DE L\ PRESSION
face s. Kntin, soient a cette projection et />o la pression hydioslatiqne exercée an point (./„, j, z) contre le plan de la surface ^o- L'éqnilibi'e ([ni a lien dans la niasse fluide ne sera pas troublé si l'on vient à solidifier une portion de cette masse. Or, admettons que la partie solidifiée soit comprise dans le cylindre qui aurait pour génératrice une droite parallèle à l'axe des £r, et pour bases les surfaces infiniment petites .9,,, .V. Soit d'ailleurs p la densité du liquide au point (ii',y, z), et supposons .r >*^'o- Si l'on projette sur l'axe de .t les forces motrices qui sollicitent les diverses molécules du cylindre, et les pressions supportées
par les deux bases, on trouvera a pXdir pour la somme des projections algébriques des forces motrices appliquées aux diverses molécules,/>>o^o X ~y ou/?o«pour la projection algébrique de la pression/>o.Vo
supportée par la surface s^,, enfin ps X (- ~) ou -pa pour la projection algébrique de la pression/?^ supportée par la surfiice s. Quant aux pressions supportées par la surface latérale, elles seront, en cbaque point de cette surface, perpendiculaires à la génératrice du cylindre, et par conséquent à l'axe des ce; d'où il résulte que leurs projections algébriques sur cet axe s'évanouiront. D'ailleurs le cylindre, devenu solide, doit rester encore en équilibre au milieu de la masse fluide. Donc la somme des projections algébriques des forces appliquées à ses molécules et aux surfaces qui le terminent doit se réduire à zéro. On aura donc nécessairement
al [j\dx -\- p^a— pa P = Po-+- / pX<r/^.
Or, si l'on vient à faire tourner le plan de la surface s autour du point (x, y, :■), sans cbanger la position du plan qui renferme la surface ^„, la pression /?, exercée contre la première surface, et déterminée par l'équation (i), ne variera pas. Donc cette pression conserve la même
DANS LES FLl IDES. W
valeur, quel que soit le plan contre lequel elle s'exerce, ou, en d'autres termes, il y a, au point (x-,y,z) choisi arbitrairement dans la masse tluide, égalité de pression en tout sens, ajoutons que, de l'équation ( i ), diflérentiée par rapport à .r, on tire immédiatement
On trouvera de mémo ^/^ - . Y
et, par suite,
( 3 ) dp = p{\ da- -\- Y dy -\-'Adz).
Ces dernières formules sont les équations connues, à l'aide desquelles on tixe les conditions d'équilibre d'une masse tluide, et la valeur de la |)ression hydrostatique en chaque point.
RKNFEHMLES
DWS LES IXTECRALES DES ÉQIATIOAS DIKFEREMIELLES LINEAIRES.
J'ai fait voir, dans le premier Volume des Exercices de Mathémaliques, avec quelle facilité l'on déduit du calcul des résidus les intégrales générales des équations difTérenticlles linéaires à coefficients constants, et même, dans plusieurs cas, à coefficients variables. 3lais les intégrales dont il s'agit renferment des fonctions arbitraires; et de ces fonctions dérivent, après l'extraction des résidus, des constantes arbitraires, qui, dans chaque problème, doivent être déterminées de manière à vérifier des conditions particulières. Or, dans la plupart des questions qui conduisent k des équations différentielles de l'ordre // entre deux variables r, r, on connaît, a priori, les valeurs des fonctions
j' y-Tn.^ y-iTi^ •••' r«— =
dx ^ dx- "^ <:/^'"-' ,,'
correspondantes à une valeur donnée x^ de la variable x. AIois on peut fixer complètement la forme de la fonction arbitraire comprise sous le signe ^, et l'on y parvient, en eflet, quand l'équation est linéaire, en suivant les méthodes que nous allons indiquer.
Considérons en premier lieu l'équation différentielle linéaire
d"y d"-W d^-^Y dv
dans laquelle ai, a.,, .. ., «,,„,, a„ désignent des coefficients constants; et faisons, pour abréger,
(2) F{r) = r"-hai /•«-' + a,r''-'- + . . . + rt„i /• + a„.
