Ai

{il -- i) .r •^ ( X

ou, ce qui revient au même.

(79) y = {^ + rY

Âjy l/T"^V"*U^"

II est important d'observer que, dans l'équation (78) ou (79), chaque intégrale simple renferme une fonction périodique.

Proposons-nous maintenant d'intégrer une équation linéaire aux différences partielles, et à coefficients constants, entre deux variables indépendantes x, y et une variable principale z. Supposons d'ailleurs que les dérivées partielles de z, comprises dans le premier membre de l'équation, soient toutes du même ordre. Si cet ordre se réduit à l'unité, l'équation pourra être présentée sous l'une des formes

(80) {D,.-rl)y)z = f{^,y),

et son intégrale générale sera

(82) z= /[s,j-^r{x — s)]ds+c^{y + ra;),

o désignant une fonction arbitraire, et œ^ une valeur particulière de r. Mais, si l'équation proposée est de l'ordre n et de la forme

alors, en se servant des notations précédemment adoptées, on pouira la remplacer par l'une des deux formules

(85) (D,- r,\)y) (]),- /-^D^). . .(D,- r„T^,)z^ -li^lll. "'

Or, pour intégrer la dernière, il suffira de poser successivement

( ^x '"rt-ll'y)'^! — ^2»

(l)j. r^Dyjz = -^1;

et, comme les équations (86) sont toutes semblables à la formule (80), il est clair que les inconnues ^„, , r,j 2, ..., z>,, z^, z se déduiront les

unes des autres, et l'inconnue ^„ , de la fonction -^ -^ ? par des équations semblables à la formule (82).

Exemple]. — Soit donnée l'équation aux différences partielles

(87) d^-jp=^^ + ^^ ou

(88) {Dl-Dl.)z = ax--+-bf.

a et h désignant deux quantités constantes. Comme on aura

D1-D}=:(D,-D^)(D,4-IV), on pourra substituer à l'équation (87) le système des deux formules

(89) {D^-î)y)z,^ax-\-by, {D,+ Dy)z=-.z„ ^

ou, en d'autres termes, le système des deux équations

, , dzi Ozi , dz dz

Or on tirera de ces dernières

i ^1 = / [as -\- h{y + jc — s)] ds -\- o{y ^ x) = x--^ bxy + o ( / 4- ,r),

(91) ' z=j \ -^^l—s^--h bs{f— X + s)\ds+- I o{y — x-{-2s)ds-\-Oi{f — x)

I cix^ b x^ V C

D'ailleurs, si l'on pose

011 trouvera

et la seconde des formules (91) pourra être réduite à

L'équation (92), dans laquelle $, $, désignent deux fonctions arbitraires, est effectivement l'intégrale générale de l'équation (87).

Exemple IL — Soit donnée l'équation aux différences partielles

dx^ dx dj dy'^

ou

(94) {D,-\)yy-z = e--^''y.

On pourra lui substituer le système des deux formules

ou, en d'autres termes, le système des deux équations

^^ ' doc dj ^ ôx (/y

Or on tirera de ces dernières

/ r>^' ^ax+by gb{x-hy)

1 ^l=r / e"^+''(>'+^-*'^(i5 + 9(/ + ^)= ^^, H9(/4-,cf),

197) ', - = T e'''-^^^y+^-"ds-i-\(f{y + cc)—-^^~—--^-\ ds + (^i{y -i- .v)

f ^ax+by r eb(y+x)~\ g/^Cr+x)

• puis, en posant, pour abréger,

pbt gbt

on trouvera simplement

L'équation (98), dans laquelle $, $, désignent deux fonctions arbitraires, est effectivement l'intégrale générale de l'équation (93).

Considérons enfin une équation linéaire aux différences finies partielles et à coefficients constants, entre deux variables indépendantes X, y et une variable principale z. Supposons d'ailleurs que les différences finies de z, comprises dans le premier membre de l'équation, soient toutes du même ordre. Si cette équation est de l'ordre n et de la forme

on pourra, en se servant des notations précédemment adoptées, la réduire à

et lui substituer le système des formules

(A,-riA^).-„i=.-/I:^lZl,

\ -*x ''2 -*y )--'«- 2 ^^^ -^11 -Il »

La question se trouvera ainsi ramenée à l'intégration de plusieurs équations du premier ordre, et qui seront toutes de la forme

Nous montrerons dans un autre article comment cette intégration peut être effectuée.

