I -1- m / / / ■■' ^—{{x,Y,z, ...)dxdfdz
pourvu que, dans l'évaluation des seconds membres des formules (38), chacune des intégrales relatives à x soit réduite à sa valeur principale. Pour montrer une application des principes que nous venons d'établir, supposons
{{x, y, z, . . .) dx dy dz. . .
et, de plus,
m désignant toujours le nombre des variables x,y, z, ... eil, [x, v, des quantités constantes. Si l'on fait, pour abréger.
[(■^7-(Vy-C^7-l
on aura
^^f f f ...Kf(^,/,-% •••)^^'^(X^'^---
et, comme l'expression
est une fonction homogène du degré m — 2, on tirera des formules (36) et (38)
da
J J J '•• -^^{^yy,^, •••)dxdydz..
de
^ 0 yo
~ï{œ,y,z, ...)dxdydz....
de
[{x, y^ z, . . .) dx dy dz. . .,
On trouvera d'ailleurs / <?R m — 2
da ~ X2
de v^
et, comme l'expression
sera une fonction homogène du degré m — i, on aura encore, en vertu des formules (35) et (38),
d\ de
dB
•^0 yo -0
/^ /^ /* >^- ri
dC de
•ï-o ''Jo
pourvu que, dans les seconds membres des équations (47)» on remplace chaque intégrale relative à ce par sa valeur principale. Ajoutons que la constante k sera déterminée par la formule (29), dans laquelle on devra substituer à ¥(x, y, z, ...) l'expression (46). On aura donc
2 (m — 2) f^ f"^ dvdw...
Si maintenant on observe qu'on a, pour des valeurs positives de n et de t,
(49) J\n-X^-std,^ï(^,
et, par suite,
on tirera de l'équation (49)
puis, en ayant égard à la formule
(53) f e-'''di>r=Ç e-''^'-dw = ...^^,
on trouvera définitivement
(54) Â-=li^ir — ^ / s'e-'ds
En d'autres termes, on aura, pour des valeurs paires du nombre entier m,
(55) k= ^(^-jj^,
et, pour des valeurs impaires de m.
Concevons maintenant que l'on différentie la première des équations (45) par rapport à la quantité a, la seconde par rapport à b, la troisième par rapport à c, . . .; puis, qu'on ajoute ces mêmes équations ainsi différentiées, après les avoir respectivement multipliées par les facteurs X-, tj.-, v-, — On trouvera
Gela posé, on tirera des équations (47) et (54)
^ âX 2^^ , 2^C , 2(^ — 2)7:% „^
puis on en conclura, en ayant égard aux formules (4o),
En conséquence, la valeur de S, déterminée par la formule (Sg), vérifiera, pour des valeurs paires de m, l'équation aux différences partielles
et, pour des valeurs impaires de m, l'équation
do" ^ db^ de- I 3
Les équations (60) et (Gi) supposent, comme la première des for-
OEuvres de C. - S. U, t. VU. 2 2
mules (47), que les valeurs x=^a, y~by z = c, ... sont renfermées entre les limites des intégrations indiquées dans la formule (Sq). Si le contraire arrivait, il faudrait, à la première des formules (47), substituer l'équation
et l'on aurait, par suite,
Il ne sera pas inutile de remarquer que l'une des équations (09) ou
(63) serait encore vérifiée si la valeur de S était donnée, non par la formule (39) ou (42), mais par la suivante
(64) S = f J f ■■■ (Q + R)f(^,.r,=, ..,)dxdydz...,
Q désignant une fonction qui renfermerait, avec œ, y, z, les quantités a, b, c, ... et qui serait du premier degré seulement par rapport à chacune de ces quantités. Si l'on supposait, en particulier,
(65) Q = -i et f(^,j,c, ■■■)^-^^-^''-'^'''---\
on tirerait de l'équation (G4) réunie à la formule (40
(66) S= / / / ...-L^ C ^ — "^—1 b i. J j{x,j,z,...)d.rdfdz...,
puis, en prenant m= 2,
I / r* — rr \ - / 1/ /) \ ■*•
/{a-,j)da;df.
