I.2.3...(yO
le signe § devant s'étendre à toutes les valeuis entières, nulles ou positives, de />, r/, r, ... qui vérifient la condition
/^ + 3 7 + 5 /• + . . . -zz 2 /?? + I ,
Les formules (23) et (32), dont la première était déjà connue {inÀr le Volume I, page 349) ('), comprennent, comme cas particuliers, les équations (71) {ibidem), et les équations (ij) de la page 328.
(1) OEui'rcs de Cauchj, S. II. T. VI, p. 412.
Supposons encore que l'on prenne
s désignant une quantité réelle ou une expression imaginaire. I.a formule (i5) donnera
^ ^ ^ 1"' ~^ (5 + 1)'" "^ (s — iV" ~^ (S-+- 2 V" "^ (s — 2 Y" "^ • ■ ■ ~ ~ O
(5 + 1)"' (5 — 1)'« (5+2)'" (5 — 2)'" O ûf- (( (.s ^ -)/«))'
puis, on en conclura, en posant z = - ~ s,
s'" Cs + lY" (s — l)'" (.9+2)'" (5 — 2)"'
i p <^l sin(^ — TT.ç) I p r/ l(cos^ — cotTî.î sinO i
l ~ <^ cft {{t'")) ^^ ^ dt {{t'"}) '
Comme on aura d'ailleurs, pour des valeurs de/ peu différentes de zéro,
1 1(C0S/ — COtTT.Ç Smn == — - 001775 H COlTT.V — .
( - COt-5 -\ COlTÎS — .
on tirera de la formule (35)
I I.2.3...(/^ H- 7 + /■ -f-...) (Ç.0\-S\l'f I X*?/ COtTT^
le signe § devant être étendu à toutes les valeurs entières, nulles ou positives, de/?, q,r, ... qui vérifient l'équation (24). Si, pour fixer les idées, on réduit le nombre m à l'unité, la formule (37) donnera
/90\ Fil II
(,1(5) h- 1 1 1 ■ H-. . .= TTCOtTT.S.
Si, dans cette dernière, on remplace s par s\J — i, on trouvera
Les formules (38) et (39) coïncident avec les équations connues
— r -COlTT.V,
is e"^^
Concevons à présent que, f(r-) désignant une fraction rationnelle dans laquelle le degré du dénominateur surpasse le degré du numérateur, et a, h deux constantes positives dont la première soit la plus petite, on prenne successivement pour /(-) les fonctions
:=^za-)-
Alors les équations (i5) et (16) serviront à transformer les séries comprises dans leurs premiers membres. Ainsi, par exemple, si l'on prend
on tirera de la formule (t6)
oaz 4 g—az
^bz Q-bz I V-*)'
j2a! u /,— 2rt
p:[|'(') - r(- 0] + -^nnr^b [K^O - r(- 2)] +
IL" !i
TTV/-
h I ar. e " -\-e -cos
Si l'on suppose, en particulier, |'(c) — -, on trouvera
ces-
^.rtTT
I p.ia | p-
7^; cos
3 7t' 3jr«
-TT^sur-nu^'^'-zr
Si les produits (ii) et (12) ne remplissent, ni l'un ni l'autre, les conditions que nous avons indiquées, on ne pourra plus se servir des formules (i5) et (16) pour sommer ou transformer la série (i) ou (3); mais on parviendra souvent au même but à l'aide des nouvelles formules que nous allons établir.
Si, dans la formule (7), on remplace successivement /(s) parles
deux produits
f{z)coiiaz, f(z)sinaz,
a désignant une quantité positive, on obtiendra les équations
Soit d'ailleurs 'i/cr. celui des multiples de la circonférence 27: qui diffère le moins de la somme a + -, en sorte qu'on ait
/' désignant un nombre entier, et a une quantité positive ou négative, mais comprise entre les limites —t., -f-t:. On aura évidemment, poui' toutes les valeurs entières, positives ou négatives, de la variables,
(47) iï^.^y:.
( sina- cosTTx; m sin(a + 7r)5r= %\Ki{2kv.z -\- cf.z) ^=. sinas.
Par suite, les formules (44) et (45) pourront s'écrire comme il suit
(48) [/(i) +/(-!)] eosa + [/(a) +/(- .)] cos2« + . . .^ [^'^^ /'/7r£œsa£
(49) [/(O -/(-')] sina + [/(2) -/(- 2)] sm2a +. . .= f /(^) {i'^^^\
Supposons maintenant que l'un des produits (11), (12) remplisse les conditions précédemment indiquées. Il en sera de même, à plus forte
raison, de l'un des produits
et le théorème II de la page 3o5 ou le théorème IV de la page 322 donnera
En comhinant cette dernière formule avec l'équation (48), on en tirera
( [/(0 + /(-0] COS« +[/(->.) 4- /(-:?)] cos:>.a+... (53) \ r. r.z coiocz f / f{z)
\ n T.Z COiXZ II
11 est bon d'observer que les formules (32) et (53) subsistent dans le cas même où aucun des produits (11), (12) ne satisfait aux conditions énoncées, pourvu que ces conditions soient remplies par l'une des expressions (5o) et (5i).
Si l'on supposait la fonction /(:;) telle que, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module /• de la variable ^, l'un des produits
