K + MR
Cette dernière formule comprend un théorème dont voici l'énoncé :
Théorème II. - Pour obtenir le moment d^ inertie d'un système de points matériels par rapport à un axe quelconque , il suffit d'ajouter, au moment d'inertie relatif à un axe parallèle passant par le centre de gra-
vite, la somme des jnasses des différents points multipliée par le carré de la distance entre les deux axes.
Les théorèmes I et II s'étendent au cas même où le nombre des points matériels A, A', . . . devient infini, et où le système de ces points se transforme en un corps solide. Lorsque le corps est homogène, et qu'un plan, mené par le point 0, divise le corps en deux parties symétriques, ce plan renferme évidemment deux axes de l'ellipsoïde représenté par l'équation (i8), et par conséquent deux des axes principaux relatifs au point 0. De cette remarque on déduit immédiatement la proposition suivante :
Théorème III. — Lorsque, par le centre de gravité d'un corps solide et homogène, on peut mener trois plans, dont chacun divise le corps en deux parties symétriques, les droites d'intersection de ces mêmes plans sont précisément les axes principaux relatifs au centre de gravité.
Ainsi, par exemple, dans un parallélépipède rectangle et un ellipsoïde homogènes, les axes principaux relatifs au centre coïncident avec les droites menées par le centre parallèlement aux arêtes, ou avec les axes de l'ellipsoïde.
Quand on se propose d'évaluer le moment d'inertie d'un corps solide homogène, le moyen le plus simple est d'employer la formule (21), et de déterminer les constantes G, H, I à l'aide de la division du corps solide en tranches infiniment minces, comprises entre des plans parallèles aux plans coordonnés. Ainsi, en particulier, pour détcrniiner
la constante
G = i/nx-,
ou le moment d'inertie du corps solide relatifau plan des j, z-,o\\ cherchera d'abord le moment d'inertie d'une tranche très mince du môme corps, renfermée entre deux plans perpendiculaires à l'axe des x, et correspondants aux deux abscisses a:-, x-\- \x. Soient U l'aire de la section faite par le premier de ces deux plans dans le corps solide et p la densité du corps. La masse de la tranche dont il s'agit et son moment
d'inertie par rapport au plan des y, z seront exprimés par deux produits de la forme
(36) {i±c)p[]lj:,
(87) {i±:s)p\]x-^Ax,
£ désignant un nombre qui s'évanouira toujours avec A^r et qui pourra changer de valeur quand on passera du premier produit au second. Cela posé, si l'on divise le corps en un très grand nombre de tranches semblables à celle que nous venons de considérer, on trouvera, pour la somme des moments d'inertie de toutes ces tranches,
(38) CJ=l{l±:£)p\]Jc'-^a',
le signe Z se rapportant aux diverses valeurs de A.r; [)uis, en faisant converger chacune de ces valeurs vers zéro et passant aux limites, on obtiendra l'équation
(39) ^ ^^ / pUj?^<:/^-.
Dans la formule (39), .x„ et ^, représentent la plus petite et la plus grande des valeurs de l'abscisse x. Cette formule s'étend au cas même où la densité p devient variable avec l'abscisse -x; et, quand le corps est homogène, elle se réduit à
Uj^-c/j". On trouvera de la môme manière
pourvu que l'on désigne par y^ et y, la plus petite et la plus grande des valeurs de ^ relatives aux divers points du corps solide, par^„ et z■^ la plus petite et la plus grande des valeurs de z, enfin par V et W les aires de deux sections faites dans le corps par des plans perpendicu-
laires aux axes des jet ^, et correspoiidants, le premier à l'ordonnée/, le second à l'ordonnée z.
Pour montrer une application des formules (21) et(4o), concevons que le corps solide soit un parallélépipède rectangle et homogène, dont le centre coïncide avec l'origine, et dont les arêtes soient parallèles aux axes des x, y, z. Si l'on désigne par a, b, c ces trois arêtes, et par M la masse du parallélépipède, on aura évidemment
U -r: bc, ^0 — — |«, ^i=j(f, M 1— pabc, M r"'
G=: pbc I x"- dx = — I x'^ dx --=. J^
On trouvera de même
et, par suite, la formule (21) donnera
Tel sera le moment d'inertie du parallélépipède relativement à un axe mené par le centre de manière à former les angles X, [jl, v avec les directions des trois arêtes.
Si le parallélépipède se transforme en un cube, la valeur de K deviendra indépendante des angles \,\k, v; et, en ayant égard à la formule
sin-X 4- sin^/jL 4- sin-v — 3 — (cos^X 4- cos^ju. 4- cos^v) - 2,
on tirera de l'équation (4i)
(]onsidérons encore un ellipsoïde homogène qui ait pour centre l'origine, et qui soit représenté par l'équation
La section faite dans cet ellipsoïde par un plan perpendiculaire à l'axe des ce, et correspondant à l'abscisse x, sera une ellipse qui, étant ellemême représentée par l'équation
aura pour demi-axes deux longueurs mesurées par les produits
De plus, comme, pour déterminer la surface U de cette ellipse, il suffira de multiplier le produit des deux demi-axes par le nombre r, on aura encore
\j = r. bc ( 1 — -—
On trouvera d'ailleurs, en désignant par M la masse de l'ellipsoïde,
^o = — «» a^i = a, M = ^^iipabc. Gela posé, la première des formules (4o) donnera
(M=T:pbc j l^,--\a;^-dx=^-l / ,__ \^2,/^^pj^2 / l\i-t')cà=z.lMa\
On aura de même
et, par suite, on tirera de la formule (21)
Tel sera le moment d'inertie de l'ellipsoïde relativement à une droite menée par le centre de manière à former les angles X, y., v avec les directions des trois axes.
Si l'ellipsoïde se transforme en une spbère, la valeur de K deviendra
136 SLR LES MOMENTS DINEimE.
indépendante des angles \, [x, v et se réduira simplement à
(45) K=ziMaK
Nous terminerons ici cet Article, sans nous arrêter aux applications que l'on peut faire de la formule (35), ni à la formule bien connue qui sert à déterminer le moment d'inertie d'un solide de révolution par rapport à l'axe de ce même solide.
SUR LA
