DES POLYÈDRES
tives. Soit x = a l'équation de ce dernier plan. La projection de la surface s sur le plan x = a sera représentée, au signe près, par le produit ^cosa, tandis que le volume compris entre cette surface et sa projection sera équivalent au produit
(6) 5(c — a)cosa
pris avec le signe -f- ou avec le signe —, suivant que la surface s sera située, par rapport au polyèdre, du côté des x positives, ou du côté des X négatives. Gela posé, pour obtenir le volume c, il suffira évidemment, si le polyèdre est convexe, de former les produits semblables à l'expression (G), puis d'ajouter, parmi ces produits : i" ceux qui seront positifs; 2° ceux qui seront négatifs, et de retrancher de la première somme la valeur numérique de la seconde, ce qui revient à réunir les deux sommes en laissant chaque produit affecté du signe qu'il présente. On aura donc
(7) .ç(^ — a)cosa + 5'(^'— a)cosa' + 5"(|"— a)cosa"4-. . .= c;
puis, on en conclura, en ayant égard à la première des formules (1),
(8) sl-^s'l' + s"'^'-^...= v.
On établira de la même manière, si le polyèdre est convexe, les deux équations
(9) STi + s'n' -\- s"r\" H- . . . = r,
(10) .v?4-VC'-i-^"r+.--=^c;
et l'on reconnaîtra ensuite que les équations (8), (9), (10) peuvent être facilement étendues au cas où il s'agit d'un polyèdre quelconque. Pour démontrer l'équation
(11) si cos.S 4- s'I' cos[3' + 5"4" cos(3" + . . .= o,
il suffit d'observer que le polyèdre, s'il est convexe, donnera pour projection sur le plan des x, z une surface telle qu'en multipliant l'abscisse du centre de gravité de cette surface par la somme des termes positifs
OEuvresdeC. — S.\\,i.^\\. ^
58 SLR QUELQUES PROPRIÉTÉS
ou par la somme des termes négatifs du polynôme (3), on reproduira la somme des termes correspondants à des cosinus positifs, ou la somme des termes correspondants à des cosinus négatifs dans le polynôme
Il est aisé d'en conclure que les deux dernières sommes seront égales, au signe près, comme les deux premières. Donc, en réunissant les deux dernières sommes avec les signes qui leur conviennent, on obtiendra zéro pour résultat, en sorte que la formule ([i) se trouvera vérifiée. Le même raisonnement s'applique en général à celles des formules (5) dont le second membre est nul, et peut être facilement étendu au cas même où le polyèdre proposé, cessant d'être convexe, présenterait des angles rentrants en nombre quelconque.
Aux propriétés des polyèdres, énoncées dans les théorèmes I et II, correspondent des propriétés analogues que présentent les polygones renfermés dans des plans, et que nous allons indiquer en peu de mots.
Considérons un polygone quelconque renfermé dans le plan des x, y,
et dont les côtés soient désignés par r, r, r", Nommons a, fl;
a', p'; a", |3"; ... les angles que forment, avec les demi-axes des coordonnées positives, des perpendiculaires élevées sur ces côtés, et prolongées en dehors du polygone. Soit enfin s la surface du polygone, et ^, Tp l', Y]'; l", ri"; ... les coordonnées des milieux des côtés r, r',
A-", On aura
(i3) /■cosa + /-'cosa'-h. .. = 0, r cos|3 + r' cos[3' + . . . = o,
et de plus
i r^cosoc^ r'^' cosa'-h. . . — s, /-y] cosa + /-'ri' cosa' + . . .= o,
\ /■|cos[3 + /-'4'cos(3' + ... = o, /•Yicos(3 4-r'Y)'cos(3'-+-...^5.
Si, pour plus de commodité, on nomme projections algébriques des côtés du polygone sur les axes des y etoo les produits
rcosa, r'cosa', r" cosa", ...
DES POLYEDRES. 59
et
/■cos(3, r'cos^', /•"cos{3", ...,
les équations (i3) et (i4) fourniront les théorèmes suivants dont le premier était déjà connu :
Théorème III. — Si l' oji projette sur l axe des x ou suri' aœc des y les divers côtés d'un polygone tracé dans le plan des x, r, la somme de leurs projections algébriques sera équivalente à zéro.
