DE LA

Soh /(œ,a) une fonction quelconque de x et de a. Soient, d'ailleurs, .^0, X deux valeurs réelles de la variable x. Si l'on pose

(i) . / f{x,a)dx = k,

i f{x,a)dx

on en conclura généralement, à l'aide de la différentiation sous le

sisne

^ / âa" da"

n désignant un nombre entier quelconque. Néanmoins, si la l'onction f(x, a) devient infinie pour une valeur de x renfermée entre les limites ^o» ^ ^^^ intégrales comprises dans les formules (i) et (2), et si, afin de lever toute incertitude sur l'évaluation de ces intégrales, qui seront le plus souvent indéterminées, on réduit chacune d'elles à sa valeur principale, l'équation (2) pourra devenir inexacte. Mais, pour trouver la cause de cette inexactitude et fournir les moyens d'y remédier, il suffira, comme nous l'avons observé dans le XIX*' Cahier du Journal de l'Ecole royale Polytechnique, de substituer à l'intégrale

(3) I f{x, a) dx

la somme dont la valeur principale est la limite. Supposons, pour fixer les idées,

(4) /(^, ft) — ^, , .2:0=0, X=:l,

a désignant une quantité positive et inférieure à l'unité. Les équations (i) et (2) se réduiront aux suivantes

(3) r'-^ = ii(,-a)'-Ii.»=if'-j:ifV

J„ (x-a)"+' i.2.3...n da''

dont la dernière deviendra inexacte, si l'on prend pour n un nombre impair, puisque alors l'intégrale comprise dans le premier membre aura une valeur infinie. Mais, pour obtenir la correction que devra subir, dans cette hypothèse, la formule (6), il suffira de présenter l'équation (5) sous la forme

(") r"~^ dx r^ (ix /i — a\

£ désignant un nombre infiniment petit. Alors, en effectuant n dilTérentiations relatives à la quantité a, on trouvera

X — a) I \,x — a / , dx -h I ^ ^ dx

Oa»- J . da'^