LES INTÉGRALES GÉNÉRALES DES ÉQIATÏONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES
Nous avons fait voir précédemment (p. 4^ et suiv.) comment on pouvait intégrer des équations différentielles linéaires à coefficients constants, et quelquefois même à coefficients variables, lorsque l'inconnue et ses dérivées successives, d'un ordre inférieur à celui de l'équation, étaient assujetties à prendre des valeurs données pour une certaine valeur de la variable indépendante. Ainsi, par exemple, considérons l'équation différentielle
, , cl"^y d"^"' Y dv
que l'on peut mettre sous la forme
(2) F(D)7=./(^), en faisant, pour abréger,
Si l'on veut que l'inconnue j et ses dérivées d'un ordre inférieur à //, savoir
se réduisent, pour une valeur particulière de x, aux quantités y]o, Y],, ..., -/],j,, en sorte qu'on ait, pour .x=:x^.
il suffira de poser {voir p. 4?)
(6) Y=^ rF(/-)-F(in) , f\H.-.) f,,^ , J \
pourvu que, dans le développement du rapport
suivant les puissances entières de yj, on transforme en indices les exposants de ces puissances. De même, étant donnée l'équation
si l'on fait, pour abréger,
\ ¥{r) = aoA« r{r — i) ...{,■ — n ^ i)
i H-rtiA"-* /•(/• — i). ..(/• — « 4- 2) 4-. .. -i- «„,A/' + a„,
et si l'on assujettit l'inconnue r à vérifier, pour ûo = Xo, les conditions (5), on aura (voir h page 62)
/ X p rF(/-)-F(yi) /Aa7-+-B\'- , rVA^ + lîX'-.. „.„,., ^,1 i
pourvu que, après avoir développé la fraction (7) en une série de termes proportionnels aux différents produits
(11) Y]o=r:l, Ti, Y](r; — l), ..., Tj (rj — I ) . . . ( Yî — « + 2 ),
on remplace ces mêmes produits par les quantités
(12) Yîo. -riilxo-hjj, ri, [Xo-h-j, ••., y)„,(^o-+-^
Si l'on suppose, pour plus de simplicité,
les formules (8), (9) et (10) deviendront respectivement
et les quantités ([2) se réduiront à
(16) Tio, -Oi^o» •«2'3^"o, •••, "^«-I-^o
Observons d'ailleurs qu'on déduira sans peine l'équation (10) de la formule (6), si l'on a préalablement substitué, dans l'équation (8), une nouvelle variable indépendante
à la variable x.
Les valeurs de j, fournies par les équations (G), (10) et (i;)), peuvent être présentées sous différentes formes qu'il est bon de connaître; et d'abord, comme on a identiquement
(10) =/ r [/• + A(rj — /•)]r//,
il est clair que la formule (G) pourra être réduite à
(•9) / = ^!;je''^"-^»'jf* V'[r{^-\)+ln]d}.-^j e''(--)/(..)^..|p,^.
Si, dans cette dernière équation, on développe la fonction
F'[/-(i-/.) + /.-^] suivant les puissances ascendantes de y], et si l'on remplace les expo-
OF.uvres de C. — S. II, t. VU. 33
sants de ces puissances par des indices, on trouvera
e^x-x,) Ç ^Ll -F(«;[/-(i-X)]rfX Ç e'-^^-^<.)f(z)dz
(Concevons maintenant que l'on désigne par ï{x) une fonction entière ou non entière, mais assujettie aux conditions
On aura évidemment, dans l'équation (G),
F(/-)-F(ri)F(/-)-F(l))
la caractéristique D étant relative à la variable ^, et cette variable devant être réduite à ^Tq, après que l'on aura effectué les difTérentiations. On pourra donc remplacer l'équation (6) par l'une des suivantes :
(24) 7 = ^1 ^'-^"-^"'jT F'[^(i - >.) + XD] ^X f(0 -i-f e'-i--^^f{z) dz { ^^
Comme on a d'ailleurs identiquement
(25) f(?) = (I) - /•) [e'-\fe~^-'^ia)dll
quelle que soit l'origine de l'intégrale renfermée dans l'équation (25), on pourra encore à l'équation (G) substituer la formule
(2G) r:= r,je'-(---o)[F(D)-F(/-)][e''^ye-''MXc:)^c:] -\- J ^"•'"''/(^') ^^^ ([F(7
Dans ces diverses formules, on doit toujours réduire la variable ^ à x^, après les différentiations indiquées par la lettre D.
