i — I ) On aura donc généralement

, . rf'M(l~^

e / V— £/ " da"-

pourvu que l'on réduise l'intégrale

à sa valeur principale. Si, dans la formule (9), on attribue au nombre

OF.uvres de C. — S. H, t. Vil. 2 1

entier /^ une valeur paire, on retrouvera précisément l'équation (G). Mais, si l'on prend pour n un nombre impair, la même formule donnera

ce qui est exact.

Supposons encore

(12) f{oc,a)= r r'. . . li^LZi^l^) dydz...,

fo, Y désignant deux fonctions de la variable x; z^, Z deux fonctions des variables a;, y; ... ; et F(^, 7» -» • • •) une fonction bomogëne de ce, y, z, ... dont le degré soit inférieur d'une unité au noml)re m des variables oo, y, z, Concevons d'ailleurs que le système des valeurs

(i3) ^^=a, yz=zb, z^ic,

soit un de ceux que les variables x, y, z, ... peuvent prendre en demeurant comprises entre les limites

(i4) ^r^^o, ^ = X; y=yo, J' = Y: zt=zzo, z = Z;

Dans cette hypothèse, l'équation (i), réduite à la forme

(i5) A=f f f -rr, ^lf^lll^:A -dœdydz...,

pourra s'écrire comme il suit :

J,,„ Jy„ Jz„ h{x-a,y-b,z-c,...) -^

^r ^Y^..^J(£lZL^:.) — dœdydz....

1 Ja-.e Jy. J.. F{x-a,y-b,z-c,...)

Soit maintenant A la différence entre les deux valeurs que prend l'intégrale (12), quand on y pose successivement x = a -^- i, x — a — s..

En différentiant l'équation (i6) par rapport à la quantité a, et faisant, pour abréger,

on trouvera

I 4- / / / • ■ • - — ({a:,y, z, . . .)djc dv dz. . .— A.

On aura donc

^•9) 5^=-/ // ■■■~H^,y,^;...)da.dfdz...-A,

•^.»-o ^yo «^^^o

pourvu que l'on réduise l'intégrale multiple

(20). / / / ■■•^-A-H^,y^^, ■■•)d'^(^fdz...

"^j'o "^ro ^-0

à sa valeur principale.

Il ne reste plus qu'à déterminer la valeur de la différence représentée par A. Or, soit § un nombre infiniment petit qui varie avec i, et admettons que, S étant considéré comme un infiniment petit du premier ordre, £ soit d'un ordre plus élevé. Le rapport

s'évanouira en même temps que B. Soient d'ailleurs V, W des quantités qui ne soient pas toutes comprises entre les limites — i , -t- i . Comme l'expression

f(a-^/a, ^> + va,c4-wa, ...) f(a — ^-a, ^> + va,c4-wa, .■.)

^^^^ F(<Ô, V(5, Wô, ...) F(-i"Ô, Vô, Wô, ...)

deviendra rigoureusement nulle, si l'on suppose i = o, elle sera sensiblement nulle, dès que l'on prendra pour i une quantité infiniment

16i DE LA DIFFÉRENTIATION SOUS LE SIGNE /.

petite d'un ordre suffisamment élevé; et par conséquent on pourra établir entre les deux facteurs S et i du produit

(23) t = iè une relation telle que l'expression

s'évanouisse à très peu près pour toutes les valeurs Aq y — h, z- — c, . .. non comprises entre les deux limites — o, -ho. Cette condition étant supposée remplie, il est clair que la quantité A différera très peu de l'intégrale singulière

J^/' + O ^r-t-o r Cl

r f ■ ■ r na+s,.r,z,...) f(a-£,j,5, ■■■) -1

.-0 J,-o LF(£,7-6,5-c,...)~F(-e,j-6,5-c,..T)J^^^"---

Donc, si l'on fait, pour plus de commodité,

(26) J = 6+£t', Z = C-hBW, ...,

et si l'on observe que la fonction bomogène F(^, j, z-, . . .), étant par hypothèse du degré m — i, vérifie l'équation

(27) F{±£,£v,ew, ...) = z'^-iY{±i,ç,w, ...),

on trouvera sans erreur sensible

^^"1 F(i,.,^,...) F(-i,.,^,...) Jf-^-----

En réduisant t à zéro dans la formule qui précède, et en faisant, pour abréger,

(29) /•■ = / / • • • ri ^ - ïv ' : I dvdw. . . ,

on en conclura

(30) ii = k{{a,b,c, ...).

Par suite, l'équation (19) donnera

Si la fonction P était déterminée, non par la formule (17), mais par celle-ci