L'intégrale générale de l'équation (1) sera [?yw- la page 202 (' ) du premier Volume]
le signe ^ étant relatif à la lettre r, et ^(r) représentant une fonction de /-assujettie à conserver une valeur finie pour toutes les valeurs de /■ propres à vérifier la formule
Cela posé, concevons d'abord que les valeurs des fonctions
correspondantes à ^r = x^, doivent se réduire aux différents termes de la progression géométrique
y] désignant une quantité constante. Comme, en nommant m un nombre entier quelconque, on tirera de la formule (3)
il suffira évidemment d'assigner à la fonction 9(r) une valeur telle que la condition
(8) S — --^- p^ = ri"' = I
se trouve remplie pour toutes les valeurs de m inférieures à //. En d'autres termes, il suffira que l'on ait, pour m < n,
j, /•"'e''-^oy(/-) ç J
"^ ((F(/-))) , *^{ir--n))
(!) OEuvrcs de Cauchr, S. II. T. VL p. o.ri. Œuvres de C. — S. II, t. Vil.
ou, ce qui revient au même,
(9) (^rO.'-^.,o(r)-FV)^
^9^ ^ (((A--ri)F(,-)))
Or, le produit (r — ■/])F(r) étant, par rapport à /-, du degré // + i, on aura généralement, en vertu de la formule (6/4) de la page 2j (') du premier Volume,
et, par conséquent, la condition (9) sera vérifiée si l'on prend
(n) (r-rOe-o9(r)-F(r) = C,
OU, ce qui revient au même,
(12) cp(/-) — ^^'•'"^^e-'-^o,
C désignant une quantité constante, c'est-à-dire indépendante de r. De plus, si l'on veut que, dans l'équation (12), la fonction o(r) conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de r, et en particulier pour /• = q, il est clair que le numérateur de la fraction
devra s'évanouir avec son dénominateur. Il faudra donc que l'on ait
F(r;)+C=:o ou C = -F(r/); et, par suite, la formule (12) donnera ^,
(fô) o(r)::= ^ — e-'^".
En substituant cette dernière valeur de o(r) dans l'équation (3 ), on
trouvera
pF(r)-F(yi) e'-(-^o> ^ ^^ " i^ r-n ((F(/-)))
(») OEuvres de Cauc/ij, S. II, T. VI, p. 36.
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème I. —Si l'on intègre l'équation (i) de manière que la fonction y et ses dérivées d'un ordre inférieur à n, c'est-à-dire les quantités
y(« — 3) yl
se réduisent, en vertu de la supposition x =X(,, aux différents termes de la progression géométrique
(6) Y)", mS 10% ..., n"~% Yî""-, Yi"-',
la valeur générale de y sera celle que détermine la formule (1/4).
Si, dans le second membre de l'équation (i4)> O'^ développe la fonc-
tion -^—^ —^ on un polvnomc ordonne suivant les puissances ascen-
dantes de y], on en conclura
(|5) J=:P-l-QY} + RYl2 + ...-hUYî"--'+ VY]"-2-t-\Vr/«-',
p, Q, R, ..., U, V, W désignant des quantités indépendantes de r^, et qui renfermeront la seule variable x. Or, la valeur précédente do y devant satisfaire aux conditions énoncées dans le théorème I, quelle que soit la valeur attribuée à la constante arbitraire r^ il en résulte évidemment : i" que chacune des fonctions
substituée à la place de y dans l'équation (r), vérifiera cette même équation; 2" que l'on aura, pour la valeur particulière .r,, de la variable X,
Concevons maintenant que les valeurs des fonctions (5), correspondantes à x^^x^y doivent se réduire, non plus aux différents termes
(le la progression (G), mais à des quantités quelconques désignées par
(•7) "^0' 'Ol, Ti,, ..., -flu^S, "l/t-Sj 'Cln-l-
Pour obtenir la valeur générale de j, il suffira évidemment de recourir à l'équation (i5) présentée sous la forme
(i8) r — Pr,»+ Or/ -h llri--}-. ■ • + U-^«-=' -h \-n"-'--h \Y n"-',
et de remplacer dans cette équation les exposants placés à la droite de la lettre y] par des indices. En d'autres termes, on aura
(19) 7 — P-/î„4- Q-fii-h R-0.4-. . .+ U-Aj„^3+ Vy)„,-i- Wy^«i.