Dans le cas particulier où la fonction f{oc) s'évanouit, on tire de la formule (2'^)
Lorsque, dans cette dernière, on suppose les racines de l'équation
(28) F(/-) = o inégales entre elles, on trouve
(29) j = §(Re'---),
le signe § indiquant une somme de termes semblables au produit R^'^' , les diverses valeurs de r étant les racines de l'équation (28), et le coefficient R étant déterminé par la formule
(30) e-'-^oF(/-)-F(D) (}ue l'on peut écrire comme il suit
Les équations (3o) et (3i) ont été données par M. Brisson dans un Mémoire présenté à l'Académie des Sciences le 27 août dernier. La méthode par laquelle il les a démontrées est digne de remarque; et comme elle diffère beaucoup de celle qui nous a conduit à la formule (G), je vais l'indiquer en peu de mots. Soient
les racines supposées inégales de l'équation (28). L'équation (i) ou (2) pourra s'écrire ainsi qu'il suit
et son intégrale générale sera, comme l'on sait, de la forme
260 SUR LA TRANSFORMAÏIOÎS
Comme on aura d'ailleurs identiquement
il est clair que les exponentielles
disparaîtront toutes dans le développement de la fonction
(D-,-0(I)-/vO...(D -/•„)/, et que l'on trouvera simplement
(^\) - r,) (l) - r,). . .{D - r,,)y = R,{1) - r,) il) - r,). . .{U - r„)e'-^-,
ou, ce qui revient au même,
(3/,) {\)-r,){D-r,)...{l)-r„)y=zR,{r,-r,){r,-r,)...{r,-r„)e'\
De plus, comme on aura, pour a? = a-f,,
\)y = \)({a-), \Pf = D'-({.v), ..., D«-'/ = D"-'f(.c),
et par suite
(I),.^,)(]),.3)...(D-,-„)j = (D-/-,)(l)-/-3)...(l)-A-.)f(^'). on tirera évidemment de l'équation (34)
l devant être réduit à x^ après les différentiations. Si maintenant on a
égard aux formules
F(D) F(l)) — F(/-,) a,H) - /•,) (1) - /-a). . .(I) - /-«) = j^^IT; = i\,' '
^ . .^ F(/-) F(/-)-F(/-.) Ooir —r2){r —/;)...{/■ —/■„)=: = : ■»
dont la seconde donne, pour r = r^.
DES FONCTIONS, ETC. -iOJ
on conclura de l'équation (35)
On obtiendra de même les valeurs de Ro, R3, • • • » R« qui seront toutes comprises dans la formule (3o) ou (3r).
Passons maintenant à la formule (i5), et concevons que le développement, de l'expression (7) en une série de termes proportionnels aux
quantités
I, -n, nin — ï), rî(n — i) (y) — 2), ...
produise l'équation
9? 4- ^n -{-An{n — i) -{-S'n{-n — i){-n - 2)
Désignons toujours par f(^) une fonction propre à vérifier les conditions (21), et supposons que cette fonction soit entière, mais d'un degré supérieur ou au moins égal à n — i. Le polynôme, qui devra être substitué à l'expression (7) dans l'équation (i;^), pourra être présenté sous la forme
D'ailleurs, si l'on désigne par m et l deux nombres entiers inégaux, on trouvera, en supposant ^ = o et A^ = i ,
On aura donc par suite
) =rf(^„) + :^f'(^„) + fi^f(^,)+..l[ç£' + ^.ç + ,ii, (,,)+...]