A la métbode dont nous venons de faire usage pour intégrer des

Œuvres de C. — S. II, t. VU. 29

(lOl)

(io5)

équations linéaires à coefficients constants, on peut en joindre une seconde qui s'appuie sur le théorème dont voici l'énoncé :

Théorème. — Supposons que les lettres f, F, accompagnées ou dépourvues d'indices, désignent des fonctions entières quelconques, que la fonction entière

(io3) F(a, (3, ...,(5,X,^, ...,t)

soit divisible par chacune des suivantes

.(io4) Fi(a, [3, ...,9, X, /^, ...,t), Fola, [3, ...,9, a, p., ...,t), ...,

et que la fraction

F (a, (3, ...,e,l,iJ., . . .,t)

soit décomposable en plusieurs fractions de même espèce, en sorte qu'on ait

f(a,f3, ..., 0,1,11, ..■,t) ^ f,(a,^, ...,e,l,iJ. r) ^ f->(a, [3 O.hp- r) ^

¥{o^,P>, ...,0, À, [X, ...,t) ~Fi(5<, [3, . ..,0,1,11, ...,T) F2(a, [3, ...,6, /., fx, ...,t)

Soit d'ailleurs f{x,y, ...,t) une fonction quelconque des variables indépendantes X, y, ..., t. La valeur de u donnée par la formule

t (1)^, Dy, . . . , Di, A^, Aj,, . . . , A/)

c'est-à-dire l'intégrale générale de l'équation linéaire

( F(D^,D,, ...,D„A^,Aj., ...,A,)« ^'°''* j r=f(D^,l),., ...,D„A^,Ay, ...,A,)/(^, J, ...,t),

ou du moins l'une des valeurs de u, propres à vérifier cette équation, coïncidera toujours avec la somme

I f,(D.^,l)^, ...,Di,K,ày, ...,A,)

Fi(D^, l)y, ...,[)t,à^,^y, ..., A,)

(io8) / f,(D^,I)v, .. •,!),, A^,Ay, ..., A,)

Démonstration. — Soient u^,u.,, ... les différents termes qui composent le second membre de l'équation (io8). Cette équation donnera

(iog) f< = w,+ «2 + - • •■»

et les fonctions u^, u^, ... vérifieront les formules

[ F,(D^,D^,...,D„A,,A^,...,A,)^/, = f,(D^,D,.,...,D„A^, A^,...,A,)/(^,7,...,0, (•lo) j F2(1)^,D^,...,D„A^, A^,...,A,)«2==f.(Dx,D^,...,D„A^,Ay,...,A,)/(^,j,...,0,

De plus, comme chacun des rapports

F(a, (3 0,>., fjL, ...,t) F(a, (3, ..., 0, >., //,..., r)^

Fi.(a, (3, . . . , 0, X, jui, ...,t)' F2(a, [3, ...,ô, A, fz, ...,t)'

sera, par hypothèse, une fonction entière de a, (3, ... 0; X, [j., v, ..., 't, on conclura des formules (no)

i F(P.r^ Dy •••^ ^^/^ ^xi Ay, ..., A^) p „ n A A \A f(x v t)

\ t,(D^, Dy, ...,D<, A^, Ay, ..,, A<)

(iri) / F(D^, Dy, ...,D„A^, Ay A,)^^

I F(D^, Dy D„ A^, Ay, ..., A^ n, A A A,WC:r v t)

I ti{lJ:i:, l)y, ..., Dt, iS^, iiy,.-., L\t)

Enfin, comme, en vertu de l'équation (io5), on aura identiquement

f(D,,Dy, ...,D„A,,Ay. ...,A,)

F(D^,Dy, ■■.,D„A.^, Ay, .■.,A,)^ ^^ -F.(D.,Dy,...,D„A.,Ay,...,A.)^'^^-^^'-''''^

F(D^, Dy, . . . , D<, Aa-, Ay, . . . , Af) ^ ^^ „ p^ ,

1^2(1)^, l^y, •• -jl^O A^,Ay, . ..,A^)

on tirera des formules (m), ajoutées membre à membre,

(ii3)

F(D^, Dy, ...,D„A^, Ay, ...,A,)(«/,+ M2+...) = f(D^,Dy, ...,D„A^,Ay, ...,A,)/(^, j, ...,0-

Or il résulte évidemment de l'équation (i i3) que la somme w,+w24-... est une valeur de u propre à vérifier la formule (107).

Le théorème qui précède fournit un nouveau moyen de parvenir très facilement aux intégrales générales des formules (10), (5i) et (83). Considérons d'abord la formule (10) ou (i3), de laquelle on tire

(ii4) r = — ^^ — '-.

Si les racines r,, r.,, ..., r„ de l'équation (12) sont inégales, on aura

, r X I II II II

et l'on conclura du théorème dont il s'agit qu'on peut encore satisfaire à la formule (10), en prenant

^ ^ ^ F'(/-0 D -,-, + F'(/-.) D - ,-, ^- • •+ F'(/-„) J) - ,„ De plus, comme la notation

sert à représenter l'intégrale générale de l'équation

(D-/-)j = /(a.), c'est-à-dire un produit de la forme

(118) e'-^ j'e-''-^f{x)dx,

il est clair que la formule (i 16) pourra s'écrire comme il suit

On doit observer que, dans le second membre de l'équation (119), chaque intégrale, étant indéfinie, comprend une constante arbitraire. Donc la valeur de j, fournie par cette équation, renfermera u con-

stantes arbitraires et représentera, aussi bien que l'équation (ii4), l'intégrale générale de la formule (lo).

