ol's

(xsds

tx-s^

Faisons maintenant, pour abréger, — ^ = ^, en sorte qu'on ait

Il est clair que, pour des valeurs décroissantes de £, les seconds membres des formules (55) et (56) convergeront vers deux limites équiva-

lentes, la première à la quantité

la seconde à la valeur principale de l'intégrale définie

(69) / Vi L^^,.= / ^(r)coi-dr.

Donc, la formule (54) pourra être remplacée par l'équation (4^), et

la formule (53) donnera

ou, ce qui revient au même,

(70 «■' \{ i'(o) + rw + r(^a) +. . .] = r

Ainsi, l'équation (71) subsiste entre les fonctions réciproques de première espèce, désignées par les lettres f et o, toutes les fois que les nombres a et ^ vérifient la formule (07).

Si, dans l'équation (71), on remplace la fonction |(^) par le produit

{{x) cOi>0x,

0 désignant une constante réelle, on devra, en vertu d'une remarque précédemment faite, remplacer en même temps la fonction o{x) par la demi-somme

o fv/(^ + 9)-^l 4-9 \\J{^-Qy\

et l'on aura, par suite, pour toutes les valeurs de 0 comprises entre les limites o, ^,

|'(o) 4- |'(a) cos6a + {{ict.) cos^Oa -h . . •

Lorsque, dans les équations (71) et (73), on pose a = i , ^ se réduit à 2k, et Ton trouve