SUR L'ANALOGIE DES PUISSANCES, ETC

deux Mémoires portant les dates de mai 1821 et de novembre 1823. Le même auteur observe que, si la fonction /(a, |3, y, , . .) n'est pas développable en série ordonnée suivant les puissances ascendantes, entières et positives de a, [3, y, . . . , on pourra développer cette fonction d'une autre manière, par exemple, en une série dont les différents termes seront proportionnels aux puissances négatives de a, p, y, ... ; et, pour fixer, dans ce dernier cas, le sens de la notation (i), il propose de considérer, ainsi qu'on l'avait déjà fait, les caractéristiques affectées d'exposants négatifs comme indiquant des dérivées d'ordres négatifs, c'està-dire des intégrales des divers ordres. Enfin, dans le Mémoire de 1828, M. Brisson a indiqué la transformation de l'expression (i) en intégrales définies par le tliéorème de M. Fourier comme un dernier moyen propre à fiiirc connaître la valeur de l'expression dont il s'agit. Cette transformation, appliquée aux formules symboliques qui représentent les intégrales des équations linéaires aux différences pai'tielles, reproduit les formules qu'on a obtenues dans les problèmes des ondes, de la chaleur, des plaques vibrantes, etc., et celles que j'ai données dans le XIX" Cahier du Journal de l'École Polytechnique. De plus, lorsque la fonction/(a, p, y, . . .) cesse d'être entière, il est aisé de voir : i" (ju'on ne saurait établir la convergence des séries, dans lesquelles l'expression (i) peut être développée, indépendamment de la valeur attribuée à la fonction u; 2^ que, parmi les divers développements, les uns se composent de termes dont les valeurs sont complètement déterminées, et les autres de termes qui renferment des constantes arbitraires, d'où il résulte que ces développements fournissent, pour l'expression (i), diverses valeurs qui n'ont pas toutes le même degré de généralité. On doit même observer que les développements qui ont pour termes successifs des intégrales des divers ordres renferment une infinité de constantes arbitraires. Il suit de ces réflexions que l'usage des développements en séries laisse subsister beaucoup d'incertitude sur le sens de la notation (i), et sur le degré de généralité qu'elle comporte, dans le cas où la fonction /(a, ^, y, ...) cesse d'être entière, et devient, par exemple, irrationnelle. Cet inconvénient paraît s'opposer à ce qu'on

adopte généralement la notation (i), en y considérant a, p, y, ... comme de véritables caractéristiques, et attribuant une valeur quelconque à la fonction /(a, [3, y, . . .). Toutefois, il m'a semblé qu'on pouvait procurer au Calcul infinitésimal, ainsi qu'au Calcul des différences finies, la plupart des avantages que cette notation présente, et même simplifier encore les formules relatives à l'intégration des équations linéaires, en substituant à la notation (i) d'autres notations du môme genre, établies de manière à recevoir, dans tous les cas, une interprétation claire et précise. Tel est l'objet que je me suis proposé dans plusieurs paragraphes des Mémoires présentés à l'Académie royale des Sciences, le 27 décembre 1824 et le 17 janvier 1825. Parmi les diverses notations que l'on peut employer pour arriver à ce but, celles que je vais indiquer me paraissent devoir être adoptées de préférence.

§ II. — Su/- les dij/érences finies ou inJinimeiU petites des fonctions d'une seule variable.

Soient

r = /(œ) une fonction de la variable indépendante x; Xt = a la différence finie de cette même variable; n un nombre entier quelconque.

.le désignerai

par J)y ou D^j la fonction dérivée -^ ■=if\x),

par Aj ou A^r la diflerence finie /(.r + A./) — /(^),

par D"j ou D^r la fonction dérivée de l'ordre n, savoir, y-^ = /'(«)(.r),

l par A"j ou A^j la différence finie, du «'•^""' ordre, de la Ibnclion/.

Soient, de plus, F(a), f(a), F(a, fl), f(a, (3) des fonctions entières (des variables a, p, et A un coefficient constant. Je représenterai par les notations

DES PUISSANCES Eï DES DIFFÉRENCES. 201

les fonctions linéaires dej, Dj, A/, D^j, ADj, A-j, ... auxquelles on parvient quand, après avoir développé les expressions (2) en termes de la forme