J TT

X ) dx + Z '

S, z' désignant deux constantes arbitraires, et .r,, une valeur particulière de la variable x.

Deuxième exemple. — Soit donnée l'équation différentielle

d^y dv ^, X

Comme on aura

on pourra substituer à l'équation (23) le système des deux formules

ou, en d'autres termes, le système des deux équations

Or on tirera de ces dernières, en désignant par c, s' deux constantes arbitraires,

e~^ f{x) dx zrze^'i l ze ""dx -^-Z' ],

puis, en remettant dans la formule (3o), à la place du produit ze-^', sa valeur tirée de la formule (29),

(3i) y = eAzx-^Z' -\- f C e-^f{x)dxA.

Comme on trouve d'ailleurs, en intégrant par parties,

f f e-^f{x)dx^^xC e-^f{x)d.v-f xe-^f{x)d.i

on pourra encore remplacer l'équation (3i) par la suivante : (33) y = e^\Bx + Z'^- C {x ~ z) c' f{z) dz

Cette dernière s'accorde avec la formule (17) de la page 204 du premier Volume (•).

Revenons à l'équation (10). Si l'on y pose n = 2, elle deviendra

d-v dv ., ■

et son intégrale générale, fournie par la méthode que nous venons d'exposer, sera

(35) f=—e'-^''fe^'\-'\^^^f'e-'\-^/{x)dx'jdx,

/', , /\ désignant les racines de l'équation algébrique

Uq r'- -1- ai /• + «2 =: o.

De plus, à l'aide de l'intégration par parties, la formule (35) pourra être réduite à r'

-^ — l'e-'\^f(x)dx-\ ~ — fe-'-'^ f(x)dx

OU, ce qui revient au même, à

'■'■ro J

(') OEuvres de Cauchy, S. II, T. VI, p. 254-

On doit seulement excepter le cas où l'on aurait r^= r^. Alors l'équation (35) prendrait la forme suivante

(39) 7 = — e'"-^ ffe-'-^f{x) dx^, et l'intégration par parties donnerait

(40) •^~ ^ \xJe-'-^f{x)dx—Jxe-'='f{x)dx'\,

ou, ce qui revient au même,

En restituant au nombre entier ji, dans l'équation (10), une valeur quelconque, on tirera des formules (i5)

(42) y = ~e':^-j"e^':,--'-n)x(j'e^':-.-':,-M[. . . [fé'\-'\^=^ (f e--'\^ f{x) dx) dx) . . .) dx) dx

Telle sera la valeur générale de j, exprimée par une intégrale multiple, que l'on pourra décomposer en intégrales simples à l'aide de l'intégration par parties.

Dans le cas particulier où, les racines /\ ,/•.,... , r), étant égales entre elles, on suppose x^ = o, l'équation (10) peut être présentée sous l'une quelconque des formes

doF' ~ '^' dx" -^ '^ 1T2 ' dx"~-

(44) («-/•)V = /(-^), et la valeur générale de y se réduit à

(45) y^e'-'^Jj'.. . j' e-'"" f {x) dx" .

De plus, en intégrant par parties, on tire de la formule (/p)

(46) r~ ~ x"-^ j'e-'''f{x)dx— '^—^x''-- f'xe-''''/{x)dx-h...± fx"-^ e-'-^/{.t) dr

puis on en conclut, en mettant les constantes arbitraires en évidence,

(4;) r—c'--^ £.r«-'4-3'x"^--H...+ C(«-2)^ + S(«->)^ f S:^l:zJJl-L g- '■- f{z) dz

Considérons maintenant une équation linéaire aux différences tinies et à coefficients constants entre une variable x et une fonction y de cette variable. Si l'équation donnée est du premier ordre, on pourra la présenter sous l'une des formes

(48) {\-r)y = f{x) OU

(49) Ar-o=/(^), et son intégrale générale sera

(50) r = (■ + rf"' IXi'^ /-r VC^') + ^(^ol

/i = i\x désignant la différence finie de .r, et tn(x) une fonction périodique, mais arbitraire, dont la valeur ne change pas quand .x reçoit pour accroissement un multiple de h. Au contraire, si l'équation donnée est de l'ordre n et de la forme

