EXPRIMEES
Le résidu intégral d'une fonction /(r) de la variable /• peut être facilement déterminé, dans un grand nombre de cas, à l'aide du théorème III de la page 32o, c'est-à-dire à l'aide de l'équation
dans laquelle § désigne la valeur du produit
correspondante à des valeurs infinies réelles ou imaginaires de cette variable. De plus, comme l'expression (2) n'est pas altérée quand on y remplace r par — r, les valeurs infinies dont il est ici question pourront être choisies de telle manière que leurs parties réelles soient positives. Donc, si l'on suppose
(3) /• = p(cosT + y/— I sinr),
p désignant le module de r, et c un arc réel, il suffira, pour trouver i, d'attribuer au module p des valeurs infinies, et à l'arc t des valeurs
comprises entre les limites ? h
Concevons maintenant que/(r) renferme, avec la variable r, d'autres
OEuvres de C — S. 11. t. VU. 5o
39i SUR LES RÉSIDUS DES FONCTIONS
variables indépendantes, x, y, . . . , et se présente sous la forme
OU
Z'(r), ï(x, r), f(^, j, . ",r) désignant des fonctions qui restent finies pour toutes les valeurs finies de /•. ^ se changera en une certaine fonction ^(cc) ou ri(-v,y,...) des variables ce, y, ...; et l'équation (i) donnera
OU
Or, parmi les applications que l'on peut faire des doux formules qui précèdent, on doit principalement remarquer celles que nous allons obtenir en remplaçant les fonctions f(a?, r), f(.r, r, . . . , r) par des intégrales définies.
Supposons d'abord que l'on attribue à la variable .%■ une valeur réelle qui surpasse une quantité désignée par.r„, en sorte qu'on ait
(8) a;>Xt);
et prenons d'ailleurs
(9) f{jc,r)=zf e'-(^-!^)|'(//)6^^,
f(tj,) désignant une fonction qui reste finie entre les limites de l'intégration. On tirera de la formule (4)
et par suite l'expression (2) deviendra
Concevons à présent que, pour des valeurs infinies de /■ dont la partie réelle soit positive, le produit
se réduise à zéro, et le rapport
à la constante c II est clair que ces mêmes valeurs réduiront la difTérence (11) au produit
Effectivement, pour démontrer cette assertion, il suffit d'observer que, si, dans l'intégrale
on substitue la valeur de r tirée de l'équation (3), en attribuant au module p une valeur très considérable, puis à l'arc z une valeur comprise entre les limites ^) ■+- -5 et faisant de plus
(16) ^ — jJl = £;
on trouvera sensiblement
^.p(,r— Xo)
r j e-'"'-^-!^) ('(fjt) (i/J^ = (cosT4-v/— I sinr) l'(^) / (j-^UsT-t v/-lsinT)^-
ou, ce qui revient au même,
(17) rf e-'-(^-l'^['{^)d^ = f{œ).
Cela posé, on aura
(18) ,f(^)^ ict'(^), et la formule (6) donnera
?('•)/ e-''(-^-!^'f(/jL)^/jL
*'«) l ^ôFTF)!^ =-^r(-)-
Ajoutons que, en vertu du théorème III de la page 820, l'équation (19) continuera de subsister, si, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module p de la variable r, et pour des valeurs positives de cost, l'expression (12) et la différence
restent toujours finies ou infiniment petites, mais finies seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du quotient-- Remarquons enfin que, si l'on désigne par ^,, Ha deux quantités comprises entre les limites x„, x, on pourra disposer de ces quantités de manière à vérifier les équations
/ gP(x-ix)cosT(.og[-p(^ — /jL)sinT] {{ii.)d[j.