Si plusieurs des racines r,,ro, ..., r„ devenaient égales entre elles, si l'on avait, par exemple,

alors il faudrait, dans le second membre de la formule (ii5), substituer à la somme des m premiers termes le résidu de la fonction

relatif à la valeur p de la variable z, ou, ce qui revient au même, le coefficient de - dans le développement du rapport

en une série ordonnée suivant des puissances ascendantes de £. Comme on aurait d'ailleurs

et, par suite, en faisant, pour abréger, f^- = E,

I El E i E I

il est clair que le coefficient de -> dans le développement du rapport (122), serait ce que devient le polynôme

, ..s I f)'"-'E I I JE I ^ r

quand on pose, après les différentiations, £ = o. Il en résulte qu'on devrait, dans l'hypotbèsc admise, modifier le second membre de la formule (i 16), en y remplaçant la somme des m premiers termes par

l'expression

^,o/^ I ^-"-'E f{x) , , r aE f{x) f{œ)

I.2.3.. .(w — i) (?£'«-* D — p ■■■ I (?£ (D — p)'"-' (D — p)' ou plutôt par la suivante

dans laquelle

(126) Ro= ~p('m)'(o') ^ ^" ^^2, •••, R,n-1

désignent les valeurs des coefficients

^'^7) f(p^£)' 1 jg ' 7.2 ^£2 ' •••' i.2.3...(m— I) dt""-'

correspondantes à une valeur nulle de £. De plus, comme la notation

sert à représenter l'intégrale générale de l'équation .

(l)-/-)'^7 = /(^), c'est-à-dire le produit

(129) ^'"'Jf- ■ •/^"■''/(^) ^■^"'

on peut évidemment à l'expression (i25) substituer la suivante :^

Les diverses formules que l'on vient d'obtenir s'accordent avec celles que nous avons établies dans les Leçons données à l'École Royale Polytechnique, ainsi qu'avec la formule (i4) de la page 204 du Volume I des Exercices (*).

(1) Œuvres de Caiicliy, S. II, T. VI, p. 254-

Considérons maintenant l'équation (52) de laquelle on tire

Il suit du théorème précédemment démontré que, si les racines r, , To, ..., r^ sont inégales, on vérifiera encore l'équation (ji), en prenant

Il est bon d'observer que, dans le second membre de l'équation (i33), chaque intégrale, étant indéfinie, comprend une fonction périodique. Donc la valeur de j, fournie par cette équation, renfermera /^ fonctions périodiques, et représentera, aussi bien que la formule (i3i), l'intégrale générale de l'équation proposée.

Si les racines r,, r,,, ..., r,„ devenaient égales, p désignant la valeur de chacune d'elles, il faudrait, dans l'équation (i32) ou (i33), substituer à la somme des m premiers termes l'une des deux expressions

(i 34 ) R„,i -. + K,„-2 Tk -771 +•••+«! Tx TTiTTi + *^o

A p ' "'"-^(A-pj^* '(A-p)'»-^ ""(A-p)'»'

Considérons enfin l'équation (83). Si l'on pose dans cette équation

(i36) /(^,7) = r>rf(^,/),

ou, ce qui revient au même, si Ton fait

('3;) f(^, J) - ^^ =ff. . .ff{œ, y) ^j«-,

elle donnera

et comme, en supposant d'abord les racines r,, r^, . . . , r„ inégales, on aura identiquement

Dr*

ao(D;c— ^iDy) (Dor— '•2i>.r)- . .(Dx— '«Dy)

F'(/-i) D,-/-iDy F'(/-2) D.-z-^D^ ••■ ' F(/-«) l>x--/'«l>r on tirera de l'équation (i38) et du théorème précédemment démontré

(.■\r,\ -^ ^ f(-^>.r) , L JX^iZL . ^ I f(^.j)

De plus, comme la notation

sert à représenter l'intégrale générale de l'équation

c'est-à-dire un produit de la forme

(i4i) / f[s, y-{- r{x — s)'\ds + o{y + rx),

la lettre o désignant une fonction arbitraire; il est clair que la for-

mule (139) pourra s'écrire ainsi qu'il suit

Cette dernière valeur de z, renfermant n fonctions arbitraires, représentera, aussi bien que la formule (i38), l'intégrale générale de l'équation proposée.

Il est important d'observer que, dans l'équation (i^^), on peut attribuer à la fonction f(^, r) Tune quelconque des valeurs propres à vérifier la formule (i3G) ou (137), et supposer, par exemple,

ny py py ny ly t\n--.

