EN INTÉGRALES DOUBLES
M. Fourier a fait voir qu'on peut transformer une fonction de la variable x en une intégrale double, dans laquelle cette variable n'entre plus que sous le signe sin ou cos. Les deux formules qu'il a données pour cet objet peuvent être utilement remplacées par une autre que j'ai indiquée dans le XIX^ Cahier du Journal de l'Ecole royale Polytechnique, et qui renferme, au lieu d'un sinus ou d'un cosinus, une seule exponentielle imaginaire. Elles se trouvent d'ailleurs comprises, comme cas particuliers, dans celles que je vais établir.
Soient 9(^, r), yXp^ '')' /(O ^'"^'^ fonctions réelles des variables /^ r, t; et/>o, P, r^, R des valeurs réelles attribuées aux variables />, /•. Ainsi que je l'ai prouvé dans le Mémoire sur les intégrales définies
prises entre des limites imaginaires, on aura généralement
A désignant une somme dont chaque terme est égal au produit de l'expression
par l'un des résidus de /(/) correspondants à celles des racines de l'équation
((ue l'on peut déduire de la formule
(4) t = (^{p,r) + s,/—iyXP','')
en attribuant à la variable/? des valeurs comprises entre les limites y»„, P, et à la variable r des valeurs comprises entre les limites /-„, R. Ajoutons que, dans l'expression (2), le double signe devra être réduit au signe 4-, ou au signe —, suivant qu'il s'agira d'un résidu correspondant à une valeur positive ou négative de la difîerence
(5) ào{p,r) dxJP^ f) ()o{p,j-) d'/Sp,i^^
dp âr âr dp
Observons enfin que, si la fonction
ne devient pas infinie pour des valeurs do p et de /• renfermées entre les limites/? =po, p = P, r=^r\, r = R, on aura simplement
(7) Ar^O.
Parmi les applications que l'on peut faire de la formule (i), on doit remarquer celles qui se rapportent au cas où l'on suppose
(8) <u{p,r)=^p = x, xiP^ ') = '•= y, OU bien encore
(9) 9{p,r) = rcosp, ySp,r)~rsmp.
On retrouve alors les formules que j'ai données dans le premier Volum<'
des Exercices [p. 93 et suivantes, 2o5 et suivantes (')]. Si l'on supposait, au contraire,
(10) 9 (/?,/•) = «/•, y{p,r)z=:pr,
a étant une constante positive, la formule (i) donnerait
«-'II
Lorsque le produit r/[{a-{-p\f- \)r] s'évanouit pour r = ^, quel que soit /j, alors, en prenant
/o = 0, R = 00, Po — o, P = h, on tire de la formule (11)
f (a^-b\/^)f{(a + b\/'^i)r]dr= I af{ar)dr-\-l,
OU, ce qui revient au même,
(12) f {a+b\/^)f\{a + b^-'i)r]dr= f f{r)dr + ^.
Cette dernière équation comprend, comme cas particuliers, plusieurs formules connues. Ainsi, par exemple, si l'on pose
n désignant une quantité positive, on aura A = o, et l'on tirera de la formule (12)
Jr"^ — Tin)
puis, en faisant, pour abréger,
(i4) 0:=arclang-,
(1) OEuvres de Caucliy, S. II, T. VI, p. 12/, et suiv., 'Jô et suiv.
on trouvera
Concevons encore que, dans la formule (i i), on prenne
£ désignant une quantité très petite. Alors, en supposant la fonction /(/) choisie de manière que A s'évanouisse, on trouvera
Soit maintenant x une nouvelle variable renfermée entre les limites ^•„, X, en sorte qu'on ait
(17) Xo<.r<X.
Si l'on pose
(18) f{t)=f e-'(--P-)({ix)dix,
['(u.) désignant une fonction de a qui ne devienne pas infinie entre les limites \k = x^, ij, = X, on trouvera
puis, en faisant
on obtiendra la formule
(.9) f^\f(^~±-p^--=iY-i^j'''j''^ .-(-w-)^ ,'(..- 3.) ^^./,v.