= f(Çi) / eP(*-!^^''<'«^cos[p(j7 — juL)sinr]^//ji
eP^'^-'^o)<'°^-^ cos,[pia; — a^o) s'inz — r] — co^'T ■
/ eP(x-iJ.)cosTsin[p(a: — /jL)sin7] ÇiiJ.) d^j. ■"'0
eP(^-^o'"«T^sin[p(^ — ;ro) sinr — t] + siriT .
et par conséquent de manière à vérifier la formule
r= 1 ep(cosT-f-v/-lsinT) (a;-[Jl) |V„ Wpj^ (21) { •^•'0
eP^'^-^o)'^"^'^ cos[p(x — Xn) sinr — r] — cost
/ — -eP(^-^o)cosTsin|"p(^ — ^„)sinT — t] + sinr ,. , 4-V/— I ^ ^ ((ç^);
d'où il est aisé de conclure que, pour des valeurs positives de cost, l'expression (12) sera finie ou infiniment petite, lorsque le produit
(22) iiZ!i er(a:-x„)
sera lui-même fini ou infiniment petit. On peut donc énoncer la proposition suivante :
Théorème I. — Soient ç(/') et \{\x) des fonctions de r et de \t, qid demeurent finies, la première pour toutes les valeurs finies de r, et la seconde pour les imleurs de [jt, comprises entre les limites
Soient, de plus, c une constante déterminée, F(r) une fonction quelconque de la variable r, et p le module de cette variable, en sorte qu'on ait
r = p(cosT -+■ \J — I sinr).
Si, pour des valeurs de p infiniment grandes, mais convenablement choisies, et pour des valeurs positives de cost, les expressions
(22) Fr^ ^'"'"^""""^
restent toujours finies ou infiniment petites, et finies seulement dans le voi-
sinage de certaines valeurs particulières de cost, on aura
e'-(^-i^)|'(fJtX^
pourvu que l'on réduise le résidu intégral
r? ^« valeur principale.
Nota. — Si l'on supposait précisément x = x^, le premier membre (Je la formule (19) s'évanouirait et, par conséquent, cette formule deviendrait inexacte. Ajoutons que, si les conditions énoncées dans Je tliéorëme I sont remplies seulement pour des valeurs de x renfermées entre certaines limites, la formule (19) ne devra pas être étendue hors de ces limites.
Exemples. — Soient
F(/-)=:e«''— I et 9(/')=:i,
a désignant une quantité positive. Le rapport
se réduira généralement à la quantité — i pour les valeurs infinies de r dont la partie réelle sera positive; et, si l'on pose en conséquence c = — I, les expressions (20) et (22) deviendront respectivement
Or, il est facile de reconnaître que, si l'on attribue au module p de la
variable r une valeur infiniment grande prise dans la série
et à cosT une valeur positive, en supposant d'ailleurs la variable x renfermée entre les limites x^, x, h- a, chacune des expressions (23), (24) sera toujours finie ou infiniment petite, et finie seulement dans le voisinage des valeurs de ^ déterminées par la formule cost = o. Donc, en vertu de l'équation (19), on aura, pour toutes les valeurs de X comprises entre les limites a;„, ^„ + a,
ou, ce qui revient au même,
puis, en faisant, pour plus de commodité,
on trouvera
I 2':zi.-t — y\) ÎIT'.r — r„l
2Tfr — .r„)
Si, dans l'équation (27), on pose a^o = o, « = 271, on aura simplement
/ -4- / C0S2V f(^ — v) <^v + / cos3v f(x — v)c/v -!-. . .;
puis, en prenant \'(x) = i, on obtiendra l'équation connue
(3o) - = 1- sin^r h — sin2^ + ^sin3^ +. . . .
Si l'on posait, au contraire,
('(^) = cos^ ou f(^)=:sin^,
on trouverait successivement
/ Tt ^ I . 2 . ^^ • o ^ ■ f
[ -cos^ ■= ~ cos^ + y sin^ H t; sin 2^ H 7 sin 3^ + ^r-^ sin4'^ + •
I Tl . X . II I 'o 1/
f -Sin .3: r:r — Sino^ H h- -,- COS^ -Ç'O'àlX 7 C0S3^ — Tr—vCO?ika: — .