Alors aussi l'équation (39) donnera
tandis que l'équation (63) deviendra
Donc la valeur de S, déterminée par la formule (O7), vérifie l'équation (68) lorsque les quantités «, h représentent des valeurs de a- et de j comprises entre les limites x = .t^, x = X; y — Yo, J = Y; et l'équation (69), dans le cas contraire.
Lorsqu'on suppose m = 3, la valeur de S, donnée par la formule (39), se réduit à
cix dy dz .
Alors aussi l'on tire des formules (54) et (59)
tandis que la formule (63) devient
■+-fx'
de-"
On déduit aisément des principes que nous venons d'exposer une des propriétés les plus remarquables de l'intégrale triple qui sert à la détermination des composantes rectangulaires de l'attraction exercée par une masse quelconque M sur un point matériel pris au dedans ou au dehors de cette masse. En effet, soient a, h, c les coordonnées rec-
tangulaires du point matériel dont il s'agit; x, y, z celles d'un point quelconque de la masse M; f(^, j, -) la densité de M au point (^,7, ^), et
(74) ,. = s/ia:-ay+{y-by-V-iz-cy
la distance respective des deux points (oc, y, z) et (a, h, c). Désignons, en outre, par Aoc-, Aj, A:; des accroissements très petits attribués aux variables 00, y, z, par ni^nn élément de masse renfermé entre six plans menés parallèlement aux plans coordonnés par les points {x,y,z), (07 -h Aie, y -f Aj, z -\- ùiz)\ et supposons la masse M terminée par deux plans perpendiculaires à l'axe des a?, deux surfaces cylindriques perpendiculaires au plan des x,y et deux surfaces courbes dont les équations soient respectivement
(-5) x = x^, x — \', J=Jo, / = Y; -=^0, z — L
On aura, sans erreur sensible,
et, si l'on nomme \ l'attraction qu'exerceraient l'une sur l'autre deux masses représentées par l'unité, et placées à l'unité de distance,
(77) -^ = -{{x,y,z)\xly^z
sera la force accélératrice qui mesurera l'attraction exercée par la molécule m sur le point {a, h, c) placé à la distance r de cette molécule. De plus, cohime le rayon vecteur /% mené du point {a, h, c) au point {x,y,z), formera évidemment, avec les demi-axes des coordonnées positives, des angles qui auront pour cosinus les trois rapports
X — a dr y — b __ âr z — c ^'
^'^) —r~-~d^' '~T~'-~~âb' r ~ de'
les projections algébriques de la force accélératrice dont il s'agit sur
les mêmes axes se retrouveront représentées par les trois produits
l ^L-JL f (^, y,z)^x ^y ^z = -^ î{x, y, z) ^x ^y ^z,
da db
d l tZ^ f (X, y,z)^x ^y ^z = -^ f (^, ,7, z ) A^ ^y àz.
Donc, si l'on nomme A, B, C les projections algébriques do la force accélératrice qui mesure l'attraction exercée par la masse M sur le point (a,b, c), on aura
la valeur de S étant donnée par la formule
J^(t *^ro ^ '0
Or, la valeur précédente de S, étant celle que fournit l'équation (70), quand on suppose X = [x = v, vérifiera nécessairement l'une des équations (72) ou (73), réduites, par cette supposition, aux deux formules
^ ' da- Ob^ Oc-
à^ à^ d^ da' ^ db^ "^ dc^
savoir, la formule (82), si le point (a, b, c) est situé au dehors de la masse M, et la formule (83) dans le cas contraire. En d'autres termes, on aura, dans le premier cas,
<?A d\i dC / 1 p/ i, \
in DE LA DIFFÉRENTIATION SOUS LE SIGNE /.
et, dans le second,
da db Oc ' ■
L'équation (83) était connue depuis longtemps. Quant à l'équation (82), M. Poisson l'a démontrée dans le Bulletin de la Société philomathique de décembre i8i3; et M. Ostrogradsky a remarqué, le premier, qu'elle pouvait se déduire des principes que j'avais établis relativement à la differentiation sous le signe f dans le XIX^ Cahier du Journal de l'École Royale Polytechnique.
