e'^^'t'- + 2 ces 775 v/2 4- e-^-V
452 y^gTtiy/^— 2 ces 775 v' 2 + e-'^n'^ î^-'V-
320 SUR QUELQUES PIlOPOSITIONS FONDAMENTALES
I Cf. — \
TTsinara 1
s'* 4(1 — COS27Ta)^
.V* p'iTiss/~i ( .,^ cos 2 715 v^2 + e-2"V^ — 4 cos 2 7ra(e^''v'- + e-'"*v'^) cos 7T.5 y/^ + 4 cos- 2 7:a Si, dans ces dernières formules, on fait évanouir .v, on en tirera
57T i ^— 7: I plu i ft — 'iTl 1 y,3TT| «— 3T:
(•20) ^^ ^.„ + ^^3 ^,„ ^,i„ + -33 ^371 e-3Tt '^" • • • 180
a» <?2"^— 2 cos2 7ra4-e--'^'^ (a + i)^ e-^'='+'' — 2 cos2-;rcz + e--'^'='^*^
T" 2 + cos2 7ra
- sin27:a.
3 (t — cos2 7:a)*
On peut encore déduire du théorème l deux propositions qui méritent d'être mentionnées, et que nous allons faire connaître.
TiiÉOKÈME ITI. — Si, en altrihuanl au modale r de la variable
z = ;-(cos/) 4- V — I sinyw)
des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que le produit
fiz)-f{-z)
devienne sensiblement égal à une constante déterminée j% quel que soi/ d'ailleurs l angle p, ou du moins de manière que la différence
reste toujours fiinie ou infiniment petite , et ne cesse d' être infiniment petite.
J)U CALCUL DES RÉSIDUS. 82t
en demeurant finie , que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de p, on aura
pourvu que, dans le premier membre de l'équation (124), on réduise le
résidu intégral
à sa valeur principale.
Démonstration, — Soit :? = ^, une racine quelconque de l'équation (3), Si l'on pose
on aura
dl -""''
et la formule (4i) de la page 173 du premier Volume (') donnera
De plus, comme le module de la variable / sera constamment égal au module de la variable z, il est clair que l'équation (12)) entraînera la suivante :
( R I ( U ) I II ) I ft I I U I ( 7Ï I
i0t^^(-7r) io)*-^(-7t^ (0)^^(-7:)
Si maintenant on fait converger le module K vers la limite :>d, on trouvera, en [)assant aux limites et supposant les résidus
réduits à leurs valeurs principales,
(') OEuvres de Cmicliy, S. II, T. VI, p. '17.
OEiwies de C. — s. n, t. VII. ■ 4'
322 SLJI QUELOIES PKOPOSITIONS FONDAMENTALES
et, par suite,
Comme on aura d'ailleurs, en vertu de l'hypothèse admise et du théorème J,
f(z.)-fi-z)\\__
on trouvera définitivement
ce qu'il s'agissait de démontrer.
Dans le cas particulier où la constante .f devient nulle, on obtient, à la place du théorème III, celui que nous allons énoncer.
ThkoiU':mk IY. — Si, en atljîhucuil au module r de la variable
z =. /•(cos/> + v/— I sinp)
des valeurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière (jue le pro- .duil (i2i>) devienne sensiblement égal à zéro, quel que soit d'ailleurs
l'angle p, ou au moins de manière que ce produit reste toujours fini ou infiniment petit, et ne cesse d'être infiniment petit, en demeurant fini, que
dans le voisinage de certaines valeurs particulières de p, on aura
pou/vu que, dans le second membre de f équation (l'io), on réduise le
résidu intégral
à sa valeur principale.
Corollaire. — Lorsque la fonction f(:-) est paire, c'est-à-dire, lors- ([u'elle ne change pas de valeur, tandis que la variable z change de signe, on a identiquement, quel que soitr.
Donc alors la valeur principale du résidu intégral
s'évanouit.
Exemple. — Si l'on prend
, ttcost:-
on obtiendra la formule
'r. cosîTc
z suit:-:;
qui subsiste efïectivement dans le cas où l'on réduit le résidu qu'elle renferme à sa valeur principale, mais peut devenir inexacte dans le cas contraire, ainsi que nous l'avons montré ci-dessus.
DES
FO^(;Tlo^s dune seule \ariai{le