Dans le cas particulier où la fonction /(-r. 7) s'évanouit, l'équation (143) donne pareillement f(^, r) = o, et la valeur de z se réduit à

' Si les racines /•,, r., . . ., r^ devenaient égales, p désignant la valeur de chacune d'elles, il faudrait, dans le premier membre de l'équation (t39), substituer à la somme des m premiers termes le polynôme

Or il est facile de calculer ce polynôme, quand on regarde comme connues les expressions de la forme

(l/jf))

D'ailleurs l'expression (146) n'est autre chose que l'intégrale générale

OEwres Je C. — S. II, t. Vn. ^O

(le l'équation

(•47) {D^-r]}yrz=:/{cc,y),

et cette intégrale, que fournit la première des deux méthodes ci-dessus indiquées, peut s'écrire ainsi qu'il suit

-=/ -, : — ■ r/{s, y-{- rx — rs)ds

Donc le polynôme, qui doit être substitué à la somme des m premiers termes, dans le second membre de l'équation (i3c)), lorsque la condition (120) se trouve remplie, c'est-à-dire le polynôme («45), sera équivalent à l'expression

'^ jr — s d f (.9, y -\- px — ps)

R„j, / {{s, y + px — ps) ds -4- R,„ii / .

ds

\ rt r'' (•3^' — .v)'"-' d'"-'{{s,y-^px — ps)

I V,. 1 .2.3. . .(m — i) ây""-^

\ + J7'«-' o{y + px) -+- X"'-- 9, iy-hpx) +...+ j:' 9,„2(.r + ?-^') + 9'"- i(7 + P'^0-

La formule (83) n'est pas la seule équation linéaire aux différences partielles qui s'intègre à l'aide des méthodes exposées dans ce paragraphe ; et l'on pourrait appliquer ces méthodes à l'intégration de beaucoup d'autres équations du même genre. Considérons, par exemple, l'équation aux différences partielles

(,50) „. — -,a'ft'g;^;^ + *.-^--,^«'^.+A=^-^j + ==/(.,.,.)

ou

(i5i) [a*D^ — 2a2/,2i)2 1)2 .^ ^^pv „ 2{a^ï)l + ^'D') + ']- =/(^' j).

Comme on aura identiquement

= (aD^+ bDy-h i) (aD^4- 61)^- i) (aD^— 6Dy+ i) (al)^— bDy— 0-

il est clair que, pour obtenir l'intégrale générale de l'équation (i5o), il suffira d'intégrer successivement les quatre équations du premier ordre

(aD^4-6Dy — i)z<,=:z.^, »

(«Dj. — bDy — i)z=:Zi,

OU, ce qui revient au même, les quatre équations

et -T -t— U —r Zt, ^3,

oa^ ôv

I dz\ êz^ ^

I ôx a y

\ dz . dz

Or l'intégration d'une équation du premier ordre peut toujours être effectuée par les méthodes connues, sans aucune difficulté.

Je montrerai, dans un autre article, les avantages que présente l'emploi des notations

o{oc)f(x), o(a, (3, y, . . .)f{x, y,z, . . .),

quand on se propose d'intégrer des équations linéaires aux différences finies ou infiniment petites, mêlées ou non mêlées, et à coefficients constants.

On a vu, dans l'article précédent, qu'il était facile d'intégrer les formules (lo), (5i), (83) et (99) du § TV, quand on connaissait les intégrales générales des quatre équations du premier ordre

dx

— ry -=f{or).

ou

(»-07 =fU-),

ou

dx

ou

— f ^yz=f{a;,y).

ou

{^.-rAy)z=fix,y).

Nous allons montrer ici le parti qu'on peut tirer des caractéristiques D et A pour intégrer ces quatre équations, dont les trois premières ont été souvent traitées par les géomètres.

Considérons d'abord l'équation (i). Si l'on y suppose/(^) = o, elle donnera

-^z=zrdx, !(/):= /-a -(- consl.,

et par suite

a désignant une constante arbitraire. Mais, si la fonction /(j?) cesse d'être nulle, alors, pour que la formule (5) continue de fournir l'intégrale cherchée, il faudra nécessairement y remplacer la constante s par une fonction :; de la variable x. Posons, en conséquence, dans le cas dont il s'agit,

En substituant la valeur précédente de y dans l'équation (r), et ayant

égard à la première des formules (12) de la page 201, on trouvera

(D — /•) [e'-^z] =z e'-^Dz=f{x), \)z — e-''^/(^), et par suite

(7) ^ - — ^ =i e"--f{x) dx.

Donc la valeur cherchée de j sera celle que présente la formule (8) de la page 210, savoir

(8) y — €'•'' fe-'--" f{x)dx.

Il est bon d'observer qu'on peut intégrer de la même manière l'équation linéaire

En effet, si l'on substitue dans cette équation la valeur de j tirée de la formule (G), et si l'on a toujours égard à la première des formules (12) de la page 201, on trouvera

et par suite

(10) z =ff. . .fe-'-^fix) dx\

(11) y — e'-^ ff. . . fe-'-'' f{x)dx''.

On pourrait encore parvenir aux équations (8) et (11) à l'aide des remarques suivantes.

