AD'«A
on considère D et A comme de véritables caractéristiques; et je désignerai par
(4) " = r(D)-^(")' ^^FÎÂ]-^^")' "'^i^xTTAj-^^"^ les valeurs de u, v, w, ... propres à vérifier les équations
(5) F(D)« = f(D)/(^-), F(A)^ = f(A)/(^), F(D, A)u':= f(D, A)/(a^). Cela posé, on établira aisément les formules
et, comme en attribuant au coefficient r une valeur constante, soit réelle, soit imaginaire, on aura évidemment
(10) A«[e'-^/(a^)] -- e'-^[e'-''{i + A) — i]"fi^),
on trouvera encore
Ajoutons qu'il est facile de transformer chacune des expressions (2)
OEwres de C — s. u, t. \ll. 26
en intégrale double. En effet, on a généralement [tWr l'équation (2) (le l'article précédent]
(i3) f{x)^~f f e^(^-'>^W~^/{l)dudl.
Or on tire de la formule (i3) combinée avec les équations (7) et (8)
F(D)/(^)=^y"y\°'(-^)V^F(av/="i)/(X)./aA
Ainsi, chacune des expressions (2) peut être convertie en une inté-
grale double de la forme
(i5) ~ r re«(->Ov/^<p(a)/(?.)«?ac/X,
'^(a) désignant une fonction entière de a et de l'exponentielle e^°'s^-'. Dans le cas où cp(a) devient une fonction quelconque, l'intégrale (r 5) continue à jouir de propriétés importantes, dont nous ferons un fréquent usage. Nous allons en exposer ici quelques-unes, et, pour abréger, nous désignerons l'intégrale dont il s'agit par la notation
(16) 9(a)/(^), en sorte qu'on aura identiquement
(17) 9(a)/(^)=— r f e«(^->)v'^9(a)/(>.)^ac/>..
Cela posé, soit a une constante réelle. Si, dans l'équation (17), on remplace/(^c) par e""-^^ \ on trouvera
D'ailleurs, si, dans la formule (i3 ), on échange entre elles les va-
riables a et X, et si l'on y remplace en même temps x par a, on en tirera
/(«) = — f f e'^-''^'^^f{x)dy.dl,
puis, en posant
gaa;v/=T(p(^) L j j e«(^-^-' V^ 6*'- v'^^ 9 (a) flfa f/}..
On aura donc définitivement
Soient maintenant
a, h, c, ... plusieurs constantes réelles;
G (a), y (a) des fonctions quelconques de la variable a;
A, B, C, ... des coefficients réels ou imaginaires.
On tirera immédiatement de l'équation (19)
1 9 (a) [Ae^'^v^+Be*^v/=^ + Ce'^^v'~ + . . .]
I = Ae«^v^9(«) +Be'''^v'-i 9(^*) 4-Ce'"^v'^9(c) +. . .,
et, par suite,
le signe ^ indiquant une somme de termes semblables au produit
e«^v/^X(«) ou e«^v/=^9(a)x(a).
On trouvera de même, en désignant par /„, B deux valeurs distinctes de la quantité r supposée réelle, et par A/- un élément de la différence
(22) o{a)^e'-^^^y^{r) ^r = ^e'^^\^'' o{r)x{r) àr,
le signe ^ s'étendant à tous les éléments de R — /\; puis, on en con-
20'* SUR L'ANALOGIE dura : i« en faisant décroître ces éléments au delà de toute limite, /-« r^ —
(^3) 9(«)/ e'--'-^-'y^{r)dr= e''^^-' o{r) yjr) dr;
2° on prenant r^^=^ — ■yz^ R == ce,
(24) 9(5:)/ e'-^^~'y{r)dr= f e'''^^'-' o{r) yjr) dr.
