I( IH

qui devient sensiblement nulle avec -, (luand on attribue au nombre ni une valeur finie, cesse de s'évanouir, quand /n devient comparable à /^ par exemple, quand on suppose m = /i, m = -in, .... Donc la série (27) est divergente. Ajoutons que, pour cette même série, la dilTérence

sera le produit de l'intégrale

par un fadeur compris entre les limites (81) ■ I et '

TnÉOKÈME II. — Sait f{x^ une fonction (iiii dcincure constatntncnl positive pour des laleurs posi/iiY's de la variable .t, et qui. pour de très

f>ra/ides relieurs de celte variable, décroisse sans cesse avec • La série (9)

sera convergente si l'intégrale (lo) s évanouit pour des râleurs infinies de n, quel que soit m\ et divergente dans le cas contraire.

Démonstration. — Dans l'hypothèse admise, l'iFitégrale (lo), qui forme le premier membre de l'équation (i4)» sera, pour de très grandes valeurs de /^ inférieure au polynôme

et supérieure à

En d'autres termes, l'intégrale

f{x)dx

sera, pour de très grandes valeurs de //, comprise entre les deux différences

et, comme cette proposition restera vraie, tandis que n et m varieront, on doit en conclure que la différence

sera comprise entre les deux intégrales

/n+m — l „ii + i/t

f{jc)d.r, / f{x)da;

c'est-à-dire inférieure à la première, et supérieure à la seconde. Cela posé, concevons d'abord que l'intégrale (lo) s'évanouisse pour n = yz, quel que soit m. La première des intégrales (33) et, par suite, la différence Sn^,n — Sa s'évauouirout pareillement. Donc alors la série (cj) sera convergente. Au contraire, si l'intégrale ([o) diffère sensiblement de zéro, pour des valeurs très considérables de n et pour des valeurs finies ou infinies de m, la différence s„^„^ — ,v„ ne sera pas nécessairement nulle pour n — oc, et la série (9) sera divergente.

OF.uvrcs de C. — S. U. t. VU. 35

Exemples. — Si l'on applique le théorème qui précède à la fonction

■ -■, on s'assurera de nouveau que la série (22) est convergente

pour [i.>i, et divergente pour ti. — ou <i. De plus, on reconnaîtra que la difïerence

est comprise entre les deux limites

et la différence

entre les limites

(35) lf'+-V if.-h--^

Supposons encore

(36) /(■^>=tt:?-

La série (9) deviendra

(37) o, -^, -^, -^, ..., et, comme l'intégrale

conservera une valeur finie pour une valeur infinie de n, si l'on prend m =^ n ou m = in, . . ., on peut affirmer que la série (37) sera divergente. De plus, la somme

sera comprise entre les deux limites

(4o) l(^L±J!i^tl(^,(. -

c'est-à-dire, inférieure à la première et supérieure à la seconde.

Les théorèmes I et II continueraient évidemment de subsistei' si, dans la série (9), (|uclques-uns des premiers termes étaient réduits à zéro ou remplacés par de nouvelles quantités. Concevons, par exemple, que l'on considère la série

à laquelle se réduit la série (9), lorsque, après avoir supposé

on remplace le premier terme /(<>) = - = ce par zéro. Comme l'intégrale

conservera l'une des valeurs linies

lorsque, en attribuant au nombre // des valeurs très considérables, on déterminera le nombre m par l'une des équations

m :=. n{n -\- \), m = n{n -h t)'-, fn ^= n{/i -h fY, ...,

OU pourra conclure du théorème l ou H que la série (4r) est divergente. De plus, on reconnaîtra que la somme