Si, dans la formule déjà citée à la page 201, on remplace la fonction f{oc) par le produit e~''-^f(ao), on en conclura

De plus, il est aisé de s'assurer que l'équation (12) subsiste dans le cas où la fonction F(D) cesse d'être entière, et devient fractionnaire. En partant de ce principe, on tirera immédiatement de la formule (i).

ainsi que l'a observé M. Brisson,

et de la formule (9)

Considérons maintenant l'équation (2). Si l'on y suppose d'abord J{x) = o, on en tirera, en désignant par h la différence finie de x, et par §{x) la valeur générale de j,

ou, ce qui revient au même, et par suite

rl{x-i- nh) = (i + /•) rf[x + {n - i)h];

puis, en combinant ces dernières formules par voie de multiplication, on trouvera

Si, dans l'équation (i5), on attribue à x une valeur particulière x„ elle donnera

Enfin, si l'on pose dans l'équation (16) ^0=0, nh = x, on en conclura

(';) .f(^)=r (n-/-)Âj(o).

Par conséquent, lorsque x sera un multiple de h, la valeur dey propre à vérifier l'équation

rr = O

sera de la forme

3 désignant la valeur constante de y qui correspond h x = o.

Concevons à présent que la variable ce, et la fonction /(^) comprise dans le second membre de l'équation (2), reprennent des valeurs quelconques. Alors, pour que la formule (19) fournisse encore l'intégrale de cette équation, il faudra que la constante s soit remplacée par une fonction :; de la variable .r. Posons en conséquence

(20) f = {i + ry^z.

Kn substituant la valeur précédente de y dans l'équation (5), on trouvera

D'ailleurs, si l'on écrit A — r au lieu de F(A), et . au lieu de r, dans la seconde des formules (12) de la page 201, on en tirera

(22) (A — r)[(i + /-)''2j = (! + /■)'' As.

Donc l'équation (21) donnera

(i + /-)^' Ac=/(ar), As = (!-+-/•) '' f{x), et par suite

la valeur de l'intégrale aux différences finies comprenant une fonction périodique. Donc la valeur de j, propre à vérifier l'équation (2), sera

celle que présente la formule (55) de la page 217, savoir

(24) J ^ (I + r)'''^ii + /•)' V(^).

Il est bon d'observer qu'on pourrait intégrer do la même manière l'équation linéaire

(25) {A-ryy= f{jr).

En effet, si l'on substitue dans cette équation la valeur de y tirée de la formule (20), et si l'on a toujours égard à la seconde des formules (12) de la page 201 , on trouvera

et par suite

(26) z= (,+,-)-«22]---Il('+''rv(^),

On pourrait encore parvenir aux équations (24) et (27) à l'aide dos remarques suivantes.

Si, dans la formule déjà citée de la page 201, on remplace r par

^^'t' ' , et la fonction /(^r) par le produit (i + r) ''/{a.-), on on conclura

(28) F(A) [/(.r)] = (I + rf F[(. + /•) (i -h A) - i] [(. + r)" V(^) 1-

De plus, il est aisé de s'assurer que l'équation (28) subsiste dans le cas où la fonction F(A) cesse d'être entière, et devient fractionnaire. En partant de ce principe, on tirera immédiatement de la formule (2 )

A L'ARTICLE PRÉCÉDENT. 2il

et de la formule (25)

(3o) ' (A-/-)" ^ ^ ^ (. + /-rA«

Passons maintenant à l'équation (3), et soit

(3j) z = rf{x,y)

une quelconque des valeurs de z propres à vérifier cette équation. Si l'on conçoit que la variable r devienne elle-même fonction de la variable x, et si l'on désigne par t la valeur que prend alors la variable :;, on aura, en considérant y comme une fonction de .r, et

faisant g =./,

(32) i;^ff{x,y) = z, et par suite

â.r dx - dy

D'ailleurs, pour faire coïncider le second membre de la formule (33) avec le premier membre de l'équation (3), il suffira de supposer

(34) /--/•, ou, ce qui revient au même,

(35) j =: 3 — rx,

e désignant une constante arbitraire. Alors la formule (33) se trouvera réduite à

dx dx dy

et pourra s'écrire comme il suit

OEuvres de C. — S. \\, t. VU. 3 1

Ajoutons que, dans la même hypothèse, on tirera de l'équation (3)

(38) {J)^-ri}y)z = f{a:,e-rx).

On aura donc définitivement

(39) })A = A^;^-rx).

Or l'intégrale générale de cette dernière équation est

(40) t:— f{a-,e-~ rx)dûr= f{s,Z — rs)ds^Z^,

^0 désignant une valeur particulière de x, et 3, une nouvelle constante arbitraire qui pourra dépendre de la première d'une manière quelconque. Donc, si l'on représente par 9(0) une fonction arbitraire de 3, la valeur la plus générale de '(, exprimée en fonction de .r et de 3, sera de la forme

:j f{s,e-rs)ds-ho{e

Il importe d'observer qu'on ne diminuera pas la généralité de cette valeur de l en réduisant à zéro la première limite de l'intégration relative à s, c'est-à-dire la quantité a-^.

En résumé, toute valeur de z, propre à vérifier l'équation (3), prendra la forme

(42) z— ff{x,B — rx)dx, ou la forme équivalente

(43) z^ f f{s,Z-rs)ds-i-o{Z),

quand on supposera x et y liés entre eux par l'équation (35) ou, ce qui revient au même, par la suivante :

(44) Z^y-rrœ.

