QUI A POUR TITRE

NOVA METHODUS FRACTIONES QUASCUMQUE RATIONALES IN FRACTIONES SIMPLICES RESOLVENDI.

On trouve, dans les Acta Academiœ Petropolilanœ pour l'année nSo, un Mémoire d'EuIer qui a pour titre : Nom Methodiis fractiones quascumqiie rationales in fractiones simplices resolvendi. Ce Mémoire, dont je n'avais pas connaissance à l'époque où j'établissais les bases du calcul des résidus, a des rapports assez directs avec ce même calcul pour qu'il soit convenable de les signaler. Le procédé que l'auteur emploie pour déduire d'une fraction rationnelle f{z) = ^, dans laquelle P, Q désignent deux fonctions entières de la variable z, les fractions simples correspondantes à un diviseur linéaire z — aA& la fonction Q, consiste à faire croître la valeur a de z d'une quantité infiniment petite co, puis à développer la fraction -^ suivant les puissances ascendantes de co, en posant z = a ^ bi, et enfin à cbercher, dans le développement obtenu, les termes qui deviennent infinis pour w = o, c'est-à-dire ceux qui renferment des puissances négatives de z — a. Il en résulte que, dans le cas particulier où la fonction Q est une seule fois divisible par le facteur z — a, la fraction simple qui se rapporte à ce facteur, et se présente sous la forme -^— , a pour numérateur le coefficient de ~ dans le développement de f{a -^ oj), ou ce que j'ai nommé le résidu ^^ /{-•) relatif -A z=a. Il serait aisé d'en conclure que la fraction simple -~r^' c'est-à-dire la partie de f{z) correspondante au fac-