EN INTÉGRALES MULTIPLES

J'ai précédemment indiqué les moyens de transformer une fonction quelconque de la variable a- en une intégrale double, dans laquelle cette fonction était remplacée par des exponentielles dont les exposants réels ou imaginaires étaient du premier degré par rapport à a-. Les formules auxquelles je suis parvenu de cette manière peuvent être facilement étendues au cas où l'on se proposerait de transformer en une intégrale multiple une fonction de plusieurs variables indépendantes a:-, y, z, (rest ce que je vais expliquer en peu de mots.

Si, dans les équations (4o) et (5i) des pages \^)3 et i54, on écrit f{oc), a et X, au lieu de f(.r), r et u,, on trouvera, pour toutes les valeurs de X renfermées entre les limites x^^, X,

(1) f{x) =- -^J" f e^(-'-^r^^fO.)dy.rn.

et, pour des valeurs quelconques de x,

(2) f(^a:)=~C I e^(^-^'^\^-~^f{l)dy.dl.

Cola posé, si l'on désigne par/(.r, j) une fonction des deux variables indépendantes x, y, on tirera de l'équation (i) : i" pour toutes les va-

leurs lier renfermées entre les limites x^, X,

(3) f{a;y)=^J j e^^--^)^-^ /{l, y) dadl;

2° pour toutes les valeurs de j renfermées entre les limites y^, Y,

(4) fao')=-'iz f f e?iy-\^W-^fii,^,)d^d^.

Donc, par suite, on aura, pour des valeurs des variables ^c, j renfermées entre les limites x = x^, x = X; y = jo» J = Y,

(5) /{x,y)={~y f f f f e^^^-'^^^'-'e^^y-^'^^-'f{l,y.)dad^dldy,.

Par des raisonnements semblables, appliqués à une fonction de m variables r, j, ::,..., on établirait généralement la formule

^ ^ ^ 1 ^(l-Yf^-'-fÇ f ^''"''"^' ^^ ^'^'^~^' ^^eY(--v) ^=î . . . /( X, [X, V, . . . ) d% d'^ d^( . . . dl dix d^> ....

qui subsiste pour des valeurs x, y, z, ... renfermées entre les limites

et dans laquelle les intégrales relatives aux variables auxiliaires a, |ÎJ, Y, ... sont prises entre les limites — oo, h-oc.

Si les quantités x^, jo» -o» • • • se réduisaient à — oo, et les quantités X, Y, Z, ... à -+-30, on trouverait, pour des valeurs quelconques des variables x,y, z, . . . ,

<7) Ji-^,I-^; ■■•)= (—)"' f" '" f c^^''-'^^'^^e?^y-l>-^^^^cy^--'^^^^'...f{l,[i,^,.-.)dccd^dy ...dldixdv...

On étendrait avec la même facilité à des fonctions de plusieurs variables les formules (27), (36), (48), (5o), (52), (62), (69), (70) des pages i5i et suivantes. Ainsi, par exemple, en partant de la for-

mule (32) (page i54), on trouverait, pour des valeurs quelconques des variables réelles x, y, z, ... et des constantes réelles a, h, c, . . . ,

) dm i •■ f f ■■ I «/!)<;■.. 6'-«3tVU-X)-c'-6pV{a:-iA)^..y^X,[ji,v,...)(/a(/[ir/Y...cA(;;jL0?v

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SUR L'ANALOCJE

OKS

§ I. — Considérations générales.

On a reconnu depuis longtemps l'analogie qui existe entre les puissances et les différences des divers ordres, finies ou infiniment petites. En suivant cette analogie, et employant une seule caractéristique placée devant une fonction de x, pour indiquer la fonction dérivée, puis, se servant de caractéristiques différentes a, p, y, ... placées devant une fonction de u de plusieurs variables x, j, r, . . . , pour indiquer les dérivées de u relatives à ces diverses variables, on se trouve naturellement conduit à représenter une fonction linéaire de n et de ses dérivées successives, d'un ordre égal ou inférieur à m, par un produit de la forme

/(a, fl, y, . . .) désignant une fonction entière du degré m. En étendant cette notation au cas où le degré m devient infini, M. Brisson esÇ parvenu à exprimer les intégrales des équations linéaires à coefficients constants, avec ou sans dernier terme variable, par des formules symboliques (*) qui méritent d'être remarquées, et qu'il a exposées dans

{') Pour empêcher que l'expression (i) ne puisse être confondue avec un vcrilaljle produit, M. Brisson renferme entre deux crochets, l'un supérieur, l'autre inférieur, la fonction /(a, [i, Y, . . .) qu'il place après la lettre //, ainsi (pi'il suit :