f rr / AMf('')-F(^)
Il en résulte que, dans la formule (i5), l'expression (7) pourra être remplacée par celle que fournit la notation
lorsque, après avoir effectué les opérations indiquées par la caractéristique A et relatives à la variable s, on réduit cette variable à zéro et sa différence finie à l'unité. Donc, en intégrant l'équation (i3) de manière que les conditions (5) soient remplies, on trouvera
)UF(/-j)) En opérant de la même manière, on tirerait de la formule (10)
^^ • ^ aF(/-)))
Afin de montrer une application des formules que nous venons d'établir, supposons que, la lettre n désignant un nombre entier quelconque, on veuille intégrer l'équation différentielle
de manière que, pour x = i, les fonctions
reçoivent des valeurs respectivement égales à celles de la fonction .r'" et de ses dérivées successives, c'est-ii-dire des valeurs représentées par les quantités
Dans ce cas, on trouvera
Y{r) = r{r— !)...{/■— n ^i)+ a", j-o^^i, f{jc)=xf», F{r)-V{s)
r{r — i). . .{r — n -i- i) — .-{{s — i). . .{s— n ~hi)
/• — s — ru
puis on en conclura, en prenant s = o,
F(r) — F(.s) r{r ~ i). . .{r — n -hi) — m{m — i). . .{m — n + i
Par conséquent la formule (4i) donnera
Si, pour fixer les idées, on pose a = \, n =^ i, m = \, l'équation (43) se trouvera réduite à
et cette équation, intégrée de manière que l'on ait, pour a; = i ,
donnera
f z^-'-f{z)ch r+3 + f z^-'/{z)dz
^ =: .r jc'-— — i -
ou, ce qui revient au même,
Si la fonction entière f(^), qui vérifie par hypothèse les conditions (21), est du degré n — i, elle sera nécessairement déterminée par la formule
De plus, comme on aura
f(.r)r=f(o)+-r(o)+— r(0)+...4- -^-II f«-<)(o)
et
il est clair qu'en supposant, après les opérations indiquées par la caractéristique A, s = (), on trouvera
, f. [.,(, + A)] iii^^Iil) (5,) =f(o)'i(il^J>j^£;f(o)F(r)-F(,)
On tirera d'ailleurs de la formule (5o)
(52) ^ r(o) =.-n,-r,,^ + =pr,,, -^^ , ..
Les équations (5i) et (5-2) fournissent le moyen de développer facilement le second memhrc de la formule (4t).
Nous remarquerons, en terminant cet article, qu'on pourrait encore transformer les valeurs de y fournies par les équations (23), (24), (2G), (4i)' (4^), en se servant d'une notation précédemment adoptée
(p. 202 et suiv.). En effet, si l'on désigne par
l'intégrale double
^/ / '^"'"'^-'^''9{^)fO-)dy.cO.,
on reconnaîtra, par exemple, que les équations (23), (24) coïncident avec les fornuiles
L /• — av/— I ^j.„ J ((i^ (/■)))
e'-iœ-x,) r F'[/-(i-/,)+>.av/=^J^/.f(|)+ r 6^''(-'-^7-(^)^^
{{i'ir)))
la caractéristique a étant relative à la variable ^; et ré(|uation (/|r) avec la formule
aV('')))'
la caractéristique a étant relative à la variable s. Observons eu oulre que, si l'on nomme o(x) la valeur de y déterminée par la formule (53) ou (54), la fonction o(x) aura la double propriété de vérifier l'équation différentielle, linéaire et de l'ordre //,
(56) F(D)cp(^)r=o, OU, ce qui revient au même, l'équation
(57) F(av/^)o(:^) = o; et de satisfaire aux conditions
I 9'(.ro) = f'(^o),
9("-i)(.ro) = f("-ï)(^o).