Tout ce qui a été dit ci-dessus montre comment on doit modifier la formule (2), dans le cas où la fonction f{x\ a) devient infinie pour .r = rt. Il serait également facile de trouver la correction que devrait subir cette formule, si la fonction f{x,a), ou l'une des fonctions
dérivées
à/{x,a) d\f{x,a) i)\f(œ,a) do ' da- ' Oà^
devenait discontinue pour x = a, ^n conservant néanmoins une valeur finie. Supposons, pour fixer les idées,
c désignant une quantité constante. Dans cette hypothèse, la fonction dérivée
,0 s df(x,a) x—a ,,, ; „,
da
\/{x — ay
deviendra discontinue pour x = a, en passant brusquement de la valeur — f(«) à la valeur + f(a). De plus, on trouvera généralement
et l'on aura, en conséquence : i*^ pour des valeurs paires de n,
vi" pour des valeurs impaires de n.
\/{x — ay-
d'où il résulte que les dérivées d'ordre impair de/(,27, «), prises par rapport à la quantité «, offriront toutes, pour x = a, une solution de continuité. Cela posé, si l'on fait
A=r/ f{x,a)dx= j e^V(^-«)^f(^)fl^x,
et si l'on suppose la valeur de a comprise entre les limites .x-,,, X, la formule (2) deviendra inexacte, dès que l'on aura /i> i. Mais, pour corriger cette formule, il suffira de recourir aux considérations que nous allons indiquer.
L'équation (91) peut s'écrire comme il suit :
Or, si l'on différentie la formule (92) plusieurs fois de suite par rapport à la quantité a, on en tirera
' Y' ~ } ce^^'^-''^ ({x)dx — ce^^^-''H{x)dx,
— - = / c'-e'^^''-^'^ ï{x)dX'h c^e'^^-^-"'>t{x)dx-i-2c({a),
^.r„ «-'Cl
On aura donc
(9^) ^= f c ,''~'' e-^(^^^'Ç{x)dx,
de sorte que la formule (2) sera vérifiée pour n = i. Mais, en supposant /< > I , on trouvera
OU, ce qui revient au même,
■'11 la valeur de A étant donnée par l'équation
(97) A = 2c[f(«-2) (a) + c^ f'«-*) (a) 4- c'* f «-«> («)+...], dans laquelle la suite
s'arrête au terme qui renferme l'une des deux fonctions {{a), f (a). Dans le cas particulier où les fonctions
s'évanouissent pour x = a, les valeurs de
J^' da'' ôa*' ■■■' Ja'"-^^'
tirées de l'équation (93), se réduisent à celles que fournirait l'équation (2).
SUR
Soit 00 une variable réelle et positive, et f(^) une fonction quelconque (le cette variable. Il résulte des formules (09) et (60) (p. i55), données pour la première fois par M. Fourier, que, si l'on suppose
(i) cfix)=(^\ J coi rx({r)dr,
on aura réciproquement
(2) f(,r)=f|) I co&ra:(^{r)dr;
et que, si l'on suppose
(3) 'J^{a^) = (-y f sinra:\\r)dr,
on aura réciproquement
(4) j;{x) = l-) I sinrx^ir)dr.
(3n voit donc ici se manifester une loi de réciprocité : 1° entre les fonctions ('et 0; 2° entre les fonctions f et 'j»; de telle sorte que chacune des équations (i) et (3) subsiste quand on échange entre elles les fonctions f et ç>, ou (' et '\i. C'est pour cette raison que, dans le Bulletin de la Société philomalhique d'août 1817, j'ai désigné les fonctions |'(^), ^(•^) sous le nom àe fonctions réciproques de première espèce, et les fonctions {(oc), '\i{oc) sou« le nom à.Q fonctions réciproques de seconde espèce. Ces deux espèces de fonctions peuvent être, ainsi que les formules citées de M. Fourier, employées avec avantage dans la solution d'un grand
OEuvres de C. — S. U, t. VII. 23
nombre de problèmes, et jouissent de propriétés importantes que je vais rappeler en peu de mots.
