N" XI

NOTE

.sirusti mhi r»m M ru tirnrrl i l» siivci or 90 mil. 1818 |k'.J

1. Lorsqu'un fait passer un faisceau lumineux par une ouverture Irèl étroite, on remarque qu'il éprouve une dilatation, c'est-à-dire que l'espace éclairé est plus large que la projection conique de l'ouverture. Il est aisé de reconnaître par l'abondance de la lumière qui se

' lie mémoire rl.nl accompagné d'une lettre ij'cnvoi ainsi conçu? :

Pire, le »o avril 181S.

Monsieur le Président,

J'ai l'honneur de vous adresser un paquet cacheté, contenant des vues théoriques Mir quelques phénomènes d'optique, que je me propose de soumettre h l'Académie lorsque j'aurai terminé leur vérification expérimentale.

Je vous prie d'avoir lu bonté rli? faire déposer ce paquet au secrétariat de l'Institut.

Je suis avec respect, etc. A. FRESNEL.

*' A. Kresnel avait posé les bases d'une vraie théorie mécanique de la dilTrartiori dans le Supplément au Mémoire sur la diffraction (t'i juillet ifti6, n* X).

Le 1 9 janvier 1 8 1 8 . il avait présenté a l'Académie des science* le Supplément nu Mémoire «ir les modifications que la réflexion imprime il la lumière polarisée (n* XVII), et lui-même définissait, en en termes, l'objet et les conséquences de ce Mémoire :

•Je viens d'imaginer. |xmr calculer l'influence d'un nombre quelconque de systèmes •d'ondes lumineuses les unes sur les autres, des formules qni me paraissent bien représenter » les phénomènes . du moins dans les cas 00 je les ai vérifiées jusqu'à présent. Je vai« conti- •nuer celte vérification, et appliquer ces mêmes formules a la dillritction , dont j'aurai alors

répand an delà des arêtes du cdne, et par le décroissemcnt graduel (If -on intensité, depuis le centre de In partie éclairée jusqu'aux bandes obscures du i" ordre, que ce phénomène ne doit pas Aire uniquement attribué au concours des rayons réfléchis et infléchis par le contact des borda du diaphragme, surtout s'ils sont tranchants; car il est évidi'tit ahu-o que la lumière réfléchie est trop faible pour produire un effet .mi-m prononcé. D'après cette expérience et plusieurs autres rapportées «l.ins le Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie, le i 5 juillet i 8 1 6 , j'ai fait voir que la dispersion de la lumière occasionnée par le voisinage d'un corps opaque ne se bornait pas aux payons qui en avaient rasé les bords, mais s'étendait encore à une infinité d'autres ravons séparés de ces bords par des intervalles senmIiI<--. I Km- la théorie des ondulations on peut se rendre compte du phénomène, en faisant attention que la suppression d'une partie de l'onde doit détruire l'équilibre des petits mouvements dont elle se compose , et permettre aux molécules élhérées, situées vers son extrémité, de vibrer dans d'autres directions que celle de la normale. Je ne vois pas comment on pourrait l'expliquer dans le système de I mission; car il n'est pas probable que l'attraction et la répulsion moléculaires s'étendent à des distances aussi considérables qu'un demimillimètre, par exemple, ou même un dixième de millimètre. Et d'ailleurs. -i l'on adoptait celle hypothèse, on devrait en conclure nécevmt-

ant < niplèlc, si je ne su» pas arrêté en roule par quelques difficultés i] anolysc »M OUC eniu fort, car un premier «soi m'a déjà conduil il une différentielle qui n'est pas i able, ii M qu'il paraît. . . (Lettre à Léonor Fresncl. du »8 novembre 1817. V LIX. )

• .... J'ai maintenant l'espoir assez bien fondé de lever toutes les difficultés qui restaient "sur la ililTrartion, et d'en donner une théorie complète, débarrassée de cette hypouW •d'une différence d'une demi-ondulation, que je n'avais pas encore pu expliquer.- (Lettre a l-éonor Frund du 10 avril 181S. N'UX.)

Or la question de la HîJJratUon avait été mise au concours par l'Académie des sciences. Le paquet eaciulé, déposé à la séance du aé avril 1818, était donc nécessaire pour assurer il l'auteur des Mémoires du 1 4 juillet 1 8 1 6 , et du 1 9 janvier 1818. la propriété des applications qu'on pouvait faire aux phénomènes de la diffraction des principes qui y sont oubli*

Digitizec

• rement que la masse des bords du corps opaque et ta forme de leur \\ XI. surface doivent influer sur la manière dont ils attirent ou repoussent la lumière. Or toutes les expériences que j'ai faites jusqu'à présent sur la di (Traction m'ont démontré que la position des franges et la dilatation de la lumière, par son passage au travers d'une petite ouverture, sont indépendantes de la masse des bords du corps opaque, comme de sa nature et de sa densité. C'est ainsi que le fil et le dos d'un rasoir présentent les mêmes franges, que la lumière est autant dilatée en passant par une petite ouverture pratiquée dans une légère couche «l'encre de Chine étendue sur une glace, que par le rapprochement de deux cylindres métalliques d'un diamètre considérable. Mais je un* bornerai ici à rapporter une expérience faite avec toute la précision nécessaire pour ne laisser aucun doute sur ce principe.

2. J'ai fait passer un faisceau lumineux entre deux plaques d'acier très-rapprochées, dont les bords verticaux, bien dressés sur toute leur longueur, étaient tranchants dans une partie et arrondis dans une autre, et disposés de telle sorte que le bord arrondi d'une des plaques répondait au tranchant de l'autre, et réciproquement. II en résultait que le tranchant se trouvant à droite, par exemple, dans la partie supérieure de l'ouverture, était à gauche dans sa partie inférieure. Par conséquent, pour peu que la différence de masse ou de surface des deux bords eût porté les rayons un peu plus d'un côté que de 1 autre, ces effets étant opposés dans les deux moitiés de l'ouverture, les franges devaient se briser au point de séparation. Mais en les observant attentivement j'ai reconnu, au contraire, qu'elles étaient parfaitement droites sur toute leur longueur, comme lorsque les deux lames étaient disposées de façon que les bords de même forme fussent opposés l'un à l'autre.

Il résulte de celte expérience que les phénomènes de la diffraction sont tout à fait inexplicables dans le système de l'émission, lors même qu'il emprunterait à la théorie des ondulations le principe des interférences.

3. La théorie des ondulations conduit au contraire, ce me semble

17a THEORIE DE LA LLMIÈHE. — PRBMIÈBE SECTION.

.< ans explication complète de ces phénomènes, au moyen du principe d'Iluyghens, qu'on peut énoncer ainsi : les ribraliotu d'une onde lumi- I cAfWI île ses point* sont égale* à la somme de tous les timuvei-niaiir» iju'tj enverrait au même instant, en affûtant isolément, ckttqvt /u tile jmrhr île relie onde considérée dan* une quelconque de se* posiiiini* anténeures.

'i L'intensité de l'onde primitive étant uniforme, il résulta de cette • m-nli • -.1 1 n mi lli.'ui rumine île Imites les imites, <|iie celte uni-

formité M conservera pendant sa marche, si aucune partie de l'onde n'est interceptée ou retardée relativement aux parties continues, parce

•pie la Kim le? mouvements élémentaires dont je viens de parler

-era la même | r tous les points. Mais si une portion «le l'onde est

arrêtée par l'interposition d'un corps opaque, alors l'intensité de chaque point variera aver sa distance au bord de l'ombre géométrique, et ces M ni- seront surtout sensibles dans le voisinage de l'ombre. Sait 11 le point lumineux, AG le corps