Les formules (29), (3o) et (3i), dont la seconde entraîne les deux dernières, exigent que la variable x reste comprise entre les limites o et 27:. Elles deviendraient inexactes si l'on supposait précisément
Soient encore
a désignant une quantité positive. Si l'on attribue à la variable /• des valeurs infinies qui offrent une partie réelle positive, et restent sensiblement distinctes des racines de l'équation
puis à la variable x une valeur réelle comprise entre les limites ,«„,
o?o-t- a, le rapport
se réduira généralement à la constante c = — i , tandis que les expressions (20) et (22), savoir,
seront toujours finies ou infiniment petites, et finies seulement dans le voisinage des valeurs de t qui correspondront aux racines de l'équation (32). Donc, en vertu de l'équation (19), on aura, pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites x = x^,, x = x^ 4- a,
• / e''(^-!^'f(/JL)6?/Jt
OU, ce qui revient au même.
(36) 7r(^)=rSl
\ ' rv
le signe § devant être étendu à toutes les racines de l'équation (32).
Si l'on prenait
h désignant une nouvelle constante, les conditions énoncées dans le théorème I seraient toujours remplies, et l'on tirerait de la formule (19), pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites x^, x 4- a.
11 suit de l'équation (Sy) que l'expression
(38) r ^^îi^
a une valeur indépendante de la constante b, ce qui tient à ce qu'on a
/ e'-(^-l^) Ç{ix) dix
Soient enfin
généralement
OEuvrcs de C. — S. H, t. VII.
k02 SUR LES RÉSIDUS DES FONCTIONS
a, h désignant deux constantes positives. Alors le théorème I donnera, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites a- = a\,,
^ = iTo H- '2a,
Au contraire, si, en supposant
F(/-) = e'" — 2br-he-'^'\
on prenait
<p(/-) = e-«''— 2hr,
ou plus généralement
a, fl désignant deux nouvelles constantes, l'équation (19), réduite à l'une des formes
(e-'"'— 2br) j e'-^^'-V-) ('(jul) dij.
(e-«'--h a + ;3/-) / e''f-«^-[^' ('(/J^) f//Ji
ne subsisterait plus que pour des valeurs de .t renfermées entre les limites ^ = .2^0, £f = ^'o -h «.
Concevons maintenant que l'on attribue à la variable .t une valeur particulière qui soit inférieure à une certaine quantité X, en ^orte qu'on ait
Alors, par des raisonnements semblables à ceux dont nous avons fait usage pour démontrer le théorème I, on établira sans difficulté la proposition suivante :
Théorème II. — Soient cp(/) el ('((Jt.) des /onctions de r et de u. f/u demeurent finies, la première pour toutes les valeurs finies de r, et la
seconde pour les valeurs de [x comprises entre les limites
\xz=ix, /u. = X > ^.
Soit déplus C une constante déterminée, F(r) une fonction quelconque de la variable r, et p le module de cette variable, en sorte quon ait
r = p(cosT + v'^^ sinr).
Si, pour des valeurs de p infiniment grandes, mais convenablement choisies, et pour des valeurs positives de cost, les expressions
(45) ^lzi4,.,x-.,.,
restent toujours finies ou infiniment petites, et finies seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières de cosz, on aura
(f{r) j e'-(^-V-) f{^i) dix
(46) r '^ iC,,/^)
pourvu que l'on réduise le résidu intégral
(?{r) j e''(^-!^)f(|ui)rf^
à sa valeur principale.
Si l'on supposait précisément ^ = X, le premier membre de la formule (46) se réduirait à zéro, et par conséquent cette formule deviendrait inexacte. Ajoutons que, si les conditions énoncées dans le théorème II sont remplies seulement pour des valeurs de x renfermées entre certaines limites, la formule (46) ne devra pas être étendue hors de ces limites.
