X COS
«7: + -as- \\e
-N.r cos 1 . / - ^ . ,.
e * / sin NxsinK
•i n} Ti} -\- 1 HT. asP- -\- d^s*
la valeur de N étant toujours déterminée par l'équation ((35). Lorsque, dans la. formule (88), on pose as'- = 2tï, on en conclut
cossx =z I
Nrsin- -.N.rsin- \ / t: \ \
e " + e " / cos N.rcos
1 n — \ / Nxsin- -N.rsin \ . / 7: \
(80) y « = » } -^ -} zw ^<? -- e Vsm N.37COS3
N.fCos— — N'rco
*/ cosf Nj7 sin ^
la valeur de N étant déterminée par l'équation
Théorème IV. — Soient j\ s, x trois variables indépendantes, et F(/ ) une fonction donnée de r. Si, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module p de la imriable r, le rapport
, ^ sin/' a:
(90 Yïn
reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du rapport -•> on aura
pF(r) — F(5) ?>\nrx vy ^ i^ ,.-s ((t (/•)))
ou, ce qui revient au même,
(93 ) ?,\nsx=zV{s) ) — — ,, ,., , ,, )
pourvu (pie ion réduise le résidu intégral, compris dans le second membre de l'équation (92) ou (93), à sa valeur principale.
Corollaire. — En combinant l'équation (92) avec la formule (28), on en conclut
sinrx I F'[r + l{s — r)]dl
(94) sin5^ = ^r {{¥{r)))
Exemples. — Supposons d'abord
F(r) = sinar,
a désignant une constante positive. On tirera de la formule (93), pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites x = 0, x == a,
/ rx • r ^ sinr^
^^ ^ <^ s— r ((sma/-))
ou, ce qui revient au même,
/ . TZX . IT^X „ . ?)T:X \
I sin — 2 sin 3sin \
Si l'on prenait au contraire
F(r)=:cosrtr,
on trouverait, entre les limites ^ = o, x = a,
c I sin/-jr
^^^ ' ^ s — r ((cosar))
ou, ce qui revient au même, ,
/ . TZX . 371.37 . 571.2? \
/ Sin — sm sin \
. \ ia la ia \
(95) sin5.3? = oa^cosa^y -5 — ,—5—- — 5 -, — ^ +
Il est bon d'observer qu'on pourrait déduire l'équation (96) de la formule (76) et l'équation (98) de la formule (79), à l'aide d'une différentiation et d'une intégration relatives à la variable x. Supposons encore
Y{r) =: %\\\ar + /cosar.
On trouvera, entre les limites x = — a, x =^ a,
, , . , . s p I sinr^
(qq) sin^^ r= (sinas 4- 5C0Sa^) ^ rr--
^ *^« — /• ((sina/- H- /'cosa/'
OU, ce qui revient au même,
(loo) sin5x = (sina5 -}-5C0sa5) V
sinro?
(.s- — /■)[(«-!-/•) cosrtr — ar sina/-]
la somme que le signe § indique devant être étendue à toutes les valeurs de r qui vérifient l'équation (8i). Supposons enfin
Y {r) z=. e"^' ~ 2 cos br^ + g-*"',
a et h désignant deux constantes positives, qui soient l'une et l'autre différentes de zéro. On trouvera, pour toutes les valeurs possibles de la variable x.
(loi) sin5^ = (e«** — 2 cosô^^h- e-«*') X - —
sin.ç^
s — r (( e«'' — 2 cos br'^ + e-«' ))
Si l'on fait en particulier h = «, on tirera de la formule (loi)
Sm5J7
,as'- — 2 COS as^ -r- e~^^'
e ** sin
N^ ( cos -^ + v/— I sin
e^ sin
(— i)«Na,sv/2
a.9- — ( 2 /tTT — as^ ) V — I N.x' ( cos ^ — y/— I sin ^
as^ 4- ( 2 « 71 — a5^ ) s/ — I
-ïv^=^ • Tv / • ^ / — ^M
? * Sin jN^I smTT — v/— I (îos^ 1
2 /i 71 + a5^ — a*^ sj — I ?^* sin N:r ( sin ^ 4- V^~" ' cos^ j
\ 2/171 -\- as^-\- as- \/ — 1
la valeur de N étant déterminée par l'équation (65). Lorsque, dans la
OF.wres de C. — S. II, t. VU. 49
t'ormule (102), on pose «*-= 27:, on en conclut
(io3)
2/iT:s{e"
(-0«Nv/3
e " sin
Nx( cos^4- v/— I sin-j
N^ ( cos ^ — s] — I siii ^
** sin N^lsin^r — y/— icos-j
sin N j? ( sin -^ h- y/— i cos -^ )
ou, ce qui revient au nièine,
sin^j;
cos^ + (« — i) sin-^ , . ,.