lûO SLR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS
(]ommo on a d'ailleurs
(20) / 6'-(«+/'v'-"^)^f(a' — £s)ds ■= r'"e-(«+/'v/-')*|'(.r — £5) ds ^1- f e- ('»+/' s/- i)-'('(.r — zs) ds,
et que, pour des valeurs infiniment petites de £, les deux intégrales, comprises dans le second membre de l'équation (20), se réduironi, l'une au produit
{{œ) I e-{''+''\/~')''ds= ^-~^,\'{x),
Jo a-\- p sj^\
l'autre à zéro, on tirera évidemment de l'équation (19), en prenant £ = 0,
Je \ £ y £ J,. a+p\J—i
Cela posé, si l'on fait, pour abréger,
ou, ce qui revient au même,
If a dp b c
A=i I -- -^ , = arc lanff arc tanc - , J^, a^--\- p^ ^ a ^ a
\ ~J, a^ + p^ 2 \rt-'' + cV'
on conclura de la formule (16), en y substituant la valeur dé /(/) donnée par l'équation (18) et réduisant £ à zéro,
(7.^,) |'0r)= ^ f f [(a+b\J—'i)e-{''^''^')''^''-V-)—(a+c\^^)eA''+''f'^)'-('^-\'^\(ilx)drdij..
Si l'on supposait, au contraire, (25) ^(0=/ e-'(\'-^^ fiiJ.) d^x.
D'UNK SEULE VARIAIÎLE EN INTÉCtRALES DOUBLES. L=il
011 trouverait, en opérant toujours de la même manière,
(26) l'(^) - - ^ - --:-- 1 I [(rt+6v'''---i)e-(''+'V-0'-UA-^)-(a+cv^-^)e--(«+^V-l)'-(l^-^)]|'(^a)f//-r/fjL.
Enfin, si l'on ajoute la formule (24) à la formule (26), en ayant soin (Je remplacer £c — [a dans la première, et ix — ^ dans la seconde, par le radical sj{a; — [x)- qui représente, dans tous les cas possibles, la valeur numérique du binôme ^ — [Ji, on obtiendra l'équation
Si la variable .%• cessait d'être renfermée entre les limites ,1-^, X, alors, en supposant
et prenant
(29) /{l)--=f e-'(-'-\')({ix)diJ.,
on tirerait de la formule (iG), à l'aide de raisonnements semblables à ceux que nous avons employés ci-dessus,
•- 0 ^jr„
Si l'on supposait, au contraire,
alors, en prenant
(32) f{t)= f e-'(\>-^) [\ij.) dij.,
on trouverait
Les équations (3o) et (33) peuvent être remplacées par la seule formule
qui subsiste toutes les fois que la valeur attribuée à la variable <v est située hors des limites iTo, X.
Lorsqu'on prend c = — b, les équations (23) donnent
(35) A — 2arctang(- j, Rr=o;
et l'on tire des formules (27) et (34) : i« en supposant la variable x renfermée entre les limites x^, X,
( 4arclang- j y/— i
2° en supposant la variable x située hors des limites ^„, X,
Dans le cas particulier où l'on prend a — o, b = 1, h formule (36) se réduit à
({.T)=—j f (e-'V~\/(^-[x)^ | g;V^V(-^-tAr-) ^[y,)drdii,
ou plus simplement à
(38) [{x)——f f (e'-('^-I^)v'=^ + e-'-('^-!^Jv'^)f(/ji)^/-^[x.
Par suite, on aura, pour des valeurs de x comprises entre les limites
Xq , A ,
j'(^)::=- / 7 cos r {œ — i^) \\ix) drdij.
ou, ce qui revient au même,
On tirera, au contraire, de la formule (Sy), en supposant la variable xsituée hors des limites .x\, X et prenant toujours a = o, b = i,
(40 / / cos r {x ^ 11) \'{ix)dr dix z=o,
(42) / / e'-^''-\>-h/-ii'{ix)drdix=zo.
Dans le cas où l'on suppose b = o, la fraction que renferme le
second membre de l'équation (36) se présente sous la forme -• Mais,
en réduisant cette fraction à sa véritable valeur, on tire de l'équation dont il s'agit
(43) i'(j7) = ^ / / [i— a/-v/r^~^~fJ^f]e-«'Vû^i^|'(]UL)r//v/]UL. La formule (43), qu'on peut encore écrire comme il suit
1 f(^) =4- ^ / / [i~ar{x — ix)]e-'^'-(^-y-^ i-{p.)drdij.
subsiste, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites .x'o, X. Au contraire, lorsque la variable x est située hors des limites .r„, X, on a, en vertu de l'équation (37),
(45) / / [i — ar\/{.x — IJ.)'] e-«'V(^-(^)^ |'(|tjt) dr dix ~ u.
