POS

:; sin et par suite

Cela posé, la formule (20) donnera

. cot-

cot - =i.r -h ^

\ T. T./ \ ir. aity

Tl'^X^ — I l^TX'^X- — I Q-n'^X'—l

Soit encore

ba sin

casin —;

((, h, c désignant trois constantes réelles ou imaginaires; et supposons

le module du rapport - égal ou inférieur à -» afin que la fonclion /(z)

conserve une valeur finie quand on attribue à z — a une valeur tri's peu différente de zéro. On aura sensiblement, pour de très grandes valeurs du module de ^,

dura

('ela posé, la formule (20) donnera

sin

ca? c \ a j

sin

ca'^

OU, ce qui revient au même,

cos — sin

c c ca X

'}.-h . h \/'2Tt(-i.T.-\-c)

COS sin

v/Tc(ir-+-r) c-«2-+-Tr(a^-.r2) i/ir.{-iTZ -h c) ca^-h-2T:{a^- .x^)

Ttb . bJTziiz — c) %tJ) . h \/-irA'ir. — c)

cos — sin — cos Sin

c c ca.r c c cn.r

. -h b \/i: (t.-^c) sin — COS— î^ — ^^

. iT.b b J -xTci-ir^ -{- r) sin ces

ca'--i- 7: (a^ — x'^)

ca'^-i-'2~{a'' — ./;-)

. T.b bvTZiTZ — c)

Sin — cos —^ —

Sin COS —

m2— T:(rt2— .r2)

cii- — 2 7:(rt-— .r-)

Si, pouj' lixer les idées, on prend b = i , c = 2, on tirera de l'équation (a4)

sin

.r- — rt^

cos

sin

V/2Tr(2 7l+ 2)

2 2ax

v/27r(27: + 2) 2«^-i-2 7:(a*— ^'-j ^^271(27: — 2) -ia-— 2r,{a'— x')

cos

v/'37r(37rH-2)

cos

s/'à-nCèTz' — 2)

sin

V'47r(47r + 2) 2«^+47r(«^— ^•-) ^'471(47: — 2) 2d-— Lsiz^a^— x'')

Si l'on prenait h = \, r = i, l'équation (24) se réduirait à la for-

mule (3o) do la page 139 du premier Volume ('). Mais, comme on aurait alors - = i > -, on ne pourrait plus compter sur l'exactitude de l'équation (24). Nous avons effectivement reconnu par un calcul numérique que la formule (3o) de la page iSq du premier Volume est inexacte.

Si, après avoir développé les deux membres de l'équation (24) suivant les puissances ascendantes de x, on égale entre eux les coefficients des puissances semblables, on obtiendra de nouvelles formules, savoir,

. Ttb 6 v/tt ( 71 -h c ) . 2T:b h 1/271(271 + 0 )

. , , c sin — ces — '^ — ^ c sm cos — ^^ ^^

smo oc c c c

sine c Tr(7iH-c) 271(271+0)

. Tïh bJ-Kir.—c) . inb bJiizi'iTt — c)

c sm — cos — - — ^ — c sin cos — ^

ce ce

(26) { Tih . b\/v:(v: -\- e) o.r.b . b\/2'K(2TC -i- e)

c cos — sm — - — ^ c cos sm — '^

b cos b b e c c c

sin^" c (^-p: ^ c)\/t:{tz -h c) (27T + c) v'2Tr(27: + c)

Tib . bJuin — c) 'î-.b . b v/2 71(271 — e)

ccos — sm — '^ — ^ — - — — ccos sin —

ce ce

puis, en posant b = x, c = ix, on en conclura

r Jnir.-^- 2x) v/37r(37: + 2^) ~\

I cos^ — ^^- co%- ^

os.r L 71(71 + 2*-) 37:(37r + 2^) J

[sjTiiT. —2X) J'iu{'iv: — 2X) n

cos - — ^ — ^ cos ^ 7:(7: — 2x) 37i(37r — 2J7) •••J'

sin\/7i(7r + J?) sinv^27r(27r + x)

sin

siny/7:(7r — x) sinv/27r(27r — x)

{r. — x)\Jv:{t^— x) {271 — oc)s/2v{2ti — x) (») OEuvres de Cauchy, S. II, T. VI, p. 17O.

Si l'on remplace, dans ces dernières, x par tt^t, elles donneront

COS7TJ7

LJJ7

cos - (i — 2a-y

cos ~ (i + '}.xY I 4- IX

cos

3r cos

cos — I J — - X

SIIITTX

■KX

sinTT (i — • xy {^-xy-

sin 7r(i + ,37)^ (H-.r)^

sin 27: I

sin 37: ( I

sin 2 71 I

sin 3 7: ( I -H -^

Enfin, si, après avoir développé les deux membres de l'équation (29^ ou (3o) suivant les puissances ascendantes de x, on égale entre eux les coefficients des puissances semblables, on obtiendra des formules qui pourront être réduites aux équations connues

I + ip -i- — , + ^ + • .