II) -V

restât toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du quotient y on pourrait en

général affirmer que les mêmes conditions seraient remplies par l'un des produits

siriTT-:

2 siriTCx;

et le théorème II de la page 3o5 ou le théorème IV de la page 822 donnerait •

En combinant cette dernière formule avec l'équation (49), on en tirera ( [/(O - /(- 0] sina + [/(.)/(- 2)] sin2a +. . .

(■">8) ^ p 7: sina^

=-''ïïïïïïr((^(^)»-

Les formules (Sy) et (58) continuent de subsister, dans le cas même où aucun des produits (i i), (54) ne satisfait aux conditions énoncées, pourvu que ces conditions soient remplies par l'une des expressions (55), (5G).

Lorsqu'on substitue, dans les formules (53) et (58), la valeur de n tirée de l'équation (46), on en conclut

( [/(i)+/(-i)]cosa-[7('.0+/(-2)]cos2a+...

(•">9) \ __ p T.zco^a.z ( ( j\z) ' '

( [/(O - /(-')] sina - [/(2) - /(- 2)] sin2 a

(60) \ .^ r. sinac

Pour montrer l'utilité de ces diverses formules, concevons d'abord que /(^) désigne une fraction rationnelle. Si, dans cette fraction, la différence entre le degré du dénominateur et le degré du numérateur surpasse l'unité, ou bien encore, si, cette différence étant réduite à l'unité, la constante a n'est pas précisément égale à t., les expressions (5o), (55) rempliront les conditions prescrites et, par suite, les équations (53), (58) feront connaître les sommes des séries renfermées dans leurs premiers membres. Ces séries ne diffèrent pas de celles que nous avons considérées dans le Mémoire présenté à l'Institut en 1814 (voir les Mémoires présentés par divers savants et publiés en 1827,

p. 783) ('). Si, pour fixer les idées, on pose

.V désignant une quantité réelle ou une expression imaginaire, on tirera de l'équation (53)

cos a H- H 1 cos 2 a

f +( 5 + - — -9) COS 3 a

cosa.f I

,v 4- 3 .V — 3/ "^ ' " ' siriTT-v .s

et de l'équation (58)

i ( ■ — — I s'ina -+- ( ) sin^rr

) \ 5 H- 1 S — ^ / \s -h 'i s — -ij

I I \ . o Ttsina.v sin3a +...:=

.V 4- 3 s — 3/ ' " . sinTi.?

Les formules (Gi) et (G2) coïncident avec deux équations données par Euler, dans le tome II des Opuscules analytiques, et peuvent s'écrire comme il suit :

cos a c.os2« cos 3 a i r. cosa.ç

I — .v^ 4 — ^ 9 — s -.'.s- 2s smzs

sina 2sin2a 3sin3a tt sina.s

1 — S^ 4 — s- 9 — s- i Slll TTi-

Si l'on y remplace s par s\/— i, on en conclura

cos a cos 2 a cos3« r e^^ -\- e~'^-^ 1

i^.çî 4+^2 9+5^ 2.Î e"'^ — e-'^'' :'.-s'

sina ?.sin2a 3sin3a tt e*' — e "'*

(66) : 4- -7 ;- H ^ +...=: ;r- ri;.-

Lorsque, dans les quatre formules précédentes, on substitue la valeur

(•) OEuvres de Cauc/ij, S. I, T. F, p. 491 et 4y?..

de a tirée de l'équation (4^), on trouve

cosa cos2a cos3a tt cosa.ç i

sina 2sin2a 3sin3a 7: sina.ç

cosa C0S2a cosSa tî e^'-'-f-e-

sina asinaa 3sin3a

TT e^^ — e'

Ces dernières supposent que la constante a demeure comprise entre les limites — 7:, + û.

Lorsque, après avoir développé, suivant les puissances ascendantes àQs, les deux membres de l'équation (67) ou (68), on égale entre eux les coefficients des puissances semblables, on en tire

icos2a cos3a cos4a r."' i a-

w / . cosa a cos3a cos4a 771* t.- a' \ y'

sin2a sin3a sin4cf sm a — 1 r — • — - — ~

w'^) I . sin2a sin3a sin4a

sina

Les formules précédentes supposent encore que la valeur numérique de la constante a est inférieure à ::. On peut, au reste, les déduire immédiatement des équations (39) et (Go). En effet, si l'on pose, <lans l'équation (59),

et dans l'équation (60)

on trouvera, quel que soit le nombre entier m,

, „, cos2a cos3a cos4a pTrcosa^// i

(-3) cosa --t-^^ 4^^+-

^ 1 'iXWKZ W Z^'"

(74) sina — ' ■ ' ''

Il est d'ailleurs facile de s'assurer que le second membre de la formule (73) ou (74) équivaut à la somme qu'on obtient quand on ajoute les uns aux autres les m H- t premiers termes de la série

cosa

sma,

après les avoir respectivement multipliés par les t/z -h i premiers termes de la suite