■^0 'J Xi,
On trouvera, par suite, en supposant ^ > X > ic„,
(46) / / [i — «/"(j^' — ^)]e-«''('^-H-)|'(|ut)t/r^/jir=o,
OEuvrcs de C. — S. II, t. vil. 20
15i SUR LA TRANSFORMATION DES FONCTIONS
c*t, on supposant a.- <^ x „ << X,
(4/) / / [i + a/-(^ — /Jt)] e-'*'-(-^-|^' l'(iJi) ^/•f/.a-- o.
Il importe d'observer que les équations (43) et (44) peuvent encore être présentées sous les formes
a r* r^^lae-^'V^ë^Wl (48) l'(-^)==fi l ~--Ta ^iWdrcl^.,
Lorsque, dans les formules (27), (4o), (4B) et (49). <>» suppose .To = — 00, X = 3o, on obtient les équations
(5o) l'(.r) — / / \{a + h\J—\) e~{a-^''^~^)r4<x-\^^^—{^a-'r-c\J^) e-(«+^'/^)'-v^'-<^-l^'-] f([Ji) - - ^ ^ ^ ^-i^zir-,- .'0 ./-„ 2(B + Av' — i)
(•^0 ({■^) = ^J J e>-(^-\>-^^-~'\'{iJ.)drdiJ., (00.) |(x)=r-j j --i^ — ^-i'{ij.)drd^,
qui subsistent pour toutes les valeurs positives ou négatives de la variable X.
(Concevons à présent que l'on prenne x^^ --= o, X = 3c. Alors, si l'on attribue à la variables une valeur positive, on tirera des équations (39)
et (48)
(54) {i'^)~~ i i cosr{x- ij.)\'{ij.)drdij..
De plus, on conclura des formules (4i) et (47)» ci remplaçant .r ])ar — X,
(56) 0= / / cos/'(^ + pL) |'(juL)«'/'f/ja,
(57) 0=/ / [i — a/-(^ + /ji)]e-«'-f^+iJ-) f(fJL)f//-6^rjL.
Si d'ailleurs on a égard aux équations
[ cos/"(^ — /J-) = cos/'oC cos/'u. + sin/'j" sin/'u, (58)
' cos/'(.r -f- jui) = cos/"^ cos/'/a — sm/'x siiw/Jt.,
on tirera des formules (54) et (5G), combinées entre elles,
(09) ['(a:) — - / / C0S/-,3? COS/'/J. |'(/^)<''^/"<^,U,
(60) j'(^)=;- / 1 '?i\\\vx ^n\r\x[{\x)di' dii..
Ces deux dernières formules sont celles que M. Fourier a données dans ses Recherches sur la théorie de la chaleur. On peut s'en servir pour intégrer des équations linéaires aux différences partielles et à coefficients constants. Mais, pour rendre la méthode d'intégration plus générale, il convient de substituer aux deux formules dont il s'agit l'équation (4o) ou (5i), ainsi que je l'ai remarqué dans le XL\^ Cahier du Journal de l' Ecole royale Polytechnique {voir aussi le Bulletin de la Société Philomathique pour l'année 182 1 , et \ Analyse des travaux de V Académie des Sciences pendant la même année). Ajoutons que, dans beaucoup de cas, il sera utile d'employer, au lieu des formules (4o) ou (5i), les équations (27), (5o), (02), (53). C'est ce que j'expliquerai plus en détail dans un autre Article.
Une observation essentielle à faire, c'est qu'on peut établir directement les formules (27) et (34) avec celles qui s'en déduisent, en effectuant d'abord dans chacune de ces formules l'intégration relative à la variable r, après avoir multiplié la fonction sous le signe / par l'exponentielle e"^'", et en considérant £ comme un nombre infiniment petit
que l'on devra réduire à zéro, quand les intégrations seront achevées. Ainsi, par exemple, en opérant de cette manière, et posant
a{x — JJL ) =r £ .y,
on reconnaîtra que le second membre de la formule (43) est équivalent au produit
'■< " ' r b^s - ( ■ +17] "^ = «-)/"(■ ^sr = «^'
Si l'on intègre, par rapport à la quantité a, et à partir de a =^ r, les deux membres de l'équation {J\o), on en tirera
(61) \ f [ac-a'V(-^-!J-r-— e-^'V(^-!^)^] |'(fji) dr dix = 2 \'{x) 1 f^\
ou, ce qui revient au même,
{6t.) ['{■r)r= r— / / [ae-^'-^^-^-^y— ce-'^'-^(^-l^y-]\'{ix)drdix,
c étant positif, ainsi que a. On peut aisément vérifier la formule (61) ; car, si l'on fait, pour abréger,
(63) i"(/-) = /- f e-'-v'(-«-i^)^|'(/x)f^|z, on trouvera, en posant u, — ^=-et/' = oc,
(64) f(oc) = l'(^) ( f e'ds-h f e-' ds\ ,-- 2 |'( x);
et, par suite, la formule (Gi) sera réduite à
Comme on aura d'ailleurs f(o) = o, il est clair que l'équation (6,t)
D'UNE SEULE VARIABLE EN INTÉGRALES DOUBLES. 157 pourra encore être présentée sous la forme
(66) jr-Ci^-i^e-)</,. = [r(.)-r(o)]i(f).
