OLELOLES PROPRIÉTÉS DES POLYÈDRES

Rapportons tous les points de l'espace à trois axes rectangulaires des x, j, :;; et désignons par s, s', s", ... les faces d'un polyèdre quelconque. Soient d'ailleurs a, ^, y; a', (3', y'; a", fl'', y"; ... les angles que des perpendiculaires élevées sur les plans de ces faces, et prolongées en dehors du polyèdre, forment avec les demi-axes des coordonnées positives. Le produit ^cosa représentera évidemment la projection de la face s sur le plan des j, z perpendiculaire à l'axe des a.-, cette projection étant prise avec le signe -h ou avec le signe — , suivant que la face s sera située par rapport au polyèdre, du côté des x positives, ou du côté des x négatives. De même le produit ^cos[^ ou ^cosy représentera la projection de la face s sur le plan des z, x ou des X, y, prise avec le signe -+-, si la face s se trouve située, par rapport au polyèdre, du côté des y ou des z positives, et avec le signe — dans le cas contraire. Cela posé, si l'on nomma projections algébriques de la face s sur les plans coordonnés les trois produits ^cosa, 5cos(i, ^cosy, on établira sans peine les propositions suivantes :

Théorèmk \. — La somme des projections algébriques des faces dun polyèdre quelconque sur chacun des plans coordonnés se réduit à zéro.

Ce théorème, qui était déjà connu, se trouve renfermé dans les trois

équations

/ s cos a + s' cos a' -t- s" cos a" -f- . . . = o,

(i) < 5Cos,3 -i- 5' cos|3'-f-5" cos[3"-T-. . .=io,

( s cos y + s' cos-/' + s" cos y" + . . . = o.

Pour démontrer ces équations, quand le polyèdre est supposé convexe.

56 SUR QUELQUES PROPRIETES

il suffit d'observer que la projection de ce polyèdre sur le plan des j, z, par exemple, est tout à la fois équivalente à la somme des termes positifs du polynôme

( 2 ) S COS a + 5' cos oc' + s" cos «"-(-...,

et à la somme des termes négatifs pris en signe contraire. Donc ce polynôme aura toujours, dans l'hypothèse dont il s'agit, une valeur nulle. On doit en dire autant des deux polynômes

(3) .vcosp -f- .v' cos|3' + .s" cos|3"-h. . .,

( 4 ) .V cos y + s' cos y' H- s" cosy" + . . . .

Le théorème I étant ainsi démontré, dans le cas où le polyèdre est convexe, il est facile de reconnaître qu'il s'étend au cas même où cette condition ne serait pas remplie.

Théorème II. — Supposons que, après avoir projeté les différentes faces d'un polyèdre sur les plans coordonnés, on multiplie la projection algébrique de chaque face sur l'un de ces plans par l'une des coordonnées du centre de gravité de la face que l'on considère, puis, que l'on ajoute au produit ainsi formé tous les produits de même espèce. La somme qui en résultera sera équivalente au volume du polyèdre, si l'on a employé dans chaque multiplication la coordonnée perpendiculaire au plan sur lequel les différentes faces étaient projetées. Cette somme sera nulle dans le cas contraire.

Si l'on nomme v le volume du polyèdre, et i, y], 'C; ^', y)', 'C; T, '(]', l"; ... les coordonnées des centres de gravité des différentes faces, k théorème II sera renfermé dans les neuf équations

v; COS a -T- ■<•';' COS a' -t-. .

VT, cos a -f- s'r/ cosa'-f-. .

st COS a -f- .v'Ç' cos a'

.V ^ COS Jî -H s' ^' COS J3' -+- . .

■VTj cos fi H- s' t/ cos [i' -+- . .

s ^ COS ;3 -H .v' Ç' cos |3'

.V ; COS 7 -;- .v' ^ cos y' -+- • ■

.vTj COSY "*~ "'''î cosy' •+- • •

.v^cosY -f-.v'CcosY'

Pour démontrer la première des équations (5), projetons les différentes faces du polyèdre sur un plan perpendiculaire à l'axe des x, et qui soit situé tout entier, par rapport au polyèdre, du côté des x néga-