Comme on tire d'ailleurs de l'équation (17), en remplaçant la fonction o par la fonction y, et la lettre a par la lettre r dans le second membre,
('^5) ^^^^)y(-)^^J J e'-^-->-^i-^^y{r)f{l)drdh
on trouvera, en ayant égard à la formule (24),
( 9(^-)[z(«)/(^-)J=^?(^)y f e'<^-''-)^"^y{r)J\l)drdl { ""irj / ^'''"-''^'9{r)y{r)f{l)drdl,
OU, plus simplement,
De même, comme on aura, en désignant par a une constante réelle,
(28) e'"'^~'y{y.)/(~c-)^ ~^^ I j e^<'+'-'^^'^ e-^-'' s/-' y{, •)/{}.) dr dl,
on trouvera encore
f ~i?f f <^^''^'""'^'~~'<^^'^''' ^^'9 {(' + '') '/.{'■)fO-)di<rt.,
ou, plus simplement,
Les formules (27) et (3o) expriment deux propriétés remarquables de la fonction de x représentée par la notation (16). Dans le cas particulier où la fonction 9 est entière, il suffirait, pour établir ces mêmes propriétés, de combiner les premières des formules ((3) et (12) avec la première des équations (i4). En effet, lorsqu'on fait usage de la notation (iG), les équations (i4) se réduisent à
( F(D) /(^)-F(av/=l)/(:^), (3i) < F(A) f{x)rr.¥(e'^^^^^-j)f(':r),
{ F(D,A)/(^)--=F(av/^-7,e/'='v/^-i)/(:^).
Par suite, les équations (G) et (12) donneront
F(av/ir^)[f(av/3^)/(x)J:=.[F(a^/::-^)f(^v/-^i)]/(^),
(32) J zr-[F(e''='v/-'ï-i)f(e''='v/^-i)]/(^),
\ =:|F(av/--"T,e''°'V=^-i)f(av/-T,e"W=^-i)]/(:ï) et
Or, si l'on pose
F(av/^) = 9(a), f(av/='i)=r:x(a), r-=as/^''i,
o(a), /(a) seront des fonctions entières de a; et la première des formules (32) se réduira immédiatement à l'équation (27), tandis que la première des formules (33), réduite à l'équation (3o), subsistera non seulement pour des valeurs réelles, mais encore pour des valeurs
imaginaires de la constante a.
§ IIL — Su/' les différences finies ou infiniment petites des fonctions de plusieurs variables indépendantes.
11 est facile de voir comment les notations admises dans le paragraphe précédent peuvent être étendues au cas où l'on considère une fonction de plusieurs variables indépendantes x, y, z-, . . . , /. En effet, soient
une semblable fonction,
A^ = /i, Ar = A% Ac = /,
les différences finies des variables x, y, z, ..., t; et n un nombre entier quelconque. En vertu des conventions ci-dessus adoptées (p. 200 et 201), on devra évidemment employer les caractéristiques
J),, IV, D„ ..., D,; Dl, D;, D?, ..., DJ; ...; D^, D^, D^ ..., D;'
et
A„ A^, A„ ..., A,; Al, A^, A|, ..., A|; ...; A:;, A;', A^, ..., A;',
placées devant la fonction u, pour indiquer les dérivées partielles et les différences finies de 11, du premier, du second, , . . , du n'"™*' ordre, prises par rapport aux diverses variables indépendantes. De plus, si l'on désigne par
des fonctions entières des variables a, ^, y, . . . , 0; X, [x, v, ...,':, par A un coefficient constant, et par m, n, . ..,/), q, ... des nombres entiers quelconques, on devra se servir des expressions
(2) F(D^,D^,D„ ...,D„A^, Ay,A„ ...,A,)«
et
^^ F(D^, Dy, D„ . . . , D„ A„ A^, A„ . . . , A,)
pour indiquer : i° la fonction linéaire de u et de ses dérivées ou différences partielles finies ou infiniment petites, mêlées ou non mêlées, à laquelle on parvient quand, après avoir développé l'expression (2) en termes de la forme
