoïde représenté par l'équation (i8). Alors les produits yz-, zx, xy devront disparaître, ou, en d'autres termes, les coefficients D, K, F devront s'évanouir. On peut donc faire passer par le point 0 trois axes rectangulaires et tellement choisis qu'en les prenant pour axes coordonnés on ait à la fois

(19) ^myzr=io^ Imzjr z=o, lnia;y .= 0.

Ces trois axes sont ceux qu'on a nommés les axes principaux du système relatifs au point 0. On appelle moments d'inertie principaux ceux qui se rapportent à ces mêmes axes. Comme, en vertu de l'équation (17), la valeur de K augmente, tandis que la longueur k diminue, et réciproquement, il est clair que l'un des moments d'inertie, savoir, celui qui correspondra au grand axe de l'ellipsoïde, sera le moment d'inertie minimum, tandis qu'un autre, savoir celui qui correspondra au petit axe de l'ellipsoïde, sera le moment d'inertie maximum.

Lorsque l'ellipsoïde est de révolution, il existe une infinité de systèmes d'axes rectangulaires pour lesquels les conditions (19) se trouvent vérifiées. En d'autres termes, il existe une infinité de systèmes d'axes principaux. Chacun de ces systèmes se compose : i*' de l'axp de révolution; 2° de deux autres axes qui passent par le centre de l'ellipsoïde et se coupent à angles droits dans le plan de son équateur. Alors aussi deux moments d'inertie relatifs à des droites qui forment le même angle avec l'axe de révolution sont nécessairement égaux entre eux.

Lorsque l'ellipsoïde se transforme en une surface cylindrique, cette dernière est toujours une surface de révolution, et l'on rentre dans le cas que nous venons d'examiner. Seulement l'un des moments d'inertie principaux s'évanouit.

Lorsque l'ellipsoïde se réduit à une sphère, les conditions (19) se trouvent vérifiées pour tout système de trois axes rectangulaires passant par l'origine. Trois axes de cette espèce, pris au hasard, forment donc alors un système d'axes principaux. De plus, tous les moments d'inertie deviennent égaux entre eux.

En faisant coïncider les axes coordonnés avec les axes principaux, on simplifie les équations (12), (i3),(i8), puisque alors les coefficients D, E, F s'évanouissent; et l'on obtient immédiatement les formules

(20) K =:A COS^). 4- B COS'^|Ul -f- (] cos-v,

(21) K — Gsin^). -f- Hsin-]JL + Ishi^v,

(22) Ax- 4-By^ -t- Cz-=: I,

dans lesquelles A, B, C désignent les trois moments d'inertie principaux. La formule (20) sert à exprimer le moment d'inertie relatif à un axe quelconque passant par un point donné 0, en fonction des moments d'inertie principaux, et des angles 1, [j., v que forme l'axe dont il s'agit avec les axes principaux.

Dans le cas où les axes principaux ne coïncident pas avec ceux des r, j et z-, leurs directions, ainsi que les valeurs des moments d'inertie principaux, peuvent être facilement déterminées. En effet, dans l'ellipsoïde représenté par l'équation (18), le rayon vecteur, mené du centre au point (x, y, z), devient normal à la surface, quand les coordonnées X, y, z vérifient la formule

, ,, A\ — Fy-Ez Bv-Dz -Ex Cz-Ex D.v

D'ailleurs on tire de cette formule combinée avec les équations (i5)

et (12)

1' A cos>. - F cosfji — E cosv B cos/jl — D cosv — F cos).

cos}. COS^J.

L cosv — E cos/. — 1) cos/jt. -,

cosv

OEwrese/eC —S. n.t.VII.

ou, ce qui revient au même,

/ (K — A) cos>. + FCOSJJI + E COSV =: o, (20) < Fcos), -+- (R — B) cosfji-t-Dcosv = o,

( E cos>. -I- 1) cosjjL -t- (K — C) cosv — o;

(26) (K-A)(K-B)(R-C)-D2(R-A)-EHK^-B)-F'-(K-C)H-2l)EF = o.

Cela posé, les trois valeurs de K, propres à vérifier l'équation (26), seront évidemment les trois moments d'inertie relatifs aux axes de l'ellipsoïde (18), c'est-à-dire, les moments d'inertie principaux. De plus, à chacun de ces moments correspondront deux systèmes de valeurs des angles X, a, v, déterminés par les équations (25) réunies à la suivante

(27) COS-X + COS^fJL -H cos^v — I,

ou, ce qui revient au même, par la formule

cos). cosjuL cosv