f(o) + r(0 COSQ + f(2) COS
La formule (73) subsiste seulement pour les valeurs de 0 renfermées entre les limites o, 2-. Si l'on y remplace l'arc 0 par l'arc 0 -+-t., on en tirera, pour toutes les valeurs de 0 comprises entre les limites — -,
- |'(o) — ('(OCOSO + ('(2)COS25— .
=: ( - y [9(Tr - ^) + 9(71 -h (5) + 9(37T - 5) + 9(3;: + 5) +. . .].
Appliquons maintenant les formules que nous venons de trouver à quelques exemples, et d'abord supposons les fonctions ('(^"), 9(^), 'K^r) déterminées par les équations (5), (7), (8). Alors on tirera des formules (i^). (71) et (73) : i" en supposant m > i,
(a — ri' — 1)"'" — (a-t-/-i/ — 1)"'" ar . ^ ^ ^ — col — dr
/ sin(/
/• \ car dr
- cot —
(^-) ; — / sm I m arc tans - I cot
— . iyni — \ iQ — a'J. 1 2'« — • g-2aa i 3"'~' e~' « ît ) )
ces marc tang- cos /«arctang— *- ces marc tani;—^
1 Cl'"' — 'IL —
[e-aa|. o.m-1 g 2rta| 3^-1 g-3aa.,__ , ^]^
cos^marclang - j cos( /?j arclang tî — -\ cos( m arc tang^-^- )
n'il-
(e--"°'cos55c + 2'"-'»e--«='cos2 0a-i- 3'"-' f-^a^cosS^a +. . .);
i"" En prenant /?? — i, et ayant égard à la première des formules {t\'i), III I
II I
z::; - ( — h- 6'-^ °' cos Qa + e"- '* "^ cos 2 (^a H- . . (82); «^2
2a I — 2 £-"'=' cos6'a + e-^''^* a(3 --JU1 gOr """
e P — 2 cos— „-" 4- e P
Concevons maintenant que l'on échange entre elles les valeurs de l'(^) et de o{x), déterminées par les formules (5) et (7), ou les valeurs de {{x) et de '\>{x) déterminées par les formules (5) et (8). Alors on tirera des formules (4^) et (73) de nouvelles équations qui se réduiront, pour w = i, aux deux suivantes :
(83) l e-'"col~dr=-2x(
rt'H-a"' a--\-[\a' «''4- 9 a
/ I cos 5a cos 2 Sa cos 3 5a
l 2a- a'^-i-oc'^ a^+[\a.^ a--\-^c(}
(84) { laa.
^-aO^^-«(?-0) ''(5-O , -«(^-^)
'2 a et I — e^^f* 2aa
Les formules (79), (82) et (84) supposent le nombre 0 renfermé
entre les limites o et 3 = — • ' a
Considérons encore le cas où les fonctions ((ce), 9(ï*) se réduisent à la fonction (23). Faisons d'ailleurs *
l'équation (67) donnera
(86) ab — Ti;
puis on tirera des formules (45), (71)' (7^)»
r°° -- ar ^
(87) / e " cot-^<^/- = (2Tr)-(e-«'+e-*«'+e-3«'^
Jo s/a
OU plus simplement
(88) / e-'"'cola/-<i/- — 7r^(e-«-+e-*«'+e-»«'-i-. . .); et de plus
a- \- -\- e^«'C0S2«!T + e~*'^'cos[\ax -\- . .
La dernière équation suppose t <^ b.
J'ai signalé les formules (71) et (89), avec la méthode par laquelle je viens de les établir, dans le Bulletin de la Société philo malhique d'août 1817, et j'ai développé cette méthode dans les Leçons données en 181 7 au Collège de France. J'ai remarqué d'ailleurs, dans le Bulletin dont il s'agit, qu'on pouvait déduire immédiatement de la formule (71) la sommation des séries qu'Euler a traitées dans son Introduction à l'Analyse des infiniment petits, et de plusieurs autres qui renferment les premières. Telles sont, par exemple, les séries (81), (82), (84), • • • .
OEuvres de C. — S. II, t. VII. 25
La Ibruiulc (89) parut digne d'attention à l'auteur de la Mécanique céleste, qui me dit l'avoir vérifiée par une méthode particulière, dans le cas où l'un des nombres a et /;est très petit. Enfin, dans leXlX^ Cahier du Journal de l'École Polytechnique, et dans un Mémoire sur le calcul numérique des intégrales définies, M. Poisson a reproduit les formules (71) et (89) avec leurs principales conséquences, en s'appuyant aussi, pour établir la formule (71), sur la décomposition d'une intégrale définie en intégrales singulières, c'est-à-dire, en intégrales dont chacune est prise entre des limites infiniment rapprochées de la variable. De plus, il a donné, dans le Mémoire que je viens de citer, la formule (90), en la déduisant de la formule (71).
On pourrait encore se servir des fonctions réciproques, ou des formules de M. Fourier, pour l'intégration des équations aux différences partielles, comme on le fait dans la théorie de la chaleur, dans la théorie des ondes, etc. Mais, ainsi que je l'ai déjà observé, la méthode d'intégration devient plus facile, lorsqu'aux formules dont il s'agit on substitue l'équation (5i) de la page t54. C'est ce que je montrerai plus en détail dans un autre Article.
DKS
