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mo USAGE DU CALCUL DES RESIDUS
Dans les formules (76) et (77), on ne doit plus regarder les constantes a et « comme liées entre elles par l'équation (4^).
il arrive souvent que les séries, comprises dans les équations (iG), (59) et (60), sont transformées par ces équations en d'autres séries, dont les différents termes sont équivalents, au signe près, à ceux des premières. Alors les sommes des séries que l'on considère peuvent être évidemment déduites des équations elles-mêmes. C'est ce qui arrivera en particulier si, dans la formule (16), on pose
\'(z) désignant une fonction rationnelle de z-, qui s'évanouisse avec -• Dans ce cas, on se trouvera immédiatement ramené à l'équation (i i5) de la page 319. De même, si l'on pose, dans la formule (^9),
et dans la formule (60)
l'{z) désignant une fonction rationnelle quelconque de la variable z-, ol OL une quantité comprise entre les limites — r., 4- û, on en conclura
fAa p-'iOL
4 <^ {e'^-— e-'^^) ^[nr,z et
Si, pour fixer les idées, on prend
ïi-')=Z^r
m étant un nombre entier, on trouvera
•cosa —
■fWin — i pfK .
cos2a
et
sina
t/n-t-l ^2Tt ^—271
sinaa
71 p (e^" — e~'^^)&u\az f [ I
4 0(e't«e-Tt~)sin;-2 \^\^-4m+i
cos3(
34'«H-1 gSTl . g — 3U
siiiSa
Si l'on prend au contraire
on aura
(' e=^4-e-°' cosa e2a)g-2a ^cosaa
et
sina
2 cos(a5\/'-^) + e-°'-'v'2
3 cos3a
gXf \/2 — 2 cos (tt 5 v/2 ) + e-^-' v'^
i sin2a e-**— e"
I sin 3 a
Lorsque, dans les formules (80) et {Si), on pose successivement m = o, m = i, . . . , on en conclut
cosa
(84) ( ga+e-acosa e^a+e-
,37: ^>— "sîi
e" " — e- C0S2a e^"-+ e-^^ cos 3 oc
3 cos3a — ...=^
7ï*— Joa* 36o7r
OEufres de C. — S. M, t. VH.
et
î^^' — 6'""-°' sin?,a e^* — e~^* sinSa y}
sinot
(85) < ga g-a sina e^^ — e'"-^ ^\w?. oi <?■*«— e-^» sin 3a __a2(7r*— a*)
-su
Si, dans les mêmes formules, on remplaçait m par — m, on en tirerait, pour des valeurs de m positives et différentes de zéro,
^>a 4 e-a <j2a , ^-2a ^3a| g-3a ( 86) ' ' ^ „ cos y. — 2*'"+' -^- -^ cos 2 a + 3*'"^' -— 3. cos 3 a — ... == o,
ga g— a gîa^ e~^^
Les formules (78), (79) et suivantes comprennent, comme cas particuliers, les équations (93), (94), (93), (96), (97), (98), (99), (100), (101), (102), (ii5), (118), (119) et (120) de l'avant-dernier Article. Si la constante a, que l'on suppose renfermée entre les limites — û, + 7:, devenait précisément égale à l'une de ces limites, les formules (7^)' (79) "•^ pourraient plus subsister qu'autant que la ionction f(z.) s'évanouirait avec ^^ et alors la seconde de ces formules deviendrait identique, tandis que la première coïnciderait avec l'équation (ii5) de la page 319.