Exemples. — Si l'on prend
40i SLR LES RÉSIDUS DES FONCTIONS
a désignant une quantité positive, alors, en attribuant à r de très grandes valeurs dont la partie réelle soit positive, on trouvera sensiblement
F(/-) e"'"— I I e-ar
Par suite, on prendra G = i, et l'on tirera du théorème II, pour toutes les valeurs de oc comprises entre les limites x = \ — a,x=i X,
(47) r — '^ -(iv-)
OU, ce qui revient au même,
puis, en faisant, pour plus de commodité,
2 TT ( jLjl — .v)
on trouvera
2iriX— .ri
-H / COSV 1 X H
27r(X— .ri
C0S2V ({x-\ \ dv
Soit encore
F(/-)--e« '•/•, <-/ désignant une constante positive. Alors, si l'on prend
on tirera de la formule (4^), pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites œ = X — a, x = X,
car j e''(x-M.)|'(^)^/,j^
Soit enfin
F(/-) z=.e'^''—ihv -+- e-"-'\
Alors, en prenant
on trouvera, pour toutes les valeurs de x renfermées entre les limites x = X — ia^ x = X,
Si l'on prend, au contraire,
0{r) = e"'"— 2br,
ou plus généralement
on obtiendra, au lieu de l'équation (ji), les deux formules
(52) P- lll- -l.V.r),
(53) r ï-iT i,./j.x
dont chacune ne subsistera plus que pour des valeurs de x renfermées entre les limites x = \ — a, x = \.
On peut encore déduire des théorèmes I et II une proposition (|ui mérite d'être remarquée, et que nous allons faire connaître.
TniioiiÈME III. — Soient F(/) et {{x^ deux fonctions de r el de x qui
demeurent finies, la première pour toutes les valeurs finies du module p de la i^ariable r, la seconde pour toutes les valeurs réelles de x renfermées entre les limites x = x^, ^ = X > ^o. Concevons, en outre, que la fonction F(r) puisse être partagée en deux autres ^{r), y(r) qui demeurent finies elles-mêmes avec la variable r, de telle sorte que, pour des valeurs de r infiniment grandes, mais dont les modules soient convenablement choisis, et dont les parties réelles soient positives , chacun des rapports
r.\ Yv— '■)
reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage
de certaines valeurs particulières du quotient -• Enfin supposons chacune
P des quantités x^, X, ou plutôt la différence X — ^r^ choisie de manière que
les conditions ci-dessus énoncées ne cessent pas d'être remplies quand, aux rapports (54) e/ (55), o/^ substitue les produits de ces rapports par l'exponentielle
r est-à-dire les deux expressions
(57) |iz;le'-t>'-o..
Alors on trouvera, pour toutes les valeurs de x comprises entre les limites x^, X,
^{r) f e'(^-^^ fiix) dp.
ou, ce qui revient au même,
X (/•)/" e'-(^-v-^({iJ.)dp
(50) f(ar)--=-/ ^^:î:i^--
EXPRIMEES PAR DES INTEGRALES DEFINIES. V07
pourvu que l'on réduise le résidu intégral renfermé dans l'équation (58) ou (59) à sa valeur principale.
Démonstration. — Si les conditions énoncées dans le théorème III se trouvent remplies, et que l'on attribue à la variable r des valeurs infiniment grandes, mais dont les modules soient convenablement choisis, et dont les parties réelles soient positives, non seulement les expressions (56), (57), et, à plus forte raison, les deux produits
seront toujours finis ou infiniment petits, et finis seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du quotient -; mais on pourra encore en dire autant des différences
puisque, en vertu de l'équation identique
ces différences sont équivalentes, au signe près, la première à la fraction (55), la seconde à la fraction (54)- Par suite, le théorème I fournira Téquation
tandis que le théorème II donnera
(66) l VïvTVT^ = \ f(-)-
De plus, comme la formule (G4) permet de remplacer, dans les équations (65) et (66), y (r) par F(r) - ^(r). ou plus simplement par - 9(/), et o{r) par F(r) - /(r), ou plus simplement par - y (r), on trouvera encore
o(/-) f e^-^^-V-) ^{^) dit.
et
Si maintenant on combine entre elles, par voie d'addition : i« les formules (m) et (67); 2° les formules (65) et (68), on obtiendra précisément les équations (58) et (09).
