SUR UN MÉMOIRE D'EULER

teiir z — a, est précisément le résidu de ^~^- relatif à la valeur a de

la variable //, ou, ce qui revient au même, le coefficient de - dans le

développement du rapport

suivant les puissances ascendantes de w. Mais Euler n'a point énoncé cette proposition, comprise dans la formule (5) de la page 326, et qui, s'étendant au cas même où la fonction Q devient divisible par une puissance entière quelconque de z — a, fournit, pour la décomposition de jr en fractions simples, une règle uniforme, également applicable, quelle que soit la nature des racines, réelles ou imaginaires, égales ou inégales, de l'équation Q = o.

L'illustre géomètre que je viens de citer observe encore que le procédé dont il a fait usage peut être employé à la décomposition des fonctions transcendantes en fractions rationnelles. Mais les huit dernières pages du Mémoire, qui sont relatives à cet objet, offrent seulement un exemple de cette décomposition, et n'indiquent pas les conditions auxquelles les fonctions transcendantes doivent satisfaire pour que le procédé dont il s'agit leur soit applicable. Au reste, on concevra facilement comment il a pu arriver qu'Euler, dans son Mémoire, n'ait rien dit à ce sujet. Car la recherche des conditions dont nous venons de parler, et des propositions fondamentales qui s'y rattachent dans le calcul des résidus, exige la connaissance des relations qui existent entre les résidus des fonctions et les intégrales définies. Par conséquent eiré suppose {voir le F' Volume des Exercices, pages gS et suiv.) (') la détermination de la différence entre les deux valeurs que peut prendre une intégrale double suivant l'ordre dans lequel on effectue les intégrations. Or cette différence a été signalée et calculée pour la première fois, à l'aide de la théorie des intégrales définies singulières, dans le Mémoire que j'ai présenté à l'Institut le 22 août 1814, et que l'on trouve

(») Œuvres de Cauchj, S. II, T. VI, p. 124 et suiv.