LA SOMMATION OU LA TRANSFORMATION DES SÉRIES
DONT LE TERME GÉNÉRAL EST UNE FONCTION PAIRE DU NOMBRE QLI REPRÉSENTE LE RANG DE CE TERME.
Dans le bel Ouvrage qui a pour titre Introduclion à r Analyse des infiniment petits, et dans le Tome II de ses Opuscules analytiques, Euler est parvenu, en développant certaines fonctions exponentielles ou circulaires, à des séries dignes de remarque, desquelles on déduit aisément d'autres séries du même genre que j'ai considérées dans un JMémoire présenté à l'Institut en i8i4 {voir le Tome 1 des Mémoires des Savants étrangers, p. 7G3 et 783) ('), et qui depuis ont été reproduites dans divers Ouvrages. Or il importe d'observer que, à l'aide du calcul des résidus, on peut, non seulement parvenir plus directement qu'on ne l'avait encore fait à la sommation des séries ci-dessus mentionnées, mais encore sommer ou transformer un grand nombre d'autres séries. C/est ce que je vais montrer dans cet article.
Lorsque dans une série le terme général est exprimé à l'aide du nombre n qui indique son rang, cette série est nécessairement de la forme
f{:-) désignant une fonction donnée de z. De plus, si la fonction f{z) est paire, c'est-à-dire si elle conserve la même valeur, tandis que la
(1) OEuvres de Cauchj, S. I, T. I, p. 43 1 el 453.
OF.uvres de C. — S. H, t. VU. 44
variable z change de signe, on aura identiquement
et, par conséquent, la série (i) pourra être présentée sous la forme
Enfin, comme les quantités
{ —I, —2, —3, —4, comprennent toutes les racines de l'équation
(5) sinTT^^io,
et que la fonction sin-:: a pour dérivée tcost:^, on trouvera, en admettant que la série (3) soit convergente,
<-^-^'*'((sin7r:;))'
ou du moins
p f(^) / /r.zcosT.zW (7) /•(0+/(2)+/(3) + ...-t-/(-0+/(-2)+/(-3)-t-...= ^:^(^(^-^j^^^^^jj.
Les deux équations qui précèdent peuvent servir l'une et l'autre à la sommation ou à la transformation de la série (i) ou (3). Mais la première suppose que /{z) conserve une valeur finie pour :; = o.
Si l'on désignait par/(^), non plus une fonction paire, mais une fonction quelconque de z, le binôme
serait une fonction paire de la même variable, et la somme de la série qui aurait pour terme général
ou bien
(,o) ' /<")+/<- iJ),
se déduirait encore de runo des formules (6) ou (7).
Supposons maintenant la fonction /(-) telle que, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement cboisies, du module /• de la variable z, l'un des produits
l'esté toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du quotient - • Concevons d'ailleurs que, pour satisfaire à ces conditions, il suffise d'attribuer au module r des valeurs infiniment grandes, qui dilTèrent sensiblement des termes d'une certaine série. On pourra remplir encore ces conditions, après avoir multiplié le produit (i i) ou (12) par le facteur
(lô)
et le théorème II de la page 3o5, ou le théorème IV de la page 3'2-2 donnera
En combinant l'équation (r/j) avec les formules (G) et (7), on obtiendra les suivantes
dont la première suppose que f(z) conserve une valeur finie pour z = o. Observons enfin que, dans les formules (i5) et (16), on peut, à l'expression
3i8 USAGE DU CALCUL DES RÉSIDUS
substituer l'expression équivalente
d] sin-:;
dz
11 s'agit à présent de constater l'utilité de ces formules pour la sommation ou la transformation des séries.
Concevons d'abord que la fonction /(z) se réduise à une fraction rationnelle. Si, dans cette fraction, le degré du dénominateur surpasse le degré du numérateur, le produit (ii), ou du moins le produit (12), remplira les conditions prescrites, et, par conséquent, la somme de la série (i) ou (3) sera déterminée par l'une des formules (i5), (i^)- Ainsi, par exemple, si l'on prend
m désignant un nombre entier quelconque, la formule (16) donnera
puis on en conclura, en posant t.z = t,
, s I I 1 ) ^ r dA sint i
r,jm 32W ^2m ••• •>. ' <^ dt ' [{t^'"))
Comme on aura d'ailleurs
on tirera de la formule (21)
2^im ' ^im ' iirn
\ OLp-+-'/-+-'--H... (i."2.3.../9)([.2.3...7)(i.2.3.../')... \i.2.3/ \ 1.2.3.'». 5/ \i.2.3.i.5.b.7/ ]
POUR LA SOMMATION DES SERIES. 3i9
le signe § indiquant une somme de termes semblables à celui qui est renfermé entre les parenthèses, et devant s'étendre à tous les systèmes de valeurs entières, nulles ou positives, de /?, </, r, ... qui vérifient la condition
De même, si l'on prend
la formule (lo) donnera
, ^, I 1 I p f/l siiiTT ~ r
( o5 I I -1 -I- \- -I- . . zm — )
puis, on en conclura, en posant 4--+- i = ^/,
, ^, III I (T.y"' p rn(i — siiu) I
(^6) i+ôiT, + -i7; + ;;i7;7+••
(]omme on aura d'ailleurs
l(i — sinO — Im ^ -i — ' 0 , ^ +. • ■
3Vi 1.2.3
on tirera de la formule (2G)
^^ 32/M ^^ 52//1 ^^ rjim
i /ry^'rir I i.2.3...(/? + 7 + /-+...) (i\"( ' YY ' \'' "1
l "'''Uy OL^^^-i-r4r... (i.2.3.../>)(i.2.3...^)(i.2.3...r)...Vr/ V i-^-V V .'î.3.4.5y' *"J
le signe § indiquant une somme de termes semblables à celui qui est renfermé entre les accolades, et devant s'étendre à toutes les valeurs entières, nulles ou positives, de/^ q, r, ... qui vérifient la condition
De plus, comme on a évidemment
r-illl
f.lni
on peut affirmer que les sommes indiquées par le signe ^ dans les équations (23) et (28) sont entre elles dans le rapport de 2-'"— i à l'unité. C'est ce que l'on vérifiera aisément dans les cas particuliers. On trouvera, par exemple.
Si l'on prenait pour valeur de /(-), non plus le rapport , ^ ' ,„;>
mais le rapport
alors, à la place de l'équation (28), on obtiendrait la formule
lïin^X ;"^2/«-(-l 2/«-t-l
2 //? -h I IT.