Xota. — Il est bon d'observer que, en égalant à zéro les rapports (54) et (55), on obtiendra les deux formules
Xi-r]
desquelles on tirera ||--^ = ^, ou, ce qui revient au même,
(69) et
De même, en égalant à zéro les rapports (56) et (5;), on obtiendra les équations
Xi-r) ' , , 9(/-)
que l'on pourra présenter sous les formes
Xtzil ^-rix-.r,^^ g- nx -.,;).} ii^e-'-'^-^«'-i-e-'-(^-'..t— -,
?(-/•) o' yj,-) +^ -o'
EXPRIMEES PAR DES LNTEGRALES DEFINIES. 409
et desquelles on tirera, en attribuant à r des valeurs dont les parties réelles restent positives,
ou, ce qui revient au même,
et
Cela posé, pour satisfaire aux conditions énoncées dans le théorème III, il faudra évidemment décomposer /(r) en deux fonctions telles que le rapport de la première à la seconde, savoir
devienne généralement, pour des valeurs infinies de la variable r, intinimcnt grand ou infiniment petit, suivant que la partie réelle de cette variable sera positive ou négative, et choisir ensuite la différence X—.Xo, de manière que l'expression
c'est-à-dire, le rapport (73) multiplié par l'exponentielle e '^^~^"\ jouisse encore de la même propriété.
Exemples. — Soit d'abord
a désignant une constante positive. Si l'on prend, dans ce cas,
9(,')=:e«'-, x('-) = -i, le rapport
OEuvres de C. — S. U, t. VU. 52
deviendra, pour des valeurs infinies de la variable /% infiniment grand, ou infiniment petit,. suivant que la partie réelle de /• sera positive ou négative; et, pour que le produit
jouisse encore de la même propriété, il sera évidemment nécessaire que la diff'érence X — x^ reste inférieure à la constante a, c'est-à-dire, que la quantité X, supérieure à x^, reste inférieure à la limite Xq 4- a. D'ailleurs, il est facile de s'assurer que, si Ton prend F(r) = e"'' — 1, o (r) = e"'', y^{r) = — i , X ^ a?o et << ^o + ^» ^^s conditions énoncées dans le théorème III seront toutes remplies. Alors, en effet, les expressions (54)» (55), (56), (57) s'évanouiront pour des valeurs infinies de la variable r, tant que la partie réelle de cette variable, étant positive, ne deviendra pas sensiblement égale à zéro; et, quand cette partie réelle diff'érera très peu de zéro, il suffira, pour que les mêmes expressions conservent des valeurs finies, d'attribuer au module de r des valeurs infiniment grandes prises dans la série (25). Donc, en vertu du théorème III et des formules (58), (59), on aura, entre les limites
oc "^0' ^ j\ ^C^ <3?() ~T~ tty
OU, ce qui revient au même,
Si l'on développe les seconds membres de ces dernières formules, on obtiendra la suivante
H- - / COS -^— ^ !-^f(u.)rta
puis, en posant x^, = o, X = a = 27:, on retrouvera une équation que M. Fourier a donnée dans son premier Mémoire sur la Théorie de la chaleur, savoir
+ / cos2{a' — [j.){\ix)dp.^ cos3{.x — ix) \'{^) du. +
Soit encore
Alors, en prenant 9(7-) — e"'', y(r) = i, on tirera des formules (58) et (59), pour les valeurs de x comprises entre les limites x- = .r„,
ear j e''U--!A)f(|jL)r/,a f e'-(^-t^) f(f/) cZ/jl (79) aoc)=y —ZfJi ^^ S-lzi ,
OU, ce qui revient au même.
^l(^) = - j cos ^^ ^'a^)diJ.^J cos—^-^^ [\ix)dij.
-•To ^ J"o
I H^£cosî^l(^r(rt</f, + ...];
puis, en posant ^„ = o, X = a = T,, ou bien Xq = o, X = a = 2t., on obtiendra les deux équations
l^t'(^)=/ cos{œ — iJ.)\\ix)d 11 + 1 cos3(^ — /ji)|'(|Ji)c/|jL r -h/ cos5(^ — f/) f(/j!.)<^,a -I
De même, si l'on supposait
F (a-) iize«''— e««,
a désignant une constante réelle, alors, en prenanto(r) — <?"'','/ (/O^f"*, on trouverait, pour les valeurs de a? comprises entre les limites x^^Xq, ic = X << £C(, H- a,
ou, ce qui revient au même,
i-\'{x)= f e='(^-H-)|'(iJi)rffjL+ r e^(^^t^) eos ^^^^' ~ ^^ ['{ii) dix
(<ettc dernière formule continue de subsister dans le cas oîj l'on remplace la constante réelle a par une constante imaginaire a + fi sj— i, a, (B désignant deux quantités réelles, et se divise alors en deux équations, savoir
e:nx-iL) cos ;3 (J7 — fz) Wix) d^i
( 85 ) I + / e^(^-f^-) cos |3 (^ — ,UL ) cos ^^^'^' ~^ |'( /z ) d^j.