Donc alors cette valeur de = ne différera pas de celle que fournit une

équation de la forme

(45) -^ ~ / f{s, y + rx — rs)dii-\-o{r -\- rx).

Cette conclusion devant subsister quelles que soient les valeurs de œ et de S, par conséquent quelles que soient les valeurs de x et de y, l'équation (45) sera évidemment l'intégrale générale de l'équation (3). Si, dans les calculs qui précèdent, on échangeait l'une contre l'autre les variables x et r, on reconnaîtrait : i*' que, dans le cas où ces variables sont liées entre elles par l'équation (44)« l'une quelconque des valeurs de z tirées de l'équation (3) se présente sous la forme

(46) z^-'-^Jfi^^^y^dy, ou sous la forme équivalente

2^* que l'intégrale générale de l'équation (3) peut s'écrire comme il suit :

— — - / fix-^~—'~\ds-ho{y-\-rx).

Ajoutons qu'ordinairement la fonction o changera de valeur dans le passage de l'équation (45) à l'équation (48).

La méthode que nous avons employée pour intégrer l'équation (3) s'appliquerait encore très facilement à l'intégration de l'équation linéaire

(49) {\),~r\}yYz^f{x,y).

Admettons en effet que l'inconnue z doive vérifier l'équation (49)- ^i l'on nomme toujours t la fonction de ^ à laquelle z se réduit, quand les variables x et j sont liées entre elles par la formule (44)» <^'i trou-

vera, comme ci-dessus, en supposant/ = e — rx,

Cela posé, concevons que, dans les polynômes

qui représentent généralement des fonctions de x et de y, on continue de regarder j comme équivalent k e- rœ. On tirera évidemment de l'équation (37), différentiée ji — i fois par rapport à œ,

puis l'on conclura de cette dernière, combinée avec l'équation (49),

Or l'intégrale générale de l'équation (5i) sera du, ce qui revient au même,

et, si l'on met en évidence les constantes arbitraires introduites par l'intégration, elle prendra la forme

A L'ARTICLE PRECEDENT. 2i5

Ces constantes pouvant d'ailleurs être des fonctions quelconques de s, la valeur précédente de C pourra s'écrire comme il suit :

' ^ -1 ~f{s,Z-rs)ds.

En résumé, toute valeur de z, propre à vérifier l'équation (49). prendra la forme

(56) z =ff. . .J'f{œ, S - rx)dx%

ou la forme équivalente

l ^ = jr''-»9i(3) + ^'^-2o,(3)+...-f-^9„,(3) + cp„(a)

quand on supposera ^ et y liés entre eux par l'équation (44)' Donc alors cette valeur de :; ne différera pas de celle que fournit l'équation

Cette conclusion devant subsister quelles que soient les valeurs de .x et de s, par conséquent, quelles que soient les valeurs de v et de j, l'équation (58) sera évidemment l'intégrale générale de l'équation (49).

Considérons enfin l'équation (4). Si l'on désigne par Ax = h, Aj — - k les différences finies des variables indépendantes^-, y, et par j(^,j) la valeur générale de la variable principale z-, cette équation pourra s'écrire comme il suit

(59) S{x + h, y) — /• ^(-r, j + k) - (i - /•) ri{x,y) =fix, y),

et l'on en conclura successivement

/ J(j7+ h, y) —r^x^y-^ A) + (i — /•) S{x,y) +/{x, y), \ri{x-^2/i,y) = r^(x-+-h,y^k)-h-{i — r)ê{x-i-h,y) -h f{x -h h, y) (Qq) ) =r^^{x,y^2k)-h2r{i — r)^{.x,y + /:) -h ( i — /')' H-^,.)')

1 +rf{x,j + k-) + {i-r)/{x,y)

Soit maintenant nun nombre entier quelconque. Pour obtenir la valeur générale de 0(x -+- nh, y) exprimée à l'aide des quantités

.f(^,j+«/0, .T'[x,/ + (/i — i)A-)], ..., /(^,j-+-/0, ri{x,y),

on commencera par observer qu'on a identiquement

(6i) ^(x + nh,y) = (i + A^)'» ^T(^, j) = (i -t- A^)'^^.

De plus, le rapport

(i + A^r-(i + r^yy ^ (r+ A^)^- (i + r^y)^

-+- (14- A^) (i + /•Ay)''-2 4- (i + r^y)"-'

étant une fonction entière de A^ et A^;, on tirera de l'équation (4)

/ [(n-A,)«-(i4-/-A^)«]c (62) =.[(i-t-A^)-i + (i + A,)-Mn-/-A^)4-...

et, par suite,

(63) j = (1 + r^yr H^,y) + [(I + A^)«-' + (H- A,)-Mi 4- rAy) 4- . . .