8 8/ Nxsiii-
(e«7t e-/t7tj
\' sin ( N.r cos ^- 1
— e V cos N.r cos -j
Sin TT- -t- (/i + j) COS- / •": V "î^N /
\e * + e * / SHi I N x sin ^
7t . TT
COS -„- — (« 4- i) Sin o ,- „ TC V T^'v
8 ^ ^ 8/ N.rcos- ^.\.,cos- / . 7: \ i
COS N j:^sin ^ I
la valeur de N étant déterniinée par l'équation (90).
Dans les applications que nous venons de faire de la formule (29), f(a;-, r, ...,r) a été remplacée par des fonctions des seules variables x
et /'. Mais il serait facile d'assigner aux expressions f(.^,j r),
F(r) une multitude de valeurs propres à remplir, du moins entre certaines limites, les conditions énoncées dans le théorème I, et tellement choisies que f(^, j, ...,/') renfermât, avec x et r, d'autres variables j,
'■ Ainsi, par exemple, on conclura sans peine du théorème dont il
s'agit que l'équation
] — ( e«*-- 2 cos hs^ -H e-«*' ) ^
s — /• ((e"''°" — 9. cos br- ~\- e-'^'''))
dans laquelle a, h désignent deux constantes positives, mais ditïerentes de zéro, subsiste pour toutes les valeurs réelles de x co.mprises entre les limites x =— «, x = ^ a, et pour dos valeurs quelconques de y.
Lorsqu'à l'aide de l'équation (26) ou (27) on a développé la fonction f(a?, j, . .. ,s) en une série composée de fonctions de même espèce, il est souvent facile de trouver une infinité d'autres séries semblables à la première, et (|ue l'on puisse encore considérer comme des développements de la fonction f(.r, y s). En effet, pour y parvenir, il suffira de substituer, dans la formule (6), non plus la valeur de o{r) que détermine l'équation (aS), mais celle que fournit l'équation ([G), et de prendre pour 'J>(r) une fonction propre à vérifier la condition
Or cette condition sera remplie, si l'on suppose : i" que la fonction •\>{r) conserve une valeur finie, pour toutes les valeurs finies de r\ ■2'' que, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module p de la variable r, le produit
reste toujours fini ou infiniment petit, quel que soit le quotient -» et
P fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du
même quotient. Alors on n'altérera pas l'équation (26) ou (27) en ajoutant au second membre le terme
On peut donc énoncet la proposition suivante :
Théorème II. — Les mêmes choses étant posées que dans le théorème 1, si la fonction '\i{r), conservant une valeur finie pour toutes les valeurs finies de la variable r, est telle que, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies , du module p de cette variable , le produit (107) reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans
le voisinage de certaines valeurs particulières du quotient - > on aura
ou, ce qui revient au même,
(no) f(^,7, . . ., .) =F(.) l^—^, ((F(/-))) + O ((FTTn) '
pourvu que l'on réduise chaque résidu intégral à sa valeur principale.
Corollaire. — Rien n'empêche de supposer que la fonction ']'(r), comprise dans la formule (109) ou (no), renferme avec la variable r la quantité s. Il en résulte que, dans le cas où la formule (no) subsiste, on n'altère pas cette formule, en y remplaçant '\>(r) par le, produit F(^) 'l(^), en sorte qu'on a encore
(no ^^,y,...,s) = Fis)l[^^^Hr)]^l^
Exemples. — Concevons d'abord que l'on réduise f(x,y, .. .,r) à l'une des fonctions cosrx, sinr^r. Alors, en désignant par a une constante positive, par b une autre constante choisie arbitrairement, et posant de plus
F(r) =: sinar + /'cosa/', <|»(/-) = 6,
on tirera de la formule (106), pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites x- = — «, x =^ a.