Il est clair en effet que cette dernière valeur de y vérifiera l'équation (r) avec les conditions prescrites. Or, le second membre de la formule (19) est précisément et que devient le second membre de l'équation (i4) développé suivant les puissances entières de y], quand on substitue des indices aux exposants de ces puissances. On peut donc énoncer encore le théorème suivant :
Théorème II. — Si l'on intégre l'équation (1) de manière que la fonction y et ses dérivées d'un ordre inférieur à n se réduisent, en l'erlu de la supposition x = Xf,, à des quantités données r^o, Y],, •• ., Y]„,, la râleur générale de y sera celle que fournit l'équation (i4)» lorsque, dans la
fonction entière de y], équivalente au rapport -^ on remplace
les exposants des puissances de r^ par des indices.
Exemple. — Proposons-nous d'intégrer l'équation différentielle (.0) ±l^a^y^o,
de manière que l'on ait, pour ^ = o, j= i et j'=o. On trouvera, dans ce cas particulier,
/• — rj r — n
Yîo=i, -01 = 0, oc^ — o;
DES CONSTANTES ARBITRAIRES, ETC. k6
ot l'on tirera do la formule (i4)' en remplaçant les exposants de y] par (les indices,
ou, ee qui revient au môme,
(22) j := i(e«-^v^+ e-^'^V^) = cosax.
Considérons à présent l'équation différentielle
L'intégrale générale de cette équation sera \yoir la page 204 du premier Volume (')]
^ '^ -^-^((Fl/-))) ^ ((F(/-)))
o{r) désignant toujours une fonction de /', assujettie à conserver une valeur finie pour toutes les valeurs de /-qui vérifient la formule (4). Eu d'autres termes, on aura
(25) J=rw+P,
u, V étant deux fonctions de x déterminées par les formules
(26) ^^^^e'-^oir)
((F(/-))) Ajoutons que la fonction r, réduite à
vérifiera l'équation (i), si l'on suppose /(.a?) = o, tandis que la même
fonction, réduite à
continuera de vérifier l'équation (8), si l'on prend z>{r) = o.
(') OEuvrcs de Cauchv, S. W, T. VI, p. 'j.ji.
Concevons maintenant que les valeurs des fonctions
correspondantes à x = Xf^, doivent coïncider avec les différents termes
de la suite
^0» lOi, YI2, ..., Tn„-i.
Comme, en désignant par m un nombre entier inférieur à n et ayant égard à la formule (10) de la page 2o3 du premier Volume ('), on tirera des équations (23) et (27)
et que la valeur de ç^''"', donnée par la formule (29), s'évanouira toujours pour^ = ^o; il suffira évidemment d'assujettir les fonctions
u, a , II", . . ., u
in-l)
dont la première vérifie l'équation (i), à prendre, pour .x- = .r,,, des valeurs respectivement égales aux quantités
1^0, THl, ri2, ..., Y3(,t-i).
On aura donc, en vertu du théorème II,
pourvu que, dans la fonction entière de yj équivalente au rapport
;— ) on remplace les exposants de la lettre yj par des indices ;
et l'on tirera de l'équation (25), mais sous la môme condition,
f e''(^-=)/(c) dz .3. .,^ pF(/-)-F(yi) e'-(^--o) ^ J..„
(') OEiivrcs de Cauchj, S. II, T. VI, p. 253.
ou, co qui revient au même.
'isn^-iMe..-^
Si à l'équation (23) on substituait celle-ci
la valeur de 7 conserverait la forme que lui assigne l'équation (32). Seulement la fonction F(r) deviendrait
On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème III. — Si Von intègre l'équation (33) de manière que la fonction y et ses dérivées d'un ordre inférieur à n se réduisent, en vertu de la supposition x=^Xo, à des quantités données Y] 0, v] 4, Y] ^, ...,/]„,; /« valeur générale de y sera celle que fournit l'équation (32) jointe à la formule (34), lorsque, dans le développement du rapport — -7—- » suivant les puissances entières de y], on transforme en indices les exposants de ces puissances.
Exemple. — Proposons-nous d'intégrer l'équation
de manière que l'on ait, pour une valeur nulle de x, y = Y],) et y'=T^^. On trouvera, dans ce cas particulier,
F(r) = /-'-+i, t(/-)-F(Yj) ^^.^o^^i ^,=.0;
et l'on tirera de la formule (32), en remplaçant les exposants de /] par
(les indices,
2 ^/— I L Jo -I
OU, ce qui revient au même,
(37) j' = r)oCOS^ + riiSin^H- / s'm{,v — z) f{z) dz.
