SÉRIES COMPOSÉES DE FONCTIONS DE MÊME ESPÈCE
Soit
une fonction qui renferme, avec les variables indépendantes oc, y, . . . , une autre variable à laquelle on attribue successivement : i*' une certaine valeur représentée par s; 2° d'autres valeurs r^, /.., r.;, ... respectivement égales aux diverses racines d'une équation trïinscendante. On pourra, dans un grand noml)re de cas, développer la fonction de a-, y, ... désignée par
en une série dont les différents termes soient respectivement proportionnels aux fonctions de même espèce désignées par
(3) f(^, 7, .. ,,/-,), i'ia.;y, ...,r,), f{a^,f,...,r:,), ...;
c'est-à-dire que l'on pourra choisir les coefficients R,, R., K;,, ... de manière à vérifier l'équation
(4) H^,y, ...,s) = Rii'{a:,y, . . ., /"i) -4- R2 f(^,7, . . ., /•.) +• • • •
Souvent, en effet, on y parviendra, en suivant la méthode que nous allons indiquer.
Supposons qu'aucune des fonctions (3) ne devienne infinie, et soit
l'équation transcendante à laquelle appartiennent les racines /■, , /.,
Si cette équation n'a pas de racines égales, il suffira, pour déterminer convenablement les coefficients R,, R,, ..., de trouver une nouvelle fonction o(r), qui reste finie quand ou attribue à la variable /• l'une des valeurs r,, r^, . . . , et (fui satisfasse à la formule
Kn effet, cette fonction étant trouvée, la formule (6) donnera
(7) fC^, y,..;s) = |i^j f(x, r, . ..,,-,) + ||^ ïi^,y, . ..,,,)+..., et, par conséquent, on vérifiera l'équation (5) en prenant
^^^ ^^'-vvry ^'-F'wr ^^^-¥'wy ""
D'ailleurs, comme on a identiquement
(9) f(.,,,...,.,= rîlii2^,
la formule (6) pourra être réduite à
et l'on tirera de cette dernière, en admettant que ^(r) conserve une valeur finie pour r = s,
Posons maintenant
on en conclura
(.3) ,(,.) = ^i^^liil.
Or, pour que la valeur précédente de o(r) ne devienne pas infinie en vertu de la supposition r = s, il faudra que l'on ait
(i4) F{s) = xis).
On trouvera par suite
puis, en faisant, pour abréger, on obtiendra la formule
(.6) ,(,, = Ei:l^),K,.),
dans laquelle 'J>(r) désignera une fonction qui devra, ainsi que ^{r), conserver une valeur finie, non seulement pour r = s, mais encore
pour chacune des valeurs de r représentées par r^, r.,,
Concevons à présent que l'on substitue dans la formule (i i) la valeur de cp(r) donnée par l'équation (i6). La formule (i i) deviendra
OU, ce qui revient au même,
(•^) ï^^-^) <t(((,--.)F(,-))) "" i-" PVT)^ " '
et il ne restera plus qu'à choisir la fonction '|(>) de manière à vérifier l'équation (17) ou (i 8). Or, dans le premier membre de l'équation (18), le second terme disparaîtra évidemment si l'on suppose
De plus, si la fonction f(x, y, .. . , r) conserve une valeur finie pour toutes les valeurs finies de r, on aura identiquement
P fix,y, ...,/■) p fff{.x, y, ...,/•)
Enfin, si l'on représente par p le module de la variable r, et si l'on suppose que le rapport
devienne généralement nul, pour des valeurs infinies de p convenablement choisies, on pourra en dire autant du produit
et l'on conclura du théorème II de la page 3o5 que la valeur principale du résidu intégral
s'évanouit. Ajoutons que cette valeur principale s'évanouira encore en vertu du théorème cité, si, pour des valeurs infinies de p convenablement choisies, le rapport (ii) est toujours fini ou infiniment petit,
quel que soit le quotient -? et fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières de l'angle t déterminé par l'équation
(24) /■ = p(cosr -h y/— I sinr).
Donc, si ces conditions sont remplies, le premier terme de la formule (i8) sera égal à zéro, et l'on vérifiera l'équation (6) en prenant
D'ailleurs la valeur de r, désignée par s, est entièrement arbitraire,
OEiwrcs de C. — S. II. t. VII. 47
et peut être considérée comme une nouvelle variable. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème I. — Soient
une fojic lion des i^ariables indépendantes ce, y, . . . , r, qui demeure finie pour toutes les valeurs finies de r, et s une autre variable indépendante de r. Si, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module p de la variable r, le rapport
(oi) H^,.r, ■■■,'■)
reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage de certaines imleurs particulières du quotient -j on aura
I a\ V, \ p F(r) — F(5) f(,r, y, . . ., /•) (26) \ix, r, . . ., ^) — S — ^-^ i— ^ -y ! — Z,
ou, ce qui revient au même,
pourvu que l'on réduise le iTsidu intégral, compris dans le second membre de l'équation (26) ou (-l'j), à sa valeur principale.
Corollaire I. — Il est important d'observer que le théorème précédent ne doit pas être restreint au cas où les racines de l'équatioii (5) sont inégales. Ajoutons que l'on peut déduire immédiatement l'équation (27) de la formule (5) de la page S'iG, en substituant, dans cette formule, la lettre * à la lettre x, et posant d'ailleurs
Corollaire II. — Souvent, pour que les conditions énoncées dans le théorème I puissent être remplies, il est nécessaire de supposer les
variables x, y, ... comprises entre certaines limites. Alors on n'est en droit de considérer la formule (26) comme exacte qu'autant que l'on attribue aux variables x, y, ... des valeurs renfermées entre les limites
dont il s'agit.
