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j)ris dans un ordre inverse. Or, dans la série (75), le deuxième terme et les suivants sont précisément les quantités qui forment les seconds membres des équations (i4) de la page 328.

Lorsque, /(-) désignant une fraction rationnelle, dans laquelle le degré du dénominateur surpasse d'une unité le degré du numérateur, la constante a devient précisément égale à tt, les produits (12) et (5i) remplissent les conditions ci-dessus indiquées; mais on ne petit plus en dire autant des produits (11) et (55), ni même des produits (54) et (y^^^, qui, pour des valeurs infinies de z, se réduisent généralement à une constante déterminée ê. Donc alors les formules (52), (53) et, par suite, les équations (61), (63), (65), (67), (69) continuent de subsister, mais les formules (57), (58), (62), (64), (S^^)^ (^*^)' (7") deviennent inexactes. Toutefois, il est aisé de voir comment ces dernières formules doivent être modifiées dans le cas dont il s'agit. Alors en effet, pour déterminer le résidu intégral compris dans le premier

membre de l'équation (57), il faudra recourir, non plus au théorème IV de la page 822, mais au théorème III des pages 820, 32 1, et l'on aura en conséquence

Il en résulte qu'on devra au second membre de la formule (58) ajouter le produit t:^, et au second membre de la formule (G2) le nombre t. ; ce qui suffira pour rendre ces seconds membres égaux aux deux premiers, c'est-à-dire à zéro. De même, à la place des formules (6S) et (70), on obtiendra deux équations identiques. Quant aux formules (G7) et ((39), si l'on y pose a = 7:, on retrouvera les équations (4<\)- Si l'on prenait pour /(:?), non plus une fraction rationnelle, mais l'une des expressions (40» ^^^ formules (Sq) et (Go) serviraient à la transformation des séries que renferment leurs premiers membres. Ainsi, par exemple, si l'on prend

f^nz g— az

I'(^) désignant une fonction rationnelle, et a, b deux constantes positives dont la première soit la plus petite, la formule (Go) donnera

=7. [r(0-|'(-')]sina- -- — ^[|'(2)-f(-2)]sin2a +-.

r.-j. T.OL ffr.\/^\ / ^V/— M 27ra ?7:a .•/ ^"V^— ' \ ,,/ -^"v/'

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Si l'on suppose en particulier |'(^) = -, on trouvera

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