SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS, ETC

en demeurant finie , que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de l'angle p, on aura

w /(.x.)=rl</<illl...j.

pourvu que, dans le second membre de l'équation (2), on réduise le résidu intégral

ç{{fi^))) ^ X — z

à sa valeur principale.

Démonstration. — Pour déduire cette proposition du premier théorème de l'article précédent, il suffit de substituer à la fonction /(c), dans la formule (2) de la page 3o2, le rapport

et d'observer que, dans l'hypothèse admise, le produit

deviendra généralement égal à i, pour des valeurs infinies de r-. Cela posé, la formule citée se trouvera remplacée par la suivante

qui coïncide évidemment avec l'équation (2), Exemple. — Si l'on prend

la fonction

/(-)=/[/(cos/? + v--i S'»/')]

conservera une valeur finie, quand le module r sera un nombre infini-

ment grand pris dans la série

et cette valeur différera très peu de l'unité, à moins que l'angle/? ne devienne sensiblement égal à n= ^- Par suite, on trouvera ^ = 1, et l'équation (i>) donnera

3ti f

Dans le cas particulier où la constante ^ devient nulle, on obtient, à la place du théorème I, la proposition suivante :

Théorème II. — Si, en attribuant au module r de la variable

^ m /-(cos/» + V^— I sin/?) r'

des imleurs infiniment grandes, on peut les choisir de manière que la fonction f(z) devienne sensiblement égale à zéro, quel que soit d'ailleurs l angle p, ou du moins de manière que cette fonction reste toujours finie ou infiniment petite, et ne cesse d'être infiniment petite, en demeurant finie, que dans le voisinage de certaines valeurs particulières de /?, on aura

pourvu que, dans le second membre de l'équation (5), on réduise le résidu

intégral

à sa valeur principale.

Exemples. — Si l'on prend successivement pour /{-r) les quatre fonctions

on tirera de la formule (5)

sin^ *^ {X — 5)((sin5)) x \x — r. x^uj \x — a tt x' + :i7r

COSX v^ (J7 — ^) ((cos^))

37" 'Su

2X 2 \ ^ ^ y/ — I X -^-Tl y/ — I

-; r= —■ -\- 'iX

sinj7 X

71' — X- '\ 71- — X- 971^ — oC-

7r + 2J7y/— I - — 2j7y/ — 1/ \37:-t-2,ry/ — i Stî — 'ix^ ou, ce qui revient au même

(II

cos.r

— fi x^

r.---L\x- 971'' — ixx'' 207:"' — i\x

-H .^■'' 47r-4-d?^ 971- -ho?'' I 3 5