Exemple II. — Proposons-nous encore d'intégrer l'équation
de manière que l'on ait, pour une valeur nulle de œ, j' = Yio t't y= /],. On trouvera, dans ce cas particulier.
F(r)=,-2 — 2/- + ! = (/• -1)2, F(/-)-F(r5) [r-iY-in-iY
et l'on tirera de la formule (3 1)
(39) J = ^|;|[('--2)r.„4-r..]e-+jr e ''^-^ )/(..) ^J, -^—!-^~-,
(40) Y = [-n,+ {-ni--no)x]e^+ I {x - z)e^~-- f{z)dz.
Considérons encore l'équation différentielle
\ d^' '^ Ao^ + B d^^^ "^ (A^ + B)? ^^«'^"^ + • • • (40 \
««-1 d.y (fn ,
dans laquelle A, B, «,, «., ..., a,^.^, a,^ désignent des quantités constantes. Si l'on fait, pour abréger,
( F(r)=rA"/'(/--i). ..(,•-,* + ,)
( -t- «lA"-' /•(/■ — i). . .(/• — /< + 2) +. . .^-a„, A/-4-«„,
l'intégrale générale de l'équation (4i) sera [voir la page 26 1 du premier Volume (')]
9(r) désignant une fonction arbitraire de r, qui ne devienne pas infinie pour des valeurs de r propres à vérifier la formule
Cela posé, concevons d'abord que les valeurs des fonctions (5), correspondantes à x = x\,, doivent se réduire aux différents termes de la suite
^-"^ ^'"-'' À^,4-R' (A.r„+R)^' •••' (Ax,+ R)«-^ -•
Comme, en représentant par m un nombre entier inférieur à n, on tirera de la formule (43)
( A6) y(-)= A'" r ^'(^'~')---(^' - '« + 0 ?('•) ( A^- + li)'-'"
-^ ' o - ((TTôl) '
il suffira évidemment d'assigner à la fonction 9(/) une valeur telle que l'on ait, pour m < n,
OU, ce qui revient au même,
( ^18) |W(/- — i). . . (/• - ,n + i) [(/• yi) (A.r„+ H )'■?(/•) — F(/-)] __
(ij OEm'res de Caucln, S. II, T. VI, p. 3iG.
OEuvres de C. — S. Il, t. VU. 7
Oi', en vertu de la formule (G4) de la page 23 du premier Volume ('), la condition (^8) sera vérifiée, si l'on prend
(49) (r - -n) (A^o+ «)'■ 9('-) - F(/-) = C, ou
C désignant une quantité constante que l'on devra réduire à — F(yj), si l'on veut que cp(r) conserve une valeur finie pour /• = r^. On pourra donc supposer
(5.) ,(,.)= Ei:;)^)(A.,+ B)-.
En substituant cette dernière valeur de ^(r) dans la formule (43), l'on
trouvera
^ pF(/-)-F(r;)/A.r^BY- .
^""^^ ■^ ^ r-n \Au:,-i-\iJ ((F(/-)))'
Pai' conséquent on peut énoncer la proposition suivante :
Théorèmk IV. -— Si l'on intègre l'équation (40 ^^ manière que la fonction y et ses dérivées d' un ordre inférieur à n se réduisent, pour X = x„, aux différents termes de la suite (45), la valeur de y sera celle que détermine la formule (52).
Concevons maintenant que la fonction y, et ses dérivées d'un ordre inférieur à //, doivent se réduire, pour x = x^^, non plus aux différents termes de la suite {\^), mais à des quantités quelconques désigTÎées par
(17) rjo, r;|, Yî,, ■ • -, TO/i-l-
xVlors, })ar des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage pour établir le tbéorème II, on prouvera sans peine que la valeur de j coïncide encore avec celle que fournit l'équation (52) quand,
C) OEuvres de Caiichj, S. II, T. VI, p. 30.
après avoir développé la fraction
en une série de termes proportionnels aux différents produits
(54) Tn*'=i, r,, nin — i), ..., y)(Y] — i). . .(r/ — /i + 2).
on remplace respectivement ces mômes produits par les quantités
/ R\ / ny ( B\«-'
Ajoutons que, pour effectuer le développement en question, il sut'tira d'avoir égard aux observations suivantes.