D'abord, en différentiant plusieurs fois de suite par rapport à ^l'équation (i), on reconnaît facilement que, si
o(,r) et f(,3?)
sont deux fonctions réciproques de première espèce,
9"(j?) et —x^[\x)
seront encore deux fonctions réciproques de première espèce, et qu'il en sera de même des fonctions
9'^'(^) et ^*f(.r),
o'^'\cc) et — a;^ i\cc),
Au contraire
9(2") (^) et (— i)"j?2/j |'(^)
o'{cc) et ^f(^),
o"\x) et — ^3f(^),
(p(2«+i)(^) et {—i)"x^"+^\Xœ)
seront des fonctions réciproques de seconde espèce. On arriverait à des conclusions analogues en différentiant plusieurs fois de suite, par rapport a. ce, les deux membres de l'équation (3).
De même, en désignant par k une constante réelle, on reconnaîtra
sans peine que, si
9(.2^) et f(^)
sont deux fonctions réciproques de première espèce, la fonction
i\a;)coskx aura pour réciproque de première espèce ^
9 yî^^r^^] + 9 y^a^-A)'-]
tandis que la fonction
aura pour réciproque de seconde espèce
On peut observer encore que, s'i/(x) et yX^) sont deux fonctions réciproques de première ou de seconde espèce, afix) et ciy^œ) seront réciproques de même espèce, a étant une constante prise à volonté. Lorsqu'on pose
a et m désignant deux constantes positives, on tire des équations (i5) de la page 149
1 / /•'«-» e-«'- cos /-^ dr = -^ — ^^ cos ( m arc lang - 1 >
j / r'"-^ e-""' smrôcdr= ^ — ^- sin( m arclang - )•
Or, de ces dernières formules, comparées aux équations (1) et (3), il résulte évidemment que la fonction (5) a pour réciproque de première espèce
(7) cp(^) = (^-j ^^cos(/narctang-j = (-j ^ ^- '- ^ -^ '~r{m),
et, pour réciproque de seconde espèce,
(8) d;(x) = (-j ^ — ^;^sin (marclang- j = (- ) ^ ^- ^ — ^ ~ — -Y [m).
Par suite, en prenant pour b une constante réelle, on conclura sans peine, des remarques précédemment faites, que la fonction
(9) ('(a-) =^"'-"' e-«^ cos6^
a pour réciproque de première espèce
tandis que la fonction
(il) i'{cc)=zcc"'-i e-''^&inbx
a pour réciproque de seconde espèce
Dans le cas particulier où l'on prend m = i, la fonction (5), réduite à la forme
a pour réciproque de première espèce
TT/ x--\-a-
et pour réciproque de seconde espèce
Concevons maintenant que, dans l'équation (33) de la page io4 du premier Volume ('), on pose successivement
J^ désignant une fraction rationnelle. On en tirera, en échangeant r (x) ^ "
entre elles les variables x et r,
(.6) f''^.^'^--'dr=..^~, '£*-!flf^
(1) OEuvres de Cauc/if, S. II, T. VI, p. i35.
et
OU, ce qui revient au même,
^^ J«F(r)^ «r/-27rv/ i^^^ ((F(-/-)))
De plus, on conclura des formules (i 6) et (i8), combinées entre elles par voie d'addition et de soustraction,
rx \J—l
ou, ce qui revient au même,
Jo LF(0 F(-/-)J ^ „^oLMO H-'-)J
Jo LF(0 F(-A-)J »<^oLi(') t (-/■)!
Or il résulte évidemment des équations précédentes que la fonction
(20 /(^) = f(^ + fF^)
a pour réciproque de première espèce tandis que la fonction
(^3) /(-) = Fb)-F(=:^)
a pour réciproque de seconde espèce
Concevons enfin que l'on prenne (25) f{'^) — e ^.