l / e°'(*-t^) cos(3(^ — fji) cos ^—^ ^^- ['(i^Jt) f/|J^ + • • •
et
f e''(^-s^) si 11 j3(a^ — //)!'( fJt)^i^ .
(86) I 4- f g«^-^-N sin[3(j7 - /ji) cos ^^^^^~-^ |'(/J^) ^/j-^ 4- r ea(^-[x)sin[3(x-^)cos^^^--^^f(f/)c/fji-f-....
Soit maintenant
Alors, si l'on prend cp(r) = e""" , 'f^r) = — r, le rapport
deviendra, pour des valeurs infinies de la variable r, infiniment grand ou infiniment petit, suivant que la partie réelle de /' sera positive ou négative; et, pour que le produit
jouisse encore de la même propriété, il sera nécessaire que la quantité X, supérieure à x^^, reste inférieure à a^^ + «. D'ailleurs il est aisé de s'assurer que, si l'on suppose (p(r) = e""", y (/) = — r, X — j^'„> o et <ia, toutes les conditions énoncées dans le théorème III seront remplies. Donc, en vertu des formules (58) et (Sq), on aura, pour les valeurs de x renfermées entre les limites x = x^, .r = X << j?„ h- «,
ou, ce qui revient au même,
(88) IX^-) = ^ 1^ r^^ ^'^^^ e'-(-!^) |'(f.) dÀ ,
le signe § devant être étendu à toutes les racines de l'équation (32).
Supposons encore
« et ^ désignant deux constantes positives. Alors, en prenant
(p(/-) =: e'*'' — hr, -^(r) z=e~"'' — br, on tirera de la formule (58), pour des valeurs de x comprises entre
les limites x = Xç^, x ^=^\<^x^-{- a.
(e«'-— br) i e'-(^-!^) f(^) d^
et de la formule (5o)
Si, dans la même hypothèse, on prenait
a, p désignant deux constantes arbitraires, la formule (58) donnerait
( 9 0 I' (■^■) = <J^ ((ear 2^,r-f-e-«Ô) '
la valeur de x devant toujours être renfermée entre les limites x = x^, X = X^ Xo + a.
Aux applications que nous venons de faire des formules (58) et (59) on pourrait en ajouter un grand nombre d'autres. Ainsi, par exemple, si l'on désigne par a une quantité positive, par b. A, B des constantes quelconques, et par f(r), f, (r) des fonctions entières de r, on tirera de la formule (58), pour des valeurs de x comprises entre les limites X =^X(,, X = X<::^X(^-h a,
e«'f(/-) f e''(^-!^> f(fji) o?/ji
et, pour des valeurs de x comprises entre les limites x = Xo,
x = X<iXo-+- 2a,
e«'-f(/-) f e''(-^-!^' ('(fJ^) ^//^
e«'-f(A-) f e'-(^-!J-) f(jjL) dix
(A + r) (R + /•) e«'- i e'-(^-t^) f(|jL) c/f/
<-- (( (A + /•) (B H- /•) e«'-— (A — r) (B — r) e-«'- )) (e""' cos br — i) 1 e''^^-\^^ \\ij.) d^
(((e'"-+e- «'"cosôr +
-«'■) cos I) r e''
-«'•) cos
br
Ces diverses formules sont fort utiles dans la solution des problèmes de Physique mathématique, surtout quand elles sont combinées avec celles qui se déduisent de la proposition suivante :
Théorème IV. — Soient ^(x,r) et |'(fJ.) deux fonctions de x, r et pt,, qui demeurent finies, la première pour toutes les valeurs de x et de r, la seconde pour toutes les valeurs de [x comprises entre les limites [j. =^x^, u, = X^^o' Soient de plus F(r) une fonction quelconque de la variable r, et p le module de cette variable. Si, pour des valeurs infiniment grandes, mais convenablement choisies, du module p, chacun des produits
reste toujours fini ou infiniment petit, et fini seulement dans le voisinage de certaines valeurs particulières du quotient -, on aura
9i^,r)J e-'-^ (iiJ.) dix
poujvii que l'on réduise le résidu intégral
à sa valeur principale.