OEuvres de C. — S. U, t. VII.
Lorsque la fonction F(r) cesse d'être entière pour devenir transcendante, il arrive assez souvent que la fonction y = 9(^). déterminée par la formule (53) ou (54), satisfait aux conditions (58), quel que soit le nombre n. Alors il semble naturel de penser que les deux fonctions o(cc-), f(x), dont les valeurs se confondent, ainsi que les valeurs de leurs dérivées successives, quand on pose ,v = œ^, ne diffèrent pas l'une de l'autre, et restent toujours égales, du moins entre certaines limites. Toutefois cette égalité n'est point évidente, attendu que des fonctions très distinctes, par exemple,
peuvent se réduire, ainsi que leurs dérivées des divers ordres, à des quantités données, pour une certaine valeur .i„ attribuée à la variable jo. Nous montrerons dans un autre article les facilités ([ue présente le calcul des résidus pour l'établissement ou la discussion des formules auxquelles on se trouverait conduit par les considérations que nous venons d'indiquer, et en particulier des formules que AI. Brissoii a obtenues par ce moyen dans son dernier Mémoire.
SUR LA
Soiont
les ditrérents termes d'une série réelle ou imaginaire; et
(2) . 5,j==: WoH- "1+ "2+- • •■+" "/i~l
la somme des n premiers termes, n désignant un nombre entier quelconque. Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme s,, s'approche indéfiniment d'une certaine limite s, la série sera dite convergente, et la limite en question sera ce qu'on appelle la somme de la série. Au contraire, si, tandis que n croît indéfiniment, la somme a„ ne s'approche d'aucune limite fixe, la série sera divergente et n'aura plus de somme. D'après ces principes, pour que la série (i) soit convergente, il est nécessaire et il suffit que les valeurs des sommes
correspondantes à de très grandes valeurs de n, diffèrent très peu les unes des autres; en d'autres termes, il est nécessaire et il suffit que la différence
devienne infiniment petite, quand on attribue au nombre n une valeur infiniment grande, quel que soit d'ailleurs le nombre entier représenté par m. Cela posé, soient
(4) To, ri, /•,, /"s, ...
les modules des différents termes de la série (i), en sorte qu'on ait
généralement
(5) //«=/-«(cos/?„ + v^^ sin/?„),
/?„ désignant un are réel. II est clair que, si la série (4) est convergente, les séries réelles
,-, ( /ocos/jo, f\cospi, r.iCOsp.„ r.^cosps, ...,
' '"o sin/>o. f'i smpi, i\ sin/?2, /"a sin/?3, . . .
le seront à plus forte raison, d'où l'on est en droit de conclure que la série (i), ou
I /■o(cos/j'o4- v/— ' sin/>o),
/) ' /•i(cos/?, + V''— ' s''V'i),
/ /•2(cos^2+ ^/— 1 sin/^o)»
sera elle-même convergente. Ajoutons : i« que les séries (4) et (7) seront évidemment divergentes, si le module /„ obtient des valeurs très considérables pour des valeurs infiniment grandes de l'indice n ; 2« que, en vertu d'un théorème établi dans V Analyse algébrique (p. i43) ('), la série (4) sera convergente si la limite vers laquelle convergent,
tandis que u croît indéfiniment, les plus grandes valeurs de (r^)", esl inférieure à l'unité. Il ne pourra donc y avoir incertitude sur la convergence des séries (4) et (7) que dans le cas où, la quantité r„
décroissant indéfiniment avec -, la limite des plus grandes valeurs
de (r,,)" deviendrait précisément égale à l'unité. Or, dans ce même cas, on pourra souvent décider si la série (4) est convergente ou divergente, en recourant à l'une des propositions que nous allons énoncer :
Théorème I. — Soit f{x) une fonclion qui demeure constamment positive pour des valeurs positives de la variable x ; et admettons : 1 " que la fonction f{oc) décroisse indéfiniment avec -; 2*^ que le rapport
(') OEiivrcx de Caucliy, S. II, T. lil.