L'équation (i5) de la page 56 du premier Volume (') donnera
I e '^ cosrx dx = [ - \
(26) le ^ cosra: dx = { -] e
Par conséquent la fonction (16) se confond avec sa réciproque de première espèce. Il est aisé d'en conclure que la fonction
(27) /(^) = e"'^cos/cj7
a pour réciproque de première espèce
Les principaux usages auxquels on peut employer les fonctions réciproques, ou les formules de M. Fourier déjà citées, sont ceux dont nous allons faire mention.
Premièrement elles servent à la détermination des intégrales définies. Ainsi, par exemple, en prenant pour /(a?) la fonction (5), on tirera des équations (2), (7) et (8)
puis on conclura des formules (29), combinées entre elles paif-'voie d'addition et de soustraction,
C^ e'^'^^'dr 27: ,„ . ___
(1) OEmrex de Caucliy, S. II, T. VI, p. 77-
Ajoutons que, si l'on différentie les formules (29), (3o) ou (3i) par rapport à l'une des quantités ac ou m, ou par rapport à toutes les deux, on en déduira de nouvelles équations dignes de remarque. Ainsi, par exemple, en désignant par n un nombre entier quelconque, on trouvera
i / ^^ ^^ ' — /-"ces H r^ Wr = —ï^-
2 r ( /?i ) dx"'
\ f(a — r\/^^i) '" — (a -]- r \J^^i) '"■ „ . / mi \, tt d" (.v'^~^e~''^) f / ' ^=^ — — r« sm ( h ra; dr — — =- — - — ^ — r :
puis, en ayant égard à la formule (25) de la page Gi du premier Volume ('), on tirera des équations (3o) et (3i)
C désignant la constante dont Euler fait mention à la page 444 de son Calcul différentiel, et dont la valeur approchée est 0,377216
J'ai donné les formules (29) au commencement de i8i5, dans un Mémoire où elles étaient appliquées à la conversion des différences finies des puissances positives en intégrales définies. On peut, au reste, opérer cette conversion en s'appuyant ou sur la formule (3o), ou sur une autre qui s'accorde avec elle, et qui a été donnée par M. Laplace.
Lorsque, dans les équations (29), on pose m = i, on obtient les formules
Jr* adx t: ^^ C . r dx tc f cosrx— -rrr-e-««, / sm r X — - = -e-''^,
qui ont été données par M. Laplace, et qui se trouvent comprises l'une et l'autre dans les équations (20).
(1) OEuvrcs de Cauchy, S. II, T. VI, p. 83.
Les fonctions réciproques peuvent encore servir à transformer les intégrales aux différences finies, et les sommes des séries, quand la loi de leurs termes est connue, en intégrales définies ordinaires. En effet, si l'on pose Ax = h, et si l'on désigne par oc^, X deux valeurs de X tellement choisies que la différence X — x^ soit un multiple de h, on aura, en vertu des équations (2) et (4),
sin rX ] — sin /-^o
2 sin
et
// rh\ ( ^ rli cos rx^ cos rX — '-^-r^ ^^^'•)^'- 2sin-
De même, si l'on représente par z une variable comprise entre les limites — i, -f-i, et par a une quantité constante, on déduira sans peine de l'équation (2) ou (3) les sommes des séries
et
(38) f(o), z\{a), ^''('(aa), x;^|'(3a), ....
On trouvera, par exemple, en considérant la seconde de ces deux séries,
= (-) / (n-icosa/-f-^-cos2a/-+. . .)9(/)û^/'
et
1 ■=(-]' f {zsin(xr-{-z^sin2ar+...)']>{r)dr.
On a d'ailleurs, en supposant :;-<!,
(i + 5 cosczr + z- COS20C/- -i- ...)-{- {z sinar + z^ sin2a/' +. . .)\/ — j = 1 H- ze^''\^^-+-z-e^^'-^^. + . . .
