T^ Sin cos
2^/3 j a 2 a '^Wsl
ai' a-5''
En développant les deux membres de chacune des équations qui précèdent suivant les puissances ascendantes de œ, et comparant ensuite les coefficients des puissances semblables, on obtiendrait de nouvelles équations dignes de remarque, parmi lesquelles se trouvent comprises les formules (Sy), (38), (3g) des pages 337 et 338. Supposons enfin
( 55 ) F ( /•) =^ e«''' — 2 cos br- -\- e-""'' ,
a, h désignant toujours deux constantes positives. L'équation (5) deviendra
( 56 ) e'^'''' — 2 cos hr^ 4- e""'' = o ;
puis on en tirera, en adoptant les notations (43), et désignant par n un nombre entier quelconque,
±2n'K\J — I , 2/4 71/ fl / . /j\ / — 7
(5t) !•''= ^-^=^r=z-± (cos0=:v^ — I sin 9; y/ -I
ou, ce qui revient au même,
(58) r'='î^-'^[cos(9^|):pv/=7sin(9^^)].
On trouvera par suite
(59) '•^±{~~y [cos(^ ^ ^) + v/=^ ^i"(^ ^ ^)]-
Donc les racines de l'équation (56) auront pour modules les différents termes de la série
o- if)' (^)> m- ••••
Cela posé, il est facile de reconnaître que, si l'on attribue au module o de la variable r une valeur infiniment grande prise dans la série
Uv
le rapport
grx
çrx
— 2 cos^r'
sera toujours infiniment petit, quelles que soient les valeurs du quotient - et de la variable x. Donc, en vertu de la formule (32), on aura,
pour toutes les valeurs possibles de x,
( 63 ) e'^ = ( e«^' — 2 cos bs^ -h e~'''' ) /
^ s — r (( e«'- — 2 cos br'^ + e-«'' ))
Si maintenant on effectue les opérations indiquées par le signe ^, l'équation (63) offrira le développement de l'exponentielle e^-^ en une série d'exponentielles de même forme, dans lesquelles la variable x aura pour coefficients, non plus la quantité s, mais les diverses racines de l'équation {^(S). Si l'on fait en particulier b = a, l'équation (56) se trouvera réduite à
( 64 ) e^''' — 2 cos ar- + e-"'' =. o, puis, en posant, pour abréger,
OF.uvres de C. — S. I!, t. VU. 4^
on tirera de la formule (63)
g,Sj
grt»= o, cosa.s^+ e-«*'
I / SX s^x^ s^j-^
9, rt-.V* \ I 1.2 [ .2.6
^ N ,r (cos J + ,/i sin f ) ^N .r (cos f - ^-l .in f )
^-.N.r (cos J -Hv-i Ma f ) ^-N.r(cos J - y'^sin ^)
.îe""^ '+NJv/— I
"""^ -N.(sin |-,^.oo.f ) ->•..(.,. ^v/=leos^)
TV
^N,r(s..>-^-V-lcos-) N,,.(^sn. -+v'-lcos-;
:<? «'' '+Nv/-
.se« '' ' - N \/- r
ou, ce qui revient au même,
e«*"'— 2 COS «5* 4- e
2 i a— as*
'irt'^.ç*
.V sin ( ^ + Nx sin g j - N sin (^N j: siii g^ ^^ ^.^^^ „
.V2 25NCOS-5 + W o
.V sin U^ - No: sin ^ - N sin No.- sin'- ) ^. ^.^^^ n
fTt
.v^+ 2.vN cos ô +N^
.vcosi 5 H-Nxcosl') — Nsin(N.37COS-5
.ç-+2.çNsin3 H-N^
.ÎCOS
^-N^cos|)-Nsin(Na;cos|) ,^.^,^„^
.v- — 2,çN sin 3 -i- N-
Il importe d'observer qu'il n'est pas permis d'attribuer aux constantes a et b, dans la formule (63), des valeurs nulles, mais seulement des valeurs très petites. Si l'une de ces constantes s'évanouissait, si l'on supposait, par exemple, /> = o, le résidu intégral, compris dans la formule dont il s'agit, aurait une valeur principale indéterminée, et la série des résidus partiels qui le composent deviendrait divergente. Alors aussi les conditions énoncées dans le théorème II ne pourraient plus être remplies; et le rapport (62) deviendrait infini, lorsqu'on attribuerait au module p de la variable r une valeur infiniment grande, et à l'angle t, déterminé par- l'équation (24), l'une des deux valeurs
— 7? H- 7? ou 1 une des deux valeurs r^ H — r-
Théorème III. — Soient r, s, x trois variables indépendantes, et F(r)
une fonction donnée de r. Si, pour des valeurs infiniment grandes, mais
convenablement choisies, du module p de la variable r, le rapport
reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du quotient -, on aura
,,. , P F(/') — F(.v) cos/-^
ou, ce qui revient au même,
cos/',r
(70) cos.sx=i F(.y) i — //■-/ x\x'
pourvu que ion réduise le résidu intégral compris dans le second membre de l'équation (69) ou (70) à sa valeur principale .
Corollaire. — Kn combinant l'équation (69) avec la formule (28), on en conclut
cos/-^ f Y'[r -{-!{$ — r)']dl
Exemples. — Supposons d'abord (72) F(/-) = sina/-.
a désignant uiifi quantité positive. Alors, si l'on attribue au module p de la variable r une valeur infiniment grande, prise dans la série
. o\ TT StT StT 77:
la ia la la
et à la variable x une valeur réelle renfermée entre les limites — a, -i-a, le rapport (68), réduit à la forme
sera toujours fini ou infiniment petit, et ne cessera d'être infiniment
petit, en demeurant fini, que dans le cas où le quotient - différera
très peu de i i. On aura donc, en* vertu de l'équation (70), pour des valeurs de x renfermées entre les limites x = —a, x = a,
, ^. pi COS/'^
^ <~^ s — r ((sma/-))
ou, ce qui revient au même,
/ Tza; iTzx Zt:x \
I cos — cos cos \
, n^ -Il ^ « «
(76) cossx = 2assinas\ —^-5 + — - — j— —; h -— —■■ ■
Si l'on prenait, au contraire,
(77) F(/-) rrrCOSa/-,
on trouverait, entre les limites x = o, x = a,
r. i cosrx
(78) cos, SX 7^ cos as f
<^s — /• ((cosa/')) ou, ce qui revient au même,
(Tix „ 3 71.3; „ Stt.i' \
cos — 3 cos ocos \
71^ — 4 a^S^ 9 71'' — 4 « •« 20 TT- — 4 « '^ /
Supposons encore (80) F(/') r= sina/- 4- /-cosa/-,
fl désignant toujours une constante positive. Alors, si l'on attribue au
module p de la variable r une valeur infiniment grande, mais sensiblement distincte de celle que fournit l'équation
( 8 1 ) sin ar h- /• cos ar i= o,
et, à la variable x, une valeur réelle renfermée entre les limites —a, + a, le rapport (68), réduit à
sina/' -h /cosar
sera toujours fini ou infiniment petit, et ne cessera d'être infiniment
petit, en demeurant fini, que dans le cas où le quotient - différera très
peu de ± I. On aura donc, en vertu de la formule (70), pour des valeurs de X comprises entre les limites x ^= — a, x ^=a.