Démonstration. — La valeur générale de r pouvant être exprimée, à l'aide du module p et d'un arc réel t, par une équation de la forme
/• ~ p (cosT + y/ — i sinr),
on trouvera, par un calcul semblable à celui dont nous nous sommes servis pour établir la formule (21),
1 e-P^o'-»sTcos(T4- p^nsiriT
( I o I ) < e-P ^0 «-"S T cos ( ^ l p ^^j sin T ) — g-P^ ''''■'* "^cos^r -4- p X sinr )
(P e-P^oCosT sin(T -4- oxfs sinr) — e-pX'-osT sin(T 4- pX sinr) , ^ ^ ^, ) ^ I ^ P
^,, ^2 désignant deux quantités comprises entre les limites a^o, X; puis on en conclura
j cp(.r,/') r e-'V-\^^)dxx
(10?. )< r^ljf. J,\ . .
^AL^''e-'-^o[cos(TH-pToSinT)+/— isin(T+pj"oSin-:)][|\^i)cos(TH-pxosinT)— ^
TT^— <?-'-x[cos(T+pXsinT)+\/— isin(T+pXsinT)][t\^i)cos(T+pXsinT)— v/^f(b)s'n("+pXsinT^^
Cela posé, il est clair que, si les conditions énoncées dans le théorème IV sont remplies, le produit
o{x, /•) / e-^'V- ('(fjL) dix (ro3) /• — %:)
restera toujours tini ou infiniment petit pour de très grandes valeurs
EXPRIMÉES PAU DES INTÉGRALES DÉFINIES. il7
du module p de la variable r, et fini seulement dans le voisinai^e de certaines valeurs particulières du quotient -• Par suite, le théorème II de la page 3o5 entraînera la formule (loo).
Nota. — Si les conditions énoncées dans le théorème IV se trouvent remplies seulement pour les valeurs de x comprises entre certaines limites, par exemple entre les limites a7 = iro« ^^X, la formule (loo) ne devra pas être étendue hors de ces limites.
Exemples. — Soient d'abord
F{r) = e«''f(/-) — ea(/.-r) f^^ ,.) et
a désignant une quantité positive, h une constante quelconque, et f(r) une fonction entière do r. Alors, si l'on suppose la variable x renfermée entre les limites .r,,, X et X — ^o^ «» les expressions
rempliront évidemment les conditions énoncées dans le théorème IV. Donc, en vertu de ce théorème, on aura, entre les limites x = Xo, X = X <^x^^ + a.
(io4)
Si l'on combine cette dernière équation avec la formule (94) par voie d'addition ou de soustraction, on obtiendra les deux suivantes :
(105) f(cc)—/- : — i^ ,
OEuvres de C. — S. II, t. Vfl. 53
Si, pour fixer les idées, on prend
/> = o, i'{r) = i, les équations (io5) et(ioG) donneront
(107) IV) --i
et
^«/■(•gr(x-x,). g-r(x-x„)) / e""'''!^-^») ('(|jt.) <:/|Ul
ou, ce qui revient au même,
cos
Tiix — œ^) r 7r(//. — -z-o)
cos — —
2 71 (.r — .ro ) cos — ^—
et
. 2 7T(^— Xp)
sin -
Xix)dix
■fo -J
puis, en posant .t„ =^ o, X = «, on en déduira les formules connues
« =: se
•'(")= à S r'~^"i sin^^^r(j.)^^