Or, cette dernière, qui comprend, comme cas particulier, l'équation
connue
— rt/' = 1
et qui coïncide, quand f(=o) s'évanouit, avec une formule que j'ai donnée dans le XIX^ Cahier du Journal de l'École Polytechnique Savoir la formule (c), p. 676], se déduit aisément, ainsi que M. Ostrogradsky en a fait la remarque, de l'équation
intégrée par rapport à la quantité a. On pourrait au reste établir l'équation (66), aussi bien que la formule dont il s'agit, à l'aide de la théorie des intégrales singulières.
L'équation (62) subsiste seulement pour les valeurs de x comprises entre les limites x = x^, x = \. Le second membre s'évanouirait si hi valeur de x devenait inférieure ou supérieure aux deux limites dont il s'agit; et il se réduirait à ^t'(^)' si l'on avait x = x^ ou x = X. On trouverait, en effet, dans le premier cas, f(cc) = o, et dans les deux derniers f(co) = |'(^). Si l'on prenait ^„= —oc, X = x, alors on aurait, pour des valeurs quelconques de x.
OU, ce qui revient au même.
' — f f [ae«''(« M-) — ce^''--*-!^] |'(f^)^'■f^/-^•
2ll - r" "'^
Ces dernières formules peuvent être utilement employées dans l'intégration des équations aux différences partielles.
Si, dans la formule (36), on prenait a — h = i, on trouverait, en supposant la variable œ renfermée entre les limites .t^, X,
(71) (^(j?) = -/ / e- '' "J ^■^-i^'i' [^cos r \/ (jo — ixy— s'mr\/{a;— ^y^ \i\iji) drdix.
,11 est facile de vérifier directement la formule (71), dans certains cas particuliers, par exemple dans ceux où l'on supposerait {(oc) = e~-^, {(x) =1 tosx, ....
On pourrait encore déduire de la formule (1) une multitude d'équations analogues aux formules (27) et (34). Supposons, par exemple, les fonctions o(p, r), yXp^^) ^^/(O tcHf^ment choisies que l'on ai(
9 ( p, o) = o, y^{p, o) =-- o, 9 {p, oc) = o, \ ---- o. Alors, si l'on prend
c désignant un nombre infiniment petit, on tirera de l'équation (i)
[r^{h,r)-+-sj-iyjh,r)] ^,
dr •^'
9(C, /■) -f-V'— IZ(C, /•)] r
dr J
dp
/[9(^/-)4-V'-iZ(^,/-)]^/- /[?(c, r) + \/—\ i{c,r)\dr
dp.
Si maintenant on suppose
(7.3) /(0= /' e-^^^-V^'{{^)di.,
et si l'on fait, pour abréger,
' dp
(74) R-hAv^-irr
rf/?
on tirera de l'équation (72), par des raisonnements semblal)les à ceux (|ue nous avons employés pour établir la formule (27),
Av/-i)-o ---- ff
dr
La formule (75) subsiste, comme la formule (27), pour des valeurs de x comprises entre les limites .Xo, X. Le second membre deviendrait égal à zéro, si la variable x était située bors des limites x^, X, et à \ f(^), si l'on avait x = x^ ou ^- = X.
Je terminerai cet Article en observant que l'on déduirait immédiatement la formule (1) de l'équation identique
dr
dp
dans laquelle t = o{p,r) -\- ^ — \ y^P^r), si l'on intégrait les deux membres de cette équation par rapport à la variable />, entre les limites p =p^, p = P, et, par rapport à la variable r, entre les limites r = r„, r= R. Alors, pour déterminer A, il suffirait de remplacer cbaque intégrale relative à rpar sa valeur principale, et de recourir à la tbéorie des intégrales singulières. Au reste, les applications que nous avons faites ci -dessus de la formule (i) n'exigent pas que l'on calcule la valeur de A, puisqu'elles se rapportent au cas dans lequel on a simplement A = o.
