I-fZ

Il est facile de s'assurer que la différence

croît indétlniment avec m, suivant la remarque générale précédemment faite, quand on remplace la série (9) par la série (23), en supposant [j.<], ou par l'une des séries (27), (37), (4i). En effet, d'après les calculs que l'on vient d'effectuer, les valeurs de cette différence, correspondantes aux quatre séries dont il s'agit, sont respectivement supérieures aux quatre expressions

( n -r- m + 1)1-!^— (n -h ly-v-

i-ix 1 ( /i -H /?i H- I ) + I ( /^ 4- I )

lu-

Or, si, dans ces expressions, on attribue au nombre 71 une valeur très considérable, mais déterminée, et au nombre m une valeur infinie, elles se réduiront toutes à l'infini positif.

Il est bon d'observer que l'intégrale (10), prise entre deux valeurs

infiniment grandes de la variable x, est du genre de celles que nous avons nommées intégrales définies singulières. Cette intégrale devient certainement infinie avec le nombre m, lorsque, pour des valeurs considérables de oc, le produit ocf(cc) diffère sensiblement de zéro, de manière à surpasser toujours une certaine quantité positive A. Au contraire l'intégrale (lo) devient nulle, pour des valeurs infinies de /^ et pour des valeurs finies ou infinies de m, lorsque, le produit xf{x)

s'évanouit avec -? et que l'on peut en dire autant d'un autre produit

de la forme x*^^/(x), ù étant un nombre déterminé, mais aussi petit que l'on voudra. Donc, la série (9) sera divergente dans le premier cas, et convergente dans le second. Pour établir ces deux propositions, il suffit de recourir aux deux formules

,,n+in ^n+m

C C dx r (Ix

j f{x)dx=.t xf(x) — =i{n -h Om) f{n -i~ 0/ti) I —

=z {n 4- Om)f{n + Qm) l( i + — )'

f{x)dx— ^l+8y(^)__ — (,i + {)/„) 1+S y (/t 4-0, „) /

(/i + (Jm)'+2/(«-i- ^m)-^

dans chacune desquelles 0 désigne un nombre inférieur à l'unité, et de faire croître indéfiniment le nombre m dans la première formule, le nombre n dans la seconde. Au reste, pour que ces propositions subsistent, il n'est pas nécessaire que la fonction f{x) décroisse constamment avec -; et l'on peut énoncer le théorème suivant :

Théorème III. — La série (9), dont tous les termes sont positifs, est convergente, lorsque des valeurs infinies de n réduisent toujours à zéro, non seulement le produit

(48) nf{n), mais encore le produit

0 désignant un nombre déterminé, mais qid peut être aussi petit que l'on voudra. La même série est divergente, quand le produit (48) digère sensiblement de zéro et devient supérieur à une eertaine quantité positive A, toutes les fois que l'on attribue au nombre n des valeurs eonsidérables et supérieures à une limite donnée.

Démonstration. — En effet, supposons d'abord que l'expression ( Vj) s'évanouisse toujours avec - » et soit N le plus grand des produits

(5o) n'-^^f{n), (/t-t-i)' + 2y(,j + i) ,..^ („ -4- ,„ ,)i+Sy(,^ ^ ,,, ,^

N deviendra nul pour n = oc. D'ailleurs la différence

sera évidemment inférieure au produit

dont le second facteur s'évanouira, en même temps que le premiei', avec -5 attendu que la série

II I

est convergente. Donc la série (9) sera elle-même convergente, ce qu'il s'agissait de démontrer.

Supposons en second lieu que, pour des valeurs considérables de n, le produit n/(n) devienne constamment supérieur à la quantité positive A. Alors la différence 5„^,„ — s^ surpassera le produit

et, comme ce produit croîtra indéfiniment pour des valeurs croissantes de m, attendu que la série (27) est divergente, il est clair que la série (9) le sera pareillement.

Exemples. — Si l'on applique le théorème III aux deux séries

on reconnaîtra que ces deux séries sont l'une et l'autre convergentes, lorsqu'on a tjt. > r , l'une et l'autre divergentes, lorsqu'on a a < i .