Théorème IV. — Supposons que, après avoir projeté sur l'axe des x ou sur l'axe des y les divers côtés d'un polygone renfermé dans le plan des x,y, on multiplie la projection algébrique de l'un de ces côtés par l'abscisse ou l'ordonnée du point qui le divise en deux parties égales, puis quon ajoute au produit ainsi formé tous les produits de même espèce. La somme qui en résultera sera équivalente à la surface du polygone, si l'on a employé dans chaque multiplication la coordonnée perpendiculaire à l'axe sur lequel on projetait les différents côtés. Elle sera nulle dans le cas contraire.
Lesgéomètres qui ont recherclié les équations d'équilibre ou de mouvement des lames ou des surfaces élastiques ou non élastiques ont distingué deux espèces de forces produites, les unes par la dilatation ou la contraction, les autres par la flexion de ces mêmes surfaces. De plus, ils ont généralement supposé, dans leurs calculs, que les forces de la première espèce, nommées tensions, restent perpendiculaires aux lignes contre lesquelles elles s'exercent. Il m'a semblé que ces deux espèces de forces pouvaient être réduites à une seule, qui doit constamment s'appeler tension ou pression, qui agit sur chaque élément d'une section faite à volonté, non seulement dans une surface flexible, mais encore dans un solide élastique ou non élastique, et qui est de la même nature que la pression hydrostatique exercée par un fluide en repos contre la surface extérieure d'un corps. Seulement la nouvelle pression ne demeure pas toujours perpendiculaire aux ftices qui lui sont soumises, ni la même dans tous les sens en un point donné. En développant cette idée, je suis parvenu à reconnaître que la pression outensrôn exercée contre un plan quelconque en un point donné d'un corps solide se déduit très aisément, tant en grandeur qu'en direction, des pressions ou tensions exercées contre trois plans rectangulaires menés par le même point. Cette proposition, que j'ai déjà indiquée dans le Bulletin de la Société philomat/iiq ne de janvier i823 ('), peut être établie à l'aide des considérations suivantes.
(1) OEuvres de Cauchy, S. II, T. H.
Si, dans un corps solide élastique ou non élastique, on vient à rendre rigide et invariable un petit élément de volume terminé par des faces quelconques, ce petit élément éprouvera sur ses différentes faces et en chaque point de chacune d'elles une pression ou tension déterminée. Cette pression ou tension sera semblable à la pression qu'un fluide exerce contre un élément de l'enveloppe d'un corps solide, avec cette seule différence que la pression exercée par un fluide en repos, contre la surface d'un corps solide, est dirigée perpendiculairement à cette surface de dehors en dedans, et indépendante en chaque point de l'inclinaison de la surface par rapport aux plans coordonnés, tandis que la pression ou tension exercée en un point donné d'un corps solide, contre un très petit élément de surface passant par ce point, peut être dirigée perpendiculairement ou obliquement à cette surface, tantôt de dehors en dedans, s'il y a condensation, tantôt de dedans en dehors, s'il y a dilatation, et peut dépendre de l'inclinaison de la surface par rapport aux plans dont il s'agit. Gela posé, soit v le volume d'une portion du corps devenue rigide, s, s', s\ ... les aires des surfaces planes ou courbes qui recouvrent le volume v; oc, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point pris au hasard dans la surface s; p la pression ou tension exercée en ce point contre la surface; a, [3, y les angles que la perpendiculaire à la surface forme avec les demi-axes des coordonnées positives; enfin X, ix, v les angles formés avec les mêmes demi-axes par la direction de la force/?. Si l'on projette sur les axes des x, y ei z les pressions ou tensions diverses auxquelles la surface sera soumise, les sommes de leurs projections algébriques sur ces trois axes seront représentées par les intégrales
( C I p cosl cos y dy djc^ (i) ' I I p cosi^cosy dy dx,
\ 1 1 p cos V cosy df dx^
tandis que les sommes des projections algébriques de leurs moments linéaires seront respectivement, si l'on prend pour centre des moments
aa DE LA PRESSION OU TENSION
l'origine des coordonnées,
1 f f Piy cosv — z cos/jl) cosy dy dx,
(2) \ f fp{z cosl ~j:^cosv) CQsy dy do-, \ r f p{x cosii— V cosl)cosy dy dx,
OU, si l'on transporte lo centre des moments au point qui a pour coordonnées ^0» ^'o' ^0»
1 r fpliy —y 0) cosv — {z — Zo)cosyL] cosy dydj::,
(3) '' f'l'p[{z -^Zo) cosl —{x — a:o) cosv] cosy dyda:, \ f fp[{J^ — ^0) ces fi. — ( r — Jo) cosA] cosy dydx.
