AD-D^..A£A
on considère D^, D^, . . . , AJ, AJ., . . . comme de véritables caractéristiques; 2'' la valeur générale de v propre à vérifier l'équation aux différences, mêlées et partielles
\ F(D,,Dy,D„ ...,D„A,,A^,A„ ...,A,)i^ ^ ' i =f(D,,D^,D„...,D„A„A^,A,, ...,A,)«.
Enfin, si l'on désigne par
une fonction quelconque des variables a, [3, y, .. ., 0, on devra employer la notation
(7) 9(3t, P, 7, ...JJ)f{jc,y,z, ...,t),
dans laquelle la lettre a se rapporte à la variable ce, la lettre ^ à la variable/, . . . , pour représenter l'intégrale multiple
en sorte qu'on aura identiquement
(q) \ r" r°° ^ / — a /— 7 n, /— r . o r. ^ -, , doc dl dâ duL d9 dz
"' 2TC 2Tr 271
Cela posé, en généralisant les formules (G), (r r) et (12) du § II, et attribuant aux coefficients r, s, ... des valeurs constantes, réelles ou imaginaires, on établira facilement les équations
/ F(D^,Dj., ...,D„A^,A^, ...,A,)[f(D^,D^, ...,D„A,, A^, ...,A,) /(^,7,^, .-.,0]
(10) ) = f(D,,D^, ...,D„A^,Ay, ...,A,)[F(D^,D^, ...,D„A,,A^, ...,A,) /(x,/,^, ...,0]
De plus, comme on aura, en vertu de l'équation (7) de l'article précédent,
= f--- r"e^(^->-)v^eP(r-(J^)v/^...e^('-'^)v^/(>.,/jL, ... >) ^^^ ^^- d^d^i M dz
on trouvera encore
les intégrations étant toutes effectuées entre les limites —ce, +cc; puis on tirera de la formule (i4), en faisant usage de la notation (7),
I =, F(a y/^ Pv/^^, . . ., e''«V^-i, e'-PV^- i, . . .)/(:^, j, . . .).
Soient maintenante,^, c, ... des constantes réelles, et 9(a,p,Y, ...), y (a, fl, y, . . .) des fonctions quelconques des variables a, (3, y, Supposons d'ailleurs que l'on continue de représenter par la lettre F une fonction entière, et par r, s, ... des coefficients constants, soit réels, soit imaginaires. En généralisant les formules (19), (27), (3o) et (33) du § II, on établira sans peine les équations
(16) o(a, (3,-/, .. .)e(a-^+/^r+«+--)v'-i=re(«a;+6r+'^^+---)s/=ï(p(a, è, c, ...),
o(a, |3,y, ...)[x(a, [3,y, ...)f(x,f,z, ...)] — [9(oc,(3, 7, ...)x(a, [3,y, . . .)]/(^, j, ^, ...),
I F(av/— i,[3v/— I, ...,e''='\/-^ — i,e^Pv^— I, ...) [e'-^+^J^+- 7(^,7, . . .)]
DES PUISSANCES Eï DES DIFFÉRENCES. 209
Je terminerai cet article en indiquant le parti qu'on peut tirer de plusieurs des notations et formules ci-dessus établies pour l'intégration des équations linéaires à coefficients constants.
§ IV. — Sur l'emploi des caractéristiques B et A dans l'intégration des équations linéaires, aux différences finies ou infiniment petites, mêlées ou non mêlées, et à coefficients constants.
Les principes ci-dessus établis, relativement aux caractéristiques 1) et A, fournissent le moyen de représenter les intégrales des équations linéaires à coefficients constants par des formules symboliques du genre de celles que M. Brisson a obtenues. On peut en eflet y parvenir dans un grand nombre de cas à l'aide de deux métbodcs diiïcrentes, déjà employées par ce géomètre, et que je vais reproduire avec quelques modifications.
La première méthode est fondée sur la remarque suivante.