SUR LA

^~{ax--^bx+c) ^^

# a, h, C DÉSIGNANT DES CONSTANTES RÉELLES OU LMAGINAIRES.

L'intégrale

que l'on réduit, en posant z = .o?-', à la forme

est équivalente, comme l'on sait, à la racine carrée du nombre û, en sorte qu'on a

Si l'on prend maintenant

a, h désignant deux constantes réelles dont la première soit positive, on tirera de l'équation (2)

(■".-^"■'^'■-^^<'rf,r.-=(^)'

et, par suite,

(5) f e-^^-^'-+'"'^'^dx=(~\ e '""'".

Or il est facile de prouver (fue les formules (4) et (5) s'étendent au cas même où les constantes a, h, c deviennent imaginaires, pourvu que la partie réelle de la constante a demeure positive. On y parvient en effet de la manière suivante.

Soient a, p, \, \x des constantes réelles, et posons, dans la formule (i) de la page il\(j,

(6) o{p,r)=:ocp^l, y{p,r) = {^p + ij.)r,

{-) po— — cc, P = co, 1-0=: o, R = i.

Alors, si la fonction /est telle que le produit

(8) pflap + >. -H (3/> + lJ.)r^/~i\

s'évanouisse pour des valeurs infinies, mais réelles, de p, et conserve toujours une valeur finie entre les limites

/?r=— 00, p = oc, r = o, r — i,

on trouvera

(9) (a + ^v'^)/ fl(y.^?>K^'^Op^'^- + l^\^~^\^fp = ^f .aap + l)dp. Comme on aura d'ailleurs, en supposant a ^ o,

et, en supposant a < o,

« r f{y.p^l)dp^f ^' f{œ)djc'=~ f f{x)dx,

on tirera de l'équation (9), en remplaçant dans le premier membre la lettre p par la lettre œ,

(10) f /|(a + (3\/^)^ + >.+ ;jLv/^]c/^ = ±^ -'-^= f /{x)dx.

'^-'■- a -H [3 y'— I J oc

OEuvresdc C. — S.U,l.\U. 36

Il importe d'observer que, dans la formule (lo), le double signe ± doit être réduit au signe -h, lorsque la constante réelle a est positive, et au signe — dans le cas contraire.

Soit maintenant

(11) f{x)z=^e-\ L'expression (8) deviendra

(a«-|5^,-'+2a|5,V=l) ip+^^'^'"^ pe ^ a+-prv/-i/ ^

Or cette dernière conservera toujours une valeur finie entre les limites /)= — ce, » = :>D, r=o,r=i,de manière à s'évanouir avec - , si l'on a

c'est-à-dire, en d'autres termes, si la partie réelle du carré

est positive. Donc, si la condition (12) est satisfaite, on aura

(i3) / e V ='+?v/-'/ rf^=:± ^---- / (^"''

D'ailleurs, si l'on fait pour abréger

2 a3 (i4) p=ra'-+;3S T=arclang-^— ^,

OC" p" ,

on trouvera, en supposant a^> ^-,

(i5) a =L(a+ [3y/— 1)^=: p(cosT + v/-- ' sinr)

(16) a^ = p^(|cos^-f-v/=^sin0=.±(^+{3v/^i),

le double signe devant être réduit au signe -h quand a sera positif, et

au signe — dans le cas contraire. Par suite, la formule (i3) donnera

Si, dans l'équation (17), on remplace le rapport constant

par la lettre h, on reproduira la formule (4); puis, en multipliant les deux membres par l'exponentielle

-<:-4--— o lut

on retrouvera l'équation

dans laquelle a, b, c pourront être des constantes imaginaires, dont la première seulement devra offrir une partie réelle positive.

Si la partie réelle de la constante a devenait négative, l'intégrale comprise dans le premier membre de l'équation (5) aurait généralement une valeur infinie ou indéterminée.

Si, dans l'équation (4), on pose, pour plus de commodité,

l a =-- p (cosT 4- ^ — I sinr), (18) { 6 = 2p,(cosT, + v^— I siriTi),

f c = p2(cosT2 + v^ — isinTa),

p, p,, P2 désignant les modules des constantes a, h, c, et - un arc renfermé entre les limites ? -? on en tirera

^-(pj:-cosT-t-2pja'cosT,+p2COsT2) ^-(p:e'siuTH-2p,^siuT,H-pjSinT2) v'—ï //^ ! ^ — oc

^'9) i , -\ pJe()s(2-,-T) r . p";sin(3T,-T) x] .. / /^'^•\ "P^cost.H I p,8inTj+ i-! ; V-'

et, par suite,

f =(^-j e P cos|^- + '-^ p +p,sinT2j,

I / e-(pa;'cosx+2p,xcosT,4-p,cosT,)sin(p^2gij-j^l 2pi^sinTi+p2sinr,)flfj:'

