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dans lesquelles le signe ^ s'étend à toutes les valeurs entières, positives, nulles ou négatives de n. Ces dernières formules, qui subsistent pour les valeurs de x renfermées entre les limites x — o, ^ = rz, peuvent être employées avec avantage, la première dans la théorie des instruments à vent et dans celle de la propagation des ondes à la surface
d'un fluide que renfermerait un canal terminé par deux plans perpendiculaires à son axe, la seconde dans la théorie des cordes vibrantes. Si, dans les mêmes formules, on remplace la constante a par l'unité, on obtiendra deux équations qui pourront s'écrire comme il suit
(ri3) {{X)
(ir4)
r / ('(fJI-) (i^ + 2 V COS/17Î.2? / COS «TT/Ut. |'(|J^) <^/^
et dont la seconde a été donnée par Lagrange dans le Tome III des anciens Mémoires de Turin. Si l'on suppose, au contraire, « = -, on trouvera, pour des valeurs de x renfermées entre les limites o, û,
(ii5) T^^{x)z=ij j'(fj(.) <ift+ 2 V cosnx I cosnij.\'{^)d^\,
V sinna: j sin « /a |'(fa.) li/j. . „^i L -0 J
(ii6)
Les deux équations précédentes sont contenues dans le Mémoire déjà cité de M. Fourier, pages 3o8 et 3i i. Mais on doit observer que la première avait été donnée par Euler dans un Mémoire qui porte la date du 26 mai 1777, et qui se trouve imprimé dans les Noça Acta Academiœ Petropolitanœ pour l'année 1793. Quant à l'équation (i 16), on peut la déduire immédiatement de la formule (ii4) donnée par Lagrange, en remplaçant, dans cette formule, la fonction {{x) par {(r^x), et les variables X, [X par les rapports -, -• On déduirait de même les foi*mules (i 1 1) et (i 12) des équations (i i5) et (116), en remplaçant la fonction {{x) par |'( ^ j> et les variables x, ijl par les rapports —^^ ^•
Remarquons enfin : 1° que, pour obtenir l'équation (r 16), il suffit de substituer la fonction {{x) à la fonction dérivée |''(-^) ^^^'^ l'équation (i i5) ditférentiée par rapport à la variable x et combinée avec la
formule
cosnij.f{iJL)dix = [\ix) !- I smnix\'{ix)dix,
de laquelle on tire
' cosnp. \'{ij.) dix^= / sin/iix ('(ix) dix;
2" que, si l'on ajoute, membre à membre, les équations (i i5) et (ii6), on obtiendra une autre équation comprise dans la formule (77).
Lorsque, dans les équations (ii5) et (116), on prend successivement \'(,x) — I, \'(œ) ~ X, {{x) — .r^ ..., on en conclut, pour des valeurs de X renfermées entre les limites o, tt,
cosSo^ cos5,37 71(7: — 2^)
("8) \ cos3j? cos5j7 Tiivi — 2a;) (71'^+ •^.Ttx — 'îx'^)
et
smS^- sm5^ tt
sm X -\ 5 1 p — ■ + ... HZ 7 ,
(ïï9) '1 . sin3a7 sinSo: Tixiii — x) ' sma; H ^r- 1 — ^ . . .-=. ^ — ■ — - .
On pourrait arriver aux mêmes résultats, en partant des formules (73) et (74) de la page 358. En effet, si l'on pose, dans ces formules, a — .T — t:, on en tirera, pour des valeurs de x comprises entre les limites a? — o, a? — 211,
, . C0S2^' (',OS3j7 COs4'3" C'TlCOSix — Tz)z// I
(120) CGS.rH 1 — ^ — î h... — — J ^ ''
et
, , . sin2^ sin3^ sinA-ic ^ tt sin (^r — 71)^ // 1
(121) Sin a? H ; ,- 4- r -i- -, — ^ -t- . . . - — i ' '
^ ' ^î/zi-i-l ■^ini-^l f^im+l ^
2 sin7r>
puis, en remplaçant x par ix, on trouvera, pour des valeurs de x ren-
fermées entre les limites o, tt,
cos2:r cos4'37 cos6^ pTrcos(2^ — t^)^ ([ i
('22) 2 2'" "*" ' 42"' "^ 6-'" ^' "O 22'«+>sin7r^ \\z^''
et
„ sin2^' sin4.^ sin6^ P îi sin (2jr — ir):; // i \
Si maintenant on combine la formule (120) avec la formule (122), ou la formule (121) avec la formule (i23), on obtiendra les suivantes
, ,, cosSo^ cos5.a7 P cos(2.r — 71)2 — 2-'"cos(.r — 'K)zff i
(.24) COS^+-3^+-^^+... = 7r^ ....^.siuTT. "
, ^, . sin3^- sin5^ /,sin(2^ — ■k)z — 22'"+*sin(^ — tt):; ('25) sm^+ 3^. +-^,^+... = ^^- ^.-Y^HT^^^
qui subsistent pour des valeurs de^ positives, mais inférieures à t:, et qui, étant développées, reproduisent les équations (118) et (119). Il est bon d'observer que la première des équations (119) cesse d'être exacte quand la variable x devient précisément équivalente à l'une des limites o, tt. Mais, si, dans la même formule, on attribue successivement à X les deux valeurs -? j, on retrouvera deux équations données par Leibnitz et par Euler, savoir
