DO

7t /à Uv/i

3 2rt j „ 2rt

771'* Tr«- a

71 V 2 1 1 Tî v/2

sin — ^^ h \e "^^ — e ^" / cos — ^^

2 a 2 rt

2 COS — '^ \- e

\e"^+ e"^^/ sin ^^ 4- Ve^^- e""^ <7 2a

? " — 2 cos —^ h e "

cos

■Ks/li

et

gUa» j e-7ta' 4 giTta' 4- g

47ta' i r,— 47ra'

97ra- /a— 9Tia*

TT'' 2 a

Tïs/l

COS — \e

Sin

— — • TÏV/l

e " — 2 cos — ^^ h e

Il y/a H y/i)

7rv/3

la 2<7

. 7rv/3 sin — —

^ TTV/S -

e " — 2 cos --^ h e

Il est important de se rappeler qu'on n'a le droit de eompter sur l'exactitude des formules obtenues dans cet article et dans l'article précédent qu'autant que l'on suppose les résidus qu'elles comprennent réduits à leurs valeurs principales. Ainsi, en particulier, on doit, dans la formule (^o), considérer le résidu

((cou))

DES FONCTIONS D'UNE SEULE VARIABLE, ETC. 3i3

comme désignant la limite vers laquelle converge l'expression

tandis que le module R devient infiniment grand. De plus, comme toutes les racines de l'équation

col^

sont réelles, il est clair que la limite dont il s'agit coïncide avec celle vers laquelle converge le résidu

""" r°° ((cote))

tandis que le nombre N croît de plus en plus. Si à ce dernier résidu on substituait le suivant

^ ^- (( cot.^ ))

alors, en faisant croître indéfiniment les nombres M et N, on obtiendrait encore pour limite l'une des valeurs qui conviennent au résidu intégral. Mais cette valeur pourrait différer de cota?. Concevons, pour fixer les idées, que, n désignant un nombre entier aussi grand que l'on voudra, on suppose M compris entre les deux nombres niz, (n -h 1)71, et N entre les deux nombres 2/77:, (in + 1)7:. On trouvera, dans cette liypotbèse.

>"-j." ((cot^)) ^ 1

^ + 71 jc + 2 71 X -h nr.

. a; — 7T X — 2Tr x — nn œ — (« + 1)71 x — ^nr.

OU, ce qui revient au même,

< .,<^__ X — z X yn} — x^ 471^ — X- n^Tt- — x

\ \{n-\-i)Tz — X 2mi — X ^

3U SUn LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS, ETC. Or, si l'on observe que la somme

in

toujours comprise entre les deux quantités

Jr T.

doit se réduire avec elles, pour une valeur infinie de /?. au rapport

on reconnaîtra immédiatement que le second membre de l'équation (j(S) a pour limite, non plus la fonction cot.r, mais la différence

COt JC

i'sagh; du calcul des résidus