Si l'on posait, au contraire,

(22) a = A + Dv/^, /> = B + Ev/^, c=zC4-Fv/^^,

A désignant une quantité positive, et B, C, D, E, F des quantités positives ou négatives, on trouverait

(28) - i A(R! -Kn-t2nF.I> r., (K'-F,5|n-2ABP: 1 Dl ,—

et, par suite,

[ f e-(A^'+'*.3^+<'-'cos(D^-+Ex-+ F)^j:

(24) "( __{ ^ A(B«-Ei) + 2BKn

^2 c+^ 7-^-^-:: (B2-Enn-2\RE r ^ l)

c LUb r -t- 4(A*-+-D=') ^ .;,'"^ •""« ,^

1 r e-(A*'+«^-*-'''sin(D^2^E:c + F)flf.r

^""^ 71^ -'^^"" Jl^r. . Ti. (B^-E^)D-2\BE . , 0-

Les équations (20), (21), (24) et (2j) comprennent, comme cas parti-

culiers, les formules connues

/ e-9'^'-co^^cos{pj:^-imz)djc = l-) cos^,

r sin -;

dont les dernières subsistent pour des valeurs quelconques des constantes a et s, pourvu que la partie réelle de la constante a reste positive.

Lorsque, dans la formule (5), on prend successivement

bz=2S, b = -^ '2S\/—f ,

et que l'on suppose, en outre, a = i, c = o, on en conclut

(•i8) e''—(-j j e-^'e-'^'djc

Les deux équations précédentes subsistent, non seulement pour des valeurs réelles, mais encore pour des valeurs imaginaires de la constante .9, et peuvent être employées utilement dans la solution de plusieurs problèmes.

Lorsqu'on pose, dans la première des formules (27), « = -> et que l'on réduit chaque membre à la moitié de sa valeur, on en conclut

0 pouvant être une quantité positive, ou une expression imaginaire dont la partie réelle soit positive. De plus, comme, en vertu de la formule (3o),

e ' et —^

sont évidemment deux fonctions réciproques de première espèce, on tirera de l'équation (71) de la page 190

a, |3 désignant deux nombres choisis de manière que l'on ait

En d'autres termes, on aura

a, b désignant deux nombres assujettis à la condition

(34) abzzm.

Si, dans l'équation (33), on réduit la constante 0 à l'unité, on retrouvera la formule ,

déjà obtenue précédemment (page 193). Si l'on fait, au contraire,

(36) ô = cosT + v^— I sinr,

T désignant un arc réel, compris entre les limites — 7' + -' l'équa-

tion (33) pourra être réduite à

a'-[ cos

I sin

b'n cos 7 —J—i sin j 4 4

I g— a'(cosT+-\/— 1 siiit) | g— 4a-(cosT-t-v'--'l sinx) |

I g— 6'(cosT— ^^siiif) 1 g— 4i-(cosT— ^— IsinTJ j

et l'on en conclura

( - cos^ + e-'^'««^'^cos( 7 — «^sinr j +e-*«'<^o^'^cos( 7 — 4«-siriT) -i-... 6"^ ( - cos7+e-'^''^<'^'^cos( 7— ô^sinrl +e-'^'^''='"*^cos( 7 — 4/^^sinT) -^...

«^ ( - sin-^+e-«''^''«'^sin( } — a-s'mzj +e-*«''^''**'^ sin ( 7 — 4«-sinT) — ... b'A (-^ A\nj-he-^''">^^ sin( f — ô^sin-r) +e-**'<=<'^^ sin( ^ — 4/>2sinT) -^...

Si maintenant on pose

l'équation (38) deviendra identique, mais l'équation (39) donnera (4o) - sin y +6'-"'^o«T^sin( 7 — TTsinr) +e-*^'"°«^sin( 7 — 47:sinTJ +. . . = 0

ou, ce qui revient au même,

,, , T «?-'"''°^'fsin(7rsinT) + ^^-*'^''''^'^sin(4TrsinT) 4-. . .

(40 tang7

4 ^ + e-^'^"^'^cos(7T sinr) + f'-*^*^"^"^ cos (471 sinr)

Prenons, pour fixer les idées, ": =^ '^' Alors on aura

sinr