Dansées diverses intégrales, les limites des intégrations relatives aux variables œ, y devront être déterminées d'après la forme du contour de la surface s^ de manière qu'on ait entre ces limites
(4) I I cosy dydx =zs.
Si la surface s devient plane, et le volume ç très petit, en sorte que chacune de ses dimensions soit considérée comme une quantité infiniment petite du premier ordre, alors les variations que les trois produits
(5) pCOSl, /?COSfJi, /9C0SV ^f
éprouveront, dans le passage d'un point à un autre de la surface s, seront encore infiniment petites du premier ordre; et, en négligeant les infiniment petits du troisième ordre dans les valeurs des intégrales (i), on réduira ces intégrales aux quantités
(6) ps cosl, ps COS^M, ps COSV.
Si d'ailleurs on fait coïncider le centre des moments avec un point du
volume ç', les intégrales (3) seront des quantités infiniment petites du troisième ordre, et il suffira de négliger, dans ces intégrales, les infiniment petits du quatrième ordre, pour qu'elles se réduisent aux produits
/ p.s[{n — Vo) cosv — (^ — -o) cosfx],
(7) < ps[{Z — zo)cosl — (c — j:o)cosy], ( ps[{^ — ^o)COSj:^— (n — 7o)cos>.],
^, y], 'C désignant les rapports
/ fa^ cos y cif dx j j y cosy dy dx / / ^ cos y dy dx
c'est-à-dire les coordonnées du centre de gravité de la surface s.
Soit maintenant m la masse infiniment petite comprise sous le volume ç'. Concevons en outre que la lettre (p représente la force accélératrice appliquée à cette masse, si le corps solide est en équilibre, et, dans le cas contraire, l'excès de la force accélératrice appliquée sur celle qui serait capable de produire le mouvement observé de la masse m. Enfin nommons X, Y, Z les projections algébriques de la force cp, et Hq, y]o, t^ '^s coordonnées du centre de gravité de la masse m. Si l'on suppose que la force accélératrice 9 reste la même en grandeur et en direction dans tous les points de la masse m, il devra y avoir équilibre entre la force motrice mcp appliquée au point (^o»^o.Co)» ^^ les forces auxquelles se réduisent les pressions ou tensions exercées sur les surfaces s, s', ... . Donc les sommes des projections algébriques de toutes ces forces et de leurs moments linéaires sur les axes des .r, y, z devront se réduire à zéro. Donc, si l'on se contente de placer un ou plusieurs accents à la suite des lettres/?, X, [x, v, ^, t], '(» comprises dans les expressions (G) et (7), pour indiquer les nouvelles valeurs que prennent ces expressions, quand on passe de la surface 5 à la surface s', ou s", ou s'", . . . , on trouvera, en négligeant, dans les sommes des forces projetées, les infiniment petits du troisième ordre, et dans les sommes des moments linéaires projetés, les infiniment petits du
(lO)
quatrième ordre,
/ ps cos >. + p's' cos >.'+... + m X = o,
(9) . ' ps cos [j.^ p's' cos ix' -h. . .-Jr rnY = 0,
\ pscosv -Jrf's' cosv' +. . .+ mZ =0;
/'•^[(^-- Vo)cosv — i^-z,) cos iJ.]+jy s' [{n'-j',)cos^y -(?'- -„) cos //']+.. .
+ '« [(-^0 - .Vo ) Z - ( Co - ~^o ) Y ] = o, ps[{:- zo)cosl -(ç-.ro)cosv]+yy,9'[(C'-^o)cos//-(;'-.ro)cosv']+...
H-m[(Co-~^o)X-(|o-.r„)Z]==o, ps[{l — ^0) cos iJ. — in ^Vo) cosl] -h p's' [il'- xo) cos ix' -{r/— y,) cosl']+.. .