Si l'on désigne par f(a7) une fonction entière de la variable x, du degré m, et par n un nombre entier quelconque, on aura généralement, en supposant Lx = i ,
1 f(.r + /0 = f(^) + ^Af(^) + ^-^^-=-^An(.r)+... (56)
puis on en conclura, en réduisante à zéro,
f(m) — mf(m — i)-}-. . .±:f(o) , , ,
Or, les deux membres de la formule (57), étant des fonctions entières de n, qui demeurent égales toutes les fois qu'on prend pour n un nombre entier, ne cesseront pas d'être égaux, si l'on y remplace n par X {tmir le Chap. IV de Y Analyse algébrique) {^ ) . On aura donc, quel que soit x\
(') OEiwre.f de Cnuc/iy, S. II. T. III.
Si, dans la formule (58), on substitue la lettre yj à la lettre x, le rapport — à la fonction iX-'X'), et le nombre n — i nu nombre m,
on obtiendra immédiatement le développement demandé. Considérons entin l'équation différentielle
rf«-i
d"''\y A^4-D(ij?"-* ' (A.r + R)2 da^"--^
dy
(Ao^H-B)"-» c/x (A^ + R)"-^"-^^"^''
L'intégrale générale de cette équation sera {voir la page 263 du premier Volume) (')
rVA.r + BX'-
,a ^ C 9(/-)-(Ax-hB)'' , p J V
les fonctions o{r), F(r) ayant les mêmes valeurs que dans la formule (43); et, si l'on a recours aux raisonnements à l'aide desquels nous avons établi le théorème III, on obtiendra immédiatement la proposition suivante :
Théorème V. — Si l'on intègre l'équation (5c)) de manière que la fonction y et ses dérivées d'un ordre inférieur à n se réduisent, pour x =: x^, à des quantités données
-no, fil, Tii
la valeur générale de y sera celle que fournit l'équation
F(/-) — F(Yi) /A^ + R\'
/■ — rj
(OTi)'-,r(^^7<^--"'-/'='-
quand, après avoir développé la fraction (53) en une série de termes proportionnels aux produits (54), on remplace ces mêmes produits par les quantités (55).
(1) OEuvrr.s de Caucltj, S. II, T. VI, p. 3iS.
Si à l'équation (i) on substituait celle-ci
l (A^ + B)"-' ^^ (A^--^li)"-^ ~-^^^ ''
la valeur de j conserverait la forme que lui assigne l'équation (6i). Seulement la valeur de F(r) deviendrait
(63) ^ F(r)=raoA'^r(/'-i)...(/--« + i)
I H- aiA"-*/-(/- — i). . .(r — « + 2) 4- . . . -i- c-/„, Aa' 4- a„,
et, par conséquent, on se trouverait conduit au théorème que nous allons énoncer :
Théorème VI. — Si l'on intégre l'équation (62) de manière que la fonction y et ses dérivées d'un ordre inférieur à n se réduisent, pour x ==■ x^, à des quantités données
■'loi ^1» '*2j • ■ • ■> "On-lf
la valeur générale de y sera celle que fournit l'équation [61) jointe à la formule (63), pourvu que, après avoir développé la fraction (53) en une série de termes proportionnels aux produits (54), on remplace ces mêmes produits par les quantités ( 55 ) .
Exemple L — Proposons-nous d'intégrer l'équation
de manière que l'on ait j = y]^ et j'= y], pour x = i. On trouvera, dans ce cas particulier,
et l'on tirera de la formule (Gi), en remplaçant les exposants de r^ par
(les indices,
(65) y^l^\{rno-^-n,)a^'+J"'(^~y:;dz
OU, ce qui revient au même.
Exemple II. — Proposons-nous d'intégrer l'équation
de manière que l'on aitj = Y]„ cty = yj, pour x- = i . On trouvera, dans ce cas, F(r) = /•- h- i ,
(/•yîo + TO,)^'-+ ^ (7)^^/(~-)^/^^
et, par conséquent,
(69) .V — Yî„cosl(j^) -T-r;,sinl(^) -+- r z f{z) co?,\(''^\ dz.
SUR