( + (I 4- A^) (i -H rA,.)"-'^- (• + /■A.v)"-'] /(•^•, J),

ou, ce qui revient au même,

l.i{x-^nh,y) (64) < ^ (I + /-Av)" 'î(-^, J) +/[-^ 4- (/i - i)A,7] 4- (I 4- r^y)f[x + {n - 2)h,y] + . . . ( 4- (i -+- rA^.)""' /(^ + /'» j) + (i + /•A.v)"-V(^»7)-

Gomme d'ailleurs on aura évidemment, pour une valeur entière de m et pour une valeur quelconque de/(ir, r),

il est clair que la formule (64) donnera

S{x 4- nh,y)

— r''ri{x,y-^nk)+ - /•''-^(i — r) .f [j?,/ + (« — i)X:] +. . . + (i — /•)" -f ( J:*,/)

+ /-"-Vk.J' +(«-0^1

+ rf[œ + {n — i)h, y -\- k] + {i — r)f[x + {n — 2)^,7]

Cela posé, si l'on désigne par x^^ une valeur particulière de la variable X, et par

o{y) = :f{xo,y) la valeur correspondante de ^(x,y), on trouvera cf (^0+ fifi, y)

= /•« 9(7 + nk) -f- -/•"-» (i — /•) 9[7 + (/* — i)k] + . . . -H (i — /•)" 9(7)

+ ,-'^-i/[^„,7 + (« - ,)A-] 4- '-^^ /-«--(i - /O/D^-cJ 4- (« - 2) A-] + . . .+ (I - /•)"-' /(■^o, J)

/•"-V[-fo+/',/+(«-2)A]4--— /■"-='(i-/-)/[-^o+/î,J'-^(«-3)A:] 4-.. .4- (!-/•)" 'VC''o+ /',.>•)

+ r/[xo-^ {n — 2)h, y + k] 4- (t — /O/L^o^ (« — 2)/^, 7]

2i8 ADDITION

Cette dernière équation coïncide avec la formule

/ ^{j-o-i- nh,y) = (i + /-A^.)" 9( j) +/[^o4- {n — i)h,y^

( +(i4,-A,)-'/(.ro,7),

que l'on déduit de l'équation (G4) en posant x = x^.

La formule (67) ou (68) suffit pour déterminer la valeur de l'inconnue r = cf(a7,j) correspondante à x ^= x^ + nh, quand on considère comme donnée la valeur 9(7) de z, correspondante à x = Xf^.

Dans le cas particulier où l'on a/(£c, r) = o, la formule (4) se réduit à

(69) Aa:- = /-AvC,

et l'on tire de l'équation (G8), en posant ^0 = 0, x — nh,

(70) z — ff {x, y) ^ {i -^ r ^yf o{y).

Si l'on transforme la valeur précédente de z, à l'aide des notations et des principes ci-dessus établis (p. 202 et suiv.), on trouvera

la lettre caractéristique ^ étant relative à la variable y. En d'autres termes, on aura

Or il est facile de s'assurer que la valeur de :;, donnée par la formule (71) ou (72), vérifie l'équation (69), non seulement quelle que soit la fonction arbitraire 9(7), dans le cas où la variable ^ devient un multiple de A, mais aussi quelle que soit la valeur attribuée à cette dernière variable. On peut même, pour plus de généralité, substituer à 9(r) une fonction xs{x,y) des deux variables x,y, qui, étant pérmdique relativement à la variable x, et propre à vérifier la condition

(;3) A^ct(j",7) = o,

renfermerait d'une manière quelconque la variable y. Alors, au lieu de la formule (71), on obtient la suivante :

(74) z = [i + /-(e^Pv^- i)f Tn(^, j).

Ajoutons que les valeurs de g, déterminées par les formules (72) et (74), peuvent l'une et l'autre se déduire de la valeur plus générale

(75) z = s\p[i + r{p-i)fp^\,

dans laquelle le signe S indique une somme composée de termes finis ou infiniment petits, semblables au produit

(76) Pli + r{p-i)fi\

la lettre /?, une quantité réelle ou une expression imaginaire qui varie d'un terme à l'autre, et la lettre P, une fonction des trois variables p, x,y, qui soit périodique relativement aux deux dernières, c'est-à-dire propre à vérifier les deux conditions

La valeur de z, donnée par la formule (7")), vérifie évidemment l'équation (69), et il est naturel de penser qu'elle offre l'intégrale générale de cette même équation. Mais il serait peut-être difficile de le démontrer rigoureusement.

Revenons à la formule (68). Si l'on y pose o(v) = o, x^=iO et nh -— X, elle donnera

z = §{x,y) =/[(« — i)h,y] H- (i + I•^y)f[{n ~ i)li,y']

OU, ce qui revient au même,

^ = /[(«-I)^,J] + [. + ,•(e''fv'-l-I)]/[(„-2)/^rJ+...

ORuvres de C. — S. Il, t. VII. 32

JC

D'ailleurs, si l'on désigne par la notation 2/(^) l'intégrale aux diffé-

renées finies de/(^), prise à partir de £c = o, on trouvera

f[{n ~i)h, /^] -f- [i + rie^'-N^- i)J/[(« -2)h, ^] +...-^ [, ^ r{e^N='^- 0]""'/(o, IJ.)