b cosrx
((sin«r + /• cos«r)) b sinz-r
((sina/' + r cosar))
et par conséquent on pourra aux équations (83) et (99) substituer les deux suivantes
I ,\ cosr^r
(ii4) cos,s^ = (sina5 4-.çcosa.O X 1 \-b\,, . ^,
<-^\s — r / ((sina/- -h /-cosar))
(iiD) sin s a: =z(sin as + s cos as) ) h ^ -7-; >
^^ \s — r / ((sina/- + r cosa/-))
ou, ce qui revient au même, les formules
(116) cos^^r = (sina5 -t- s cos as) \ ( \- b] — — '- -. ,
L; L\^ — '■ / (a -\- r) cos ar — a/-sina/-J
(117) sin5:c = (sina^ + s cos as) V ( h b] '- -. ,
kj L\5 — /• / {a ^ r) cosar — ar sina/'J
dans lesquelles les sommes indiquées par le signe ^ doivent être étendues à toutes les racines de l'équation (81). Si l'on posait, au contraire,
F ( r ) := e"'"' — 2 cos ar- -+- <?~"'',
alors, en désignant par a, (3 des constantes quelconques, et prenant pour 'j'(r) une fonction entière des monômes
/•, cos a/", cos (3/', . . ., on tirerait de la formule (106), pour des valeurs quelconques de x,
, o^ r ûj{r)co?,rcc
(no) J — i — — — ■ -. — r= o,
^ ^ <-'((e'^'-'— 2cosa/-^+e-"'-)) '
^^'^^ O (( e«'-' — 2 cos ar^ -h e"'""' )) ~ ° '
et par conséquent on pourrait, sans altérer les équations (88) et (102),
ajouter à leurs seconds membres les résidus compris dans les formules (i i8) et (i 19). Si, pour fixer les idées, on suppose '|(r) = r, la formule (118) donnera
Nor/coSg + y/— I sin^ j cos N^( cos^ — v^— i sin^ j
cos Nx( sin ô
y/ — I cos
cos
[N.r(sin^-V^-::7cos|)]
la foi'mule de N étant déterminée par l'équation (90). Prenons enfin
f(^, j, . . . , r) = {e'"'-^ -h e-''-^) cos/-/
et
F ( /■ ) = e""- — 2 cos br'^ -+- e-"""-,
a, b désignant deux constantes positives. Alors, en supposant toujours que 'l'(r) représente une fonction entière des monômes
/•, cos a/', cos|3/', . . .,
on tirera de la formule (loG), pour toutes les valeurs réelles de x comprises entre les limites — «, -f- «, et pour des valeurs quelconques de j.
P (|;(r) (e'^'-^M- e-'"'-*^) cosry
<^^e«'-- 2 cos ^r- 4- &-"'■')) ~
Par conséquent l'équation (io5) pourra être remplacée par la formule
(122) ((?-'--*^+e'-*'-^)cos.f/ — (e«^'— 2 cos 6.ç^+e-«»')^ -^ + '!(/■) ^^ -^t—Mcos/,)'
((<?«'■'— 2 cos Z>/-^ 4- e *"'■■))
Kn terminant cet Article, nous ferons remarquer que, dans le cas où plusieurs des racines r^, r., r.,, ... de l'équation (5) deviennent égales entre elles, le développement de la fonction
déduit d'une des formules (2G), (27), (109) ou (i 10), renferme, non
seulement les fonctions de même espèce
mais encore les valeurs que prennent quelques-unes des fonctions dérivées
âr dr
quand on y substitue les valeurs de r qui représentent des racines égales de l'équation (5). Telle est la raison pour laquelle les développements des fonctions
fournis par les équations (5o), (5i), (53), {^Ç)), (87), (102), (io3), renferment, non seulement des fonctions de même espèce, c'est-à-dire des exponentielles, des cosinus, ou des sinus de la forme
e'-*^, Q,o?,rx, sin/"^,
mais encore des termes proportionnels à quelques-unes des puissances entières de la variable x. En effet, ces puissances présentent, au signe près, ce que deviennent quelques-unes des dérivées de e'^'', de cosr.x-, ou de sin rx, quand on y pose r = o.
Au reste, lorsque l'équation (5) a des racines égales, et qu'en vertu de cette égalité certains termes du développement de ï{x,y, . ..,s) prennent des formes particulières, on peut aisément les ramener à la forme générale, en faisant entrer dans leur composition des quantités infiniment petites. En effet, les valeurs des fonctions (i 23) correspondantes à une valeur donnée r^ de la variable r peuvent être remplacées par les polynômes
dans lesquels £ désigne un nombre infiniment petit, et chacun des termes contenus dans ces polynômes est simplement proportionnel à une certaine valeur de la fonction
f{îc,y, . . .,r).
Dans d'autres Articles, nous ferons voir comment, à l'aide des principes ci-dessus établis, on peut développer une fonction quelconque en séries d'exponentielles, de sinus, de cosinus, etc.
SUR