Soit
(i) F(D^, I)^, . . . , D„ A^., Ay, ...,Ai)u=:f{x,y,z, ...,t)
une équation linéaire à coefficients constants et avec un dernier terme variable entre la variable principale u et les variables indépendantes .r, y, ..., t. Si la fonction entière désignée par F peut être décomposée en deux facteurs de même nature qu'elle, si l'on a, par exemple,
1 =Fi(D,, D,., . . ., D„ A,, A^, . . ., A,) F,(D,, D,., . . ., D„ A„ A,, . . ., A,),
on pourra évidemment substituer à l'équation (i) le système des deux équations linéaires
(4) F2(D^, Dy, ...,D^, A^, Aj,, ...,A^)«nr c,
qui seront l'une et l'autre d'un ordre moins élevé. Si les fonctions entières, désignées par F,, F., sont elles-mêmes décomposables en facteurs, l'intégration de la formule (i), ou, ce qui revient au même,
GEuvre.i de C. — S. II, t. VII. 2"
l'intégration des formules (3), (4), pourra être encore réduite à celle d'autres formules du même genre, mais d'un ordre inférieur. On arriverait d'ailleurs directement à la même conclusion en observant que, si la fonction F est décomposable en plusieurs fonctions entières désignées par F,, Fo, ..., F„,, F„, la formule (i) pourra être remplacée par le système des équations linéaires
Fa (Do:, Dy, . . ., Df, A^, A^,, . . ., A, )«,,,=: «„,, ♦
F„-,(I)a, IV' • • • » ^V, A^, A^., . . . , Ai) «, = «2,
F„(D^, Dj-, . . ., 1)^, A^, A^, . . ., Ai)« =«1,
qui devront être intégrées dans l'ordre où elles se présentent ici.
Gela posé, il est clair que, si, la fonction F étant du degré n, on peut la décomposer en fonctions du premier degré, l'intégration de la formule (i) pourra être réduite à l'intégration de n équations linéaires du premier ordre. Donc alors, en supposant connues les intégrales générales des équations linéaires du premier ordre, on parviendra sans peine à l'intégrale générale de l'équation (i).
Pour montrer le parti qu'on peut tirer de l'observation précédente, considérons d'abord une équation différentielle linéaire et à coefficients constants, entre la variable ir et une fonction/ de cette variable. Si l'équation donnée est du premier ordre, alors, en désignant par u. un coefficient constant, on pourra la présenter sous l'une des formes
(7) i-^-^-/(-^)' et son intégrale générale sera
(8) y = e'-^fe-'--/{a-)dj:, OU, ce qui revient au même,
cco désignant une valeur particulière de la variable ce. Mais, si l'équation proposée est de l'ordre n et de la forme
, , ci" y r/'^-iy d""-^ y dy
^'^^ ^« z^ -^ ^' dj^ + ^^/:^ +• • • ^ «"- .è -^ ««-r =y(^),
alors, en faisant, pour abréger,
(il) ¥{r) = aor''-\- «i /•'»-' + «,r''-2 4-. .. + a„,r + a„,
et désignant par /•, , /.,, ..., r„ les valeurs réelles ou imaginaires de r propres à vérifier l'équation
on pourra substituer à la formule (lo) l'une quelconque des deux suivantes :
CIq
Or, pour intégrer la dernière, il suffît de poser successivement
(D — /■«)/ — ji;
et il est clair que les valeurs dej^,,, j^^., ... ,y,,Y, propres à vérifier les équations (ij), s'obtiendront aussi facilement que la valeur de r propre à vérifier la formule (G).
Il est important d'observer que les valeurs de j, j,, j.» • •• déduites des équations (i5) renfermeront en général des intégrales multiples. Mais on pourra toujours remplacer ces intégrales multiples par des intégrales simples; et, pour y parvenir, il suffîra de recourir à l'inté-
gration par parties, c'est-à-dire à la formule
(i6) J a dv = uv — l'indu.
Premier exemple. — Soit donnée l'équation différentielle
ou
Comme on aura
on pourra substituer à l'équation (17) le système des deux formules
ou, en d'autres termes, le système des deux équations
Or on tirera de ces dernières
(21) z ^=1 e^ j e~^ f {x) dx , y = e'-^ f ze^ dx,
et par suite
(22) j ^e-^ I e^^l I e~^ f{x) dx^dx.
Si maintenant on veut décomposer en intégrales simples l'intégrale
double que renferme la valeur précédente de j, il suffira de poser dans
l'équation (16)
u =: je-^ /{x) dx, dvz=ze'^^dx.
Alors, en eff'et, on trouvera
y'<?2*[ fe-'' f{x)dx'\dx~-e-'' j'e-'' f{x)dx — - f e-^ f{x) dx;
et l'on en conclura
(23) y — -e^ fe-^f{x)dx— -e-"" J'e^ J{x) dx,
ou, ce qui revient au même,
I e-^ f{x) dx -+- Z