reste, pour des valeurs iiifmimerit grandes de x\ et pour des valeurs de 0 (jui ne surpassent pas l'unité, compris entre deux limites A, ^, finies, mais différentes de zéro. La série
sera convergente, si l'intégrale
f{x)dx
s'évanouit pour des valeurs infiniment grandes du nombre entier n., quel (pie soit d'ailleurs le nombre entier m ; et divergente dans le cas contraire.
Démonstration. — Désignons par ^„ la somme des n premiers termes de la série (9), en sorte qu'on ait
Pour savoir si cette série est convergente ou divergente, il suffira d'examiner si la somme
s'évanouit ou non, quand on attribue à n des valeurs infinies, quel que soit d'ailleurs le nombre entiers. D'ailleurs, on aura évidemment
1 / f{x)dx:=l f{x)dx-^i f{œ)dx+...+ i f{x)d.x;
f =1 [f{x^n)-{-f{x-i-n-hi)-}-...^f{x-\-n-t-/n — i)]dx;
' Jo
d'où l'on conclura, en représentant par 0 un nombre compris entre les limites o, i.
Or, en vertu de l'hypothèse admise, les rapports
étant tous compris, pour de très grandes valeurs de n^ entre les limites A et B, on pourra en dire autant de la fraction
Jp n T m I f{x) de
Donc la différence
sera renfermée, pour de très grandes valeurs de n, entre les deux produits
pn-\-m
(,8) gj f{x)dx.
Donc, si rintégrale (lo) s'évanouit, quand on attribue à n des valeurs infinies, quel que soit d'ailleurs le nombre entier m, on pourra en dire autant de la quantité ^rt+,„ — *«, et la série (9) sera convergente. Mais, si l'intégrale (10) diffère sensiblement de zéro, pour des valeurs très considérables de n et pour des valeurs finies ou infinies de m, alors la quantité ^„+,„— s^ ne sera pas nécessairement nulle pour n = oc, et la série (9) sera divergente. Dans ce dernier cas, la somme s„ cessera de converger, pour des valeurs croissantes de n, vers une limite finie .9. Cette somme deviendra donc infinie en même temps que le nombre n. Par la même raison, la somme 5„+,„ et la différence s^^,^— S* deviendront infinies avec le nombre m, si, après avoir attribué à n une valeur très considérable, mais déterminée, on fait croître le nombre rn au tfelà de toute limite.
Corollaire. — Lorsque le rapport demeure constamment renfermé entre les deux quantités
et que la seconde de ces deux quantités croît sans cesse pour des valeurs très considérables et croissantes de la variable x, on peut évidemment supposer
^- fin) ' ^-'^
et, par suite, la somme
se trouve, pour des valeurs considérables de n, comprise entre les deux limites
fin)
fi
^^^ f f{x)dx.
rn + m f{x)dx.
Exemple. — Supposons, pour fixer les idées,
[x désignant une quantité positive. La série (9) deviendra
/ a\ III
et l'intéarrale
J,-i K -t- ffi^ j^n -f- m
' /{x)dx= (i+x)-i^
dx
s'évanouira ou ne s'évanouira pas, pour des valeurs infinies de /i, suivant que le nombre u. sera supérieur ou inférieur à l'unité. Donc la série (23) sera convergente si l'on a a^i, et divergente si l'on a a <^ I . Dans l'un et l'autre cas, la différence
sera le produit de l'intégrale (24) par un facteur compris entre les
limites
Dans le cas particulier où le nombre [x se réduit à l'unité, la série (23) devient
et l'intéi^rale (24) doit être remplacée par la suivante :
-^ = 1(« -f m + 0 -!(// + .)== I ( .+ -'"-). Or l'expression