(80)/ r'^' i + r(e^fv/-.i)^"-^ [, + ,.(eA-N^-, )]""')

En conséquence, la formule (79) pourra être réduite à

Or il est facile de s'assurer que la valeur précédente de z vérifie l'équation (4), non seulement dans le cas où la variables est un multiple de h, mais encore quel que soit x. Si l'on désigne par // cette même valeur de z, et par u -h i> l'intégrale générale de l'équation (4), on aura tout à la fois

f ^^{u -^- v) — rAy{u + ç) := /{a:, y)

et, par suite,

(83) A^ç — r^yv = o.

Donc, pour obtenir l'intégrale générale de l'équation (4), il suffira d'ajouter au second membre de la formule (81) la valeur la plus générale de ^ propre à vérifier la formule (83), c'est-à-dire, l'intégrale générale de l'équation (69).

Il est bon d'observer que, si à la valeur de z, fournie par l'équation (81), on ajoute le second membre de la formule (74)» la somme sera une nouvelle valeur de z, propre à vérifier l'équation (4), et pourra

s'écrire comme il suit :

(84) .- = [i + Ke^?v/=^-i):r'|2[^ + K^'-Pv/=T 0rVC^,j)+n.(^,j)j,

l'intégrale indiquée par le signe ^ étant indéfinie, et cr(^, j) étant une fonction arbitraire, distincte do celle que comprend la formule (74), mais toujours assujettie à la condition (73). Ajoutons que la fonction arbitraire et périodique ni(œ,y) peut être censée comprise dans l'intégrale indéfinie, ce qui permet de réduire l'équation (84) à la forme

(85) .- = [i + r(e'^N-^- i)f~'^ [i + r(e^'^^'^ - i)]"' /(x,J). Dans le cas particulier où l'on a

on peut satisfaire à l'équation (4) par une valeur de z de la forme

pourvu que l'on suppose

A^o{jc)-r {e'^'> - i ) 9 (^) = F (^) , OU, ce qui revient au même.

Par conséquent, on vérifie l'équation

(86) L^z-rLyZ = e''y'E{x) en prenant

(87) :;i^e*r[n-,-(eAv,i)]A ^ [-j ^ ,.(g/.7, ,)-| /< p(^)^

Or cette dernière valeur de z est effectivement l'une de celles que l'on déduit de l'équation (85) en y posant

f{x,y)=e»yY{x).

2o2 ADDITION

Afin de montrer une application des principes que nous venons d'établir, concevons qu'il s'agisse de trouver l'intégrale de l'équation

(88) Aa;3 — /•A3.s = e«*+*>■

pour une valeur de x multiple de h, et en supposant nulle la valeur de z qui correspond à x- = o. Dans ce cas, on tirera de l'équation (8i)

et comme on a d'ailleurs

on trouvera définitivement

, , e"^— [14- /-(e^^*— i)]'^ ^ (qi) z^= — — ^^ - e''y

Il est, au reste, facile de s'assurer : i** que la valeur précédente de z vérifie l'équation (88), lors même que x cesse d'être un multiple de A; 2" qu'elle s'évanouit avec x.

Il est important de remarquer qu'en vertu des principes établis à la page 2 du premier Volume (') les notations

et autres semblables, comprises dans les formules de cet article et de l'article précédent, doivent être abandonnées, lorsque, la variable x

(«) OEuvres de Cauchy, S. II, T. VI, p. i3.

cessant d'être un multiple de A, les quantités

deviennent négatives. Mais, pour étendre aux cas de cette espèce les formules que nous avons obtenues, il suffira d'y remplacer les expressions (92) par les produits

X X I — x ^ rrr ■ï — - yirr

(94) {—x — rf^^'\ (— I — ,•) '"^e /' , [,r(e'i-6 i)]A<?"/' , .

toutes les fois que les quantités i + r, i + r{é^ — 0» • • • deviendront inférieures à zéro. Ainsi, par exemple, si dans l'équation (2) on prend 7^= — 2, comme on en conclura

on devra, dans la formule (24) qui représente l'intégrale de cette équation, substituer aux exponentielles

les deux expressions imaginaires

Donc l'intégrale générale de l'équation

(95) Ay-\-2y=z/{x) sera

Si l'on suppose en particulier /(a?) =^ e'*-^, l'équation (qS) se trouvera réduite à

et son intégrale générale deviendra

Donc, si l'on fait, pour abréger.

TT.r ;— ^

(99) — e^' ro(^) = i];(.r), on aura

Dans l'équation (roo), la fonction 'K^), déterminée par la formule (99), est une fonction périodique assujettie à changer de signe, en conservant, au signe près, la même valeur, quand on fait croître la variable ,t de la quantité h. Il est fiicile de s'assurer que, sous cette condition, la valeur précédente de y vérifie effectivement l'équation (97).

SUR LA