I — ze^''\/-^ I — z cos ar — z sin a r sj — i
I — -cosa/' ^sina/-
I — 2z COS a /• -!- -- 1 — iz cos (xr -\- z
et par suite
I + z COS a/' -f- ^- cos 2 a/- +. . .
sma/' 4- c- Sin2a/' +...=:
I — ;: cosa/' 1 — "iz COS a/' H-
^ sina/-
j — iz cosa/' H- ^■ Cela posé, on conclura des formules (39) et (4o)
(43) et
./ \ ./ \ 9,./ \ /2\"'' r°° I — ocosa/- , , ,
' ' \7:/ / I — 25 cosa/'H-^- •
^)ïr
z sinar
2z cos a/" -H z
~,'Hf-)^'-'
si, dans l'équation (44)» on réduit c- à l'unité, on trouvera
(45) f(a)+r(2a)+...^(:^)' f\{r)col^dr.
Ainsi, la sommation de la série
se trouve ramenée à l'évaluation de l'intégrale définie
/ '!(/■) col -;-t//-.
A la vérité, cette intégrale a une valeur générale indéterminée, attendu que la fonction sous le signe j devient infinie, avec le facteur cot— ?
Or.mres de C. — S. II, t. VII. 2^
pour toutes les valeurs de r propres à vérifier l'équation
et, par conséquent, pour les valeurs de r de la forme
n étant un nombre entier quelconque. Mais il est facile de s'assurer, comme on le verra ci-après, que, dans l'équation (45), l'intégrale dont il s'agit doit être réduite à sa valeur principale. Si l'on prend
i désignant un nombre infiniment petit, on trouvera ' I — :; cosa/- i i — z°^ i
1 — 2;;cosoc/- + -;- 2 2 i — 2^cosa/-|-
(oi) { ■ £-+ (i — c) I 2 sm ^-
-sina/' sina/-
I — 2^cosa/-4-s' , . , / . a/-
£- -+- (r — £) (2 sin ^-
Par suite, si l'on a égard à la formule
(52) i'(o)^(^yy%(/-)^//-,
on tirera des équations (43) et (44)
(53) ir(o)., ■(.).,,.,-... .=(-:/(,-£) f'^s^^
, I £-+ (1 — £) ( 2Sin -— j
j2 l (i £) / 2 sin 0 \ 2
De plus, si l'on désigne par o un nombre qui s'évanouisse avec t, on
aura encore
e o(r) dr
£-+ (i — s) ( 2 sin
o{r)dr
£-+ (l — £) 2 Slll
zo(r)dr
£■+ (i — £) ( 2 sin — ■1
p o( r) dr
î--t- (i — c) ( 2 sin ■ —
et
'hir) sinor/-^/-
£-! (i — £) I 2 sin -;—
di( r) sin a/- dr
(i — £) (2 sin
'h(r) sin ar dr
£■*-!- (1 — £) (2 sin —
'hir^ s'\nardr
. (xr
A et B étant le^ sommes d'intégrales singulières que déterminent les
équations
^'■^ / T~ — ,/. ■ «/■v + 2 / 7"- — TTr^o.'^^'
I £-^-H(l — £) (2Sin j n = y J £2^(l — c) ( 2Sin— 1
/ £-+(!— £)l2Sin-
(];(/■) si n a /■(-//•
et le signe ^ s'étendant à toutes les valeurs positives du nombre entier n. D'ailleurs, dans chacune des intégrales que renferme le second membre de l'équation (5j), la fonction sous le signe / est le produit des deux facteurs
et 9(/')
£'-+-(! — 0(2 sin^j
dont le premier reste, pour toutes les valeurs de r comprises entre les limites de l'intégration, inférieur au rapport
£^+(,-£)^2sm-j ,-+(i 3)(^^sm--j
Or ce rapport sera sensiblement nul si, 0 étant considéré comme infiniment petit du premier ordre, on prend pour t une quantité infiniment petite d'un ordre supérieur à 2, par exemple, si l'on suppose ,'
£ = 0* ou 0^=s''.
Par conséquent, dans cette hypothèse, les intégrales que renferme le second membre de la formule (55) seront nulles à très peu près, et l'on aura, sans erreur sensible.
t o{r)dr .
£^ + (i-£)(':>.sin^j
Dans la même hypothèse, en prenant
r = £s ou
/•— \- ss,
on tirera des formules (07) et (58)
o{Es)d.<t
s 1 ds