Corollaire III. — Gomme on a identiquement
il est clair que l'équation (26) peut être présentée sous la forme
Si, dans l'équation (2()), on remplace successivement f(r,y, . . . , r)
par les trois fonctions
e''^, cosrx, sinro?,
on obtiendra, au lieu du premier théorème, ceux que nous allons énoncer.
Théorème II. — Soient r, s, x trois variables indépendantes, et F(r) une fonction donnée de r. Si, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module p de la variable r, le rapport
reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du quotient - , on aura
ou, ce qui revient au même.
372 MÉTHODE POUR DÉVELOPPER DES FONCTIOiXS
pourvu que l'on réduise le résidu intégral, compris dans le second membre de l'équation (3i)om(32), à sa valeur principale.
Corollaire. — En combinant l'équation (3i) avec la formule (28), on en conclut
e'-^ f Y'\r + l{s~r)']dk
Exemples. — Supposons
a désignant une constante positive. Alors, l'équation (5) étant réduite à
les racines de cette équation seront respectivement
(36) „, ±^v'=^, ±^V/=T' ±ÏV^' ■•■>
et elles auront pour modules les différents termes de la série
Cela posé, si l'on attribue au module p de la variable r une valeur infiniment grande, prise dans la série
7r Stt Stt 771 a a a a
et à la variable x une valeur positive, renfermée entre les limites o, a, le rapport (3o), réduit à la forme
sera toujours fini ou infiniment petit, et ne cessera d'être infiniment
petit, en conservant une valeur finie, que dans le cas où le quotient -
différera très peu de ±v/— i. On aura donc, en vertu de l'équation (32), pour des valeurs de x renfermées entre les limites x = o, œ = a.
ou, ce qui revient au même.
I as cos 2Trsin a^cos — 47:sin^^
^ ' ^ ^\2as 47:2 -^«^5^ ^ i6Ti'--^a\s'
L'équation (4i) pourrait être aisément déduite des formules (65) et (66) de la page 356.
Supposons encore
F(/-) =ze«''— 2cos6r + e-"^'',
a, 6 désignant deux constantes positives, et faisons, pour plus de commodité,
(43) c =zJa^-i- b^ 0 = arctanff--
L'équation (5) deviendra
(44) e**'" — 2 cos 6r + e-'^' ■= o,
puis on en tirera, en désignant par n un nombre entier quelconque,
aztbJ—i
(cos 9 rp y/— i sin 9) y/^
Donc les racines de l'équation (44) auront pour modules les différents
374 METHODE POUR DÉVELOPPER DES FONCTIONS termes de la série
Cela posé, il est facile de reconnaître que, si l'on attribue au module p de la variable r une valeur infiniment grande prise dans la série
, 71 Stt Sti 771
et à la variable x une valeur positive renfermée entre les limites o, a, le rapport
restera infiniment petit, quel que soit d'ailleurs le quotient-. Donc, en vertu de l'équation (32), on aura, pour des valeurs de x renfermées entre les limites œ = o, x = a,
(49) e'^z:^ {e'''— 2C0S bs ^e-''')0—^
s — /• (( €"■'' — 2 cos br +- e~'^''))
OU, ce qui revient au même.
e"" — 2 cos bs + e~
I + sec
~ {a^-hb'-)s'-
/ Xr.\ J n-\ -i OUI j^zzz
('^o); b~asl—
[2mT.r imz.r ~|
2nri—{b — a sj^^i)s 2/17: + ( b — a \/^^)s}
2/i7î — {b -h a\J—i)s ^rni + {b -\- «\/— O'^J
„ = i 2 sm
le signe § s'étendant à toutes les valeurs entières et positives de //. Si l'on fait maintenant /> — «, on trouvera, pour toutes les valeurs
(le ce renfermées entre les limites h et a.
€"■" — 2cosa5 -i-e"
^'^l*' „ = , ^^""~ ^"'''') V^-^ La/iTT - (i — sj—ij^s 2nr. — (i + v/^)a5j
^^^ (e«7t g-«;r')^— [2«7r-H (n-\/'"i)a5- 2 n-K + {i — \l—i) as \'
ou, ce qui revient au même,
(.as — 2 cosa^ 4- e"
I +SX
laP's^ e^
«.s TT^ / as\ . Tiœ as tzx [ as\ . tzx
- cos TT sin — n.r — cos t: H sm — u,»
7t- — rcas -\ — a^s^
TT^-f- 7ra5 H — a^s^
«5 27: X / as\ . 27LX as 271 X I as\ . 2TIX
— cos 2TU sin 2ir.r —cos 27:h — sm^ sm-
2^7:- + 2 7ra5+ - a^ç^
Si l'on prenait, au contraire, /> = -c = - y^" H- ^", on trouverait
gai — 2 COS — ^ + e~"^
3 I + SX
! rt /> 2 CI
î';^' /zi
«=:! . {i^^^\/—i)nr.\ 2/i7r —
2 sm
as I as I
— + a.ç V — I 2 /î Tï H — -z — «5 V ~- 1 v/3 v/3
n TC .r v^3 3 /» TC .r ,-— »7t.»V3 SfiTt.r ^
%(i p ïa
(i — 3y— ijn7r\ in-K — —
is , — as
2 Sin \ ^/3 ^3 \
ou, ce qui revient au même,
as
Stt^ as . 37r.r
71 cos 1 sin
la ±
as a^s-
«.s „, 4 a-s'^ itv/3 'îv'â'i / a5 \ Stt^ as . Stu^t
(5 j) ( / / a.<i \ . 37r.r «5 3Tr,r
2 71—- — ;= Sin COS . . /-
Tïv^ g-7rv/3\ / as \ . 3tï.x as Sttj"