(50 aoA« >■ + «, A"-'j + a, A''-^ + • • • + ««~i A/ + a„r .= /(.r),

alors, en se servant des notations précédemment adoptées, on pourra la remplacer par l'une des deux formules

Or, pour intégrer la dernière, il suffira de poser successivement

et il est clair que les valeurs de j„,, /«-o» •••» Jn J' propres à véritier les équations (54), s'obtiendront aussi facilement que la valeur de r propre à vérifier la formule (4^)-

11 est important d'observer : i° que, la fonction périodique tir(js) pouvant être censée comprise dans l'intégrale indéfinie

l'équation (5o) peut s'écrire plus simplement comme il suit

(55) j = (i + /■)''"' li(n- /■)"'/( -2^);

2" que les valeurs de v> Ji, J^» • ••' déduites des équations (54), l'eufermeront en général des intégrales multiples aux différences iinies. Mais on pourra toujours décomposer ces intégrales multiples en intégrales simples; et, pour y parvenir, il suffira d'intégrer par parties eu recourant à la formule

(56) yuAi'=in'—'^{v-h^i')^ii,

que l'on déduit immédiatement de l'équation

a lv=: \{uç) — {ç -h Av) Au, et qui remplace, dans le calcul aux différences finies, la forniule (i(3). Exemple. — Soit donnée l'équation aux différences finies

(57) AV'-2A/ + y--r:/(j;),

ORuvres de C. — S. II, t. VU.

Conimo on aura

on pourra substituer à l'équation (37) le système des deux formules

(59) (A-.),.==/(^), (A-i)/ = ^; OU, en d'autres termes, le système des deux équations

(60) Iz — z = f{jc), Av — y — ;. Or on tirera de ces dernières

(62) 7--r2''"'l!fli3'V(r)|.

Si maintenant on veut décomposcu* en intégrales simples l'intégrale double que renferme la valeur précédente de y, il suffira de prendre, dans l'équation (56),

Alors, en etï'et, on trouvera, pour une des valeurs de v,

et, par suite,

(63) 2 [2'^'' /(^)] ^12 ^^ "^^(^) "2 '^ "'"^/(^)' puis l'on en conclura

Si, dans le second membre de l'équation (64), on met en évidence les fondions périodiques, et qu'on les désigne par tTr,(,^), tT).,(œ), cette équation prendra la forme suivante :

^^ , ^ . , ,.. r.,i.r) +2 -TT-' ' '-^(^^

(65) y = 2'^ j^[^i(^0+2'^ VG^)]-[^ Revenons à l'équation (5i). Si l'on pose n = 2, elle deviendra

(66) «0 ^'J 4- «I A/ + a^Y^fi-'r),

et son intégrale générale, fournie par la méthode ci-dessus exposée, sera

D'ailleurs, si, dans la formule (56), on prend

on trouvera, pour une des valeurs de ç,

et, par suite,

Donc la valeur de y pourra être présentée sous la forme

Si l'on met en évidence les fonctions périodiques, et qu'on les désigne

par cT,(a?), trro(.r), l'équation (69) donnera

Dans le cas particulier où l'on a r.-, = r^, l'équation (67) se trouve réduite à la forme

et l'on en conclut, en opérant comme dans l'exemple que nous avons traité plus haut,

Si l'on mettait en évidence les fonctions périodiques, on trouverait

En restituant au nombre entier n, dans l'équation (5i), une valeur quelconque, on tirera des formules (54)

chacun des signes y] étant relatif à la fonction comprise entre ce même signe et la virgule placée à la suite du rapport —-^—^y Ainsi, la va-

leur générale de y se trouvera exprimée par une intégrale multiple. Mais on pourra toujours décomposer cette intégrale multiple en intégrales simples à l'aide de l'équation (56).

Si, les racines r, , r.^, ..., r,^ étant égales entre elles, on supposait «0= r, l'équation (5i) pourrait être présentée sous l'une ou l'autre (les deux formes

(76) (A-/-)'^/r=/(^), et la valeur générale de j se réduirait à

De plus, en intégrant par parties, on tirerait de la formule (77)

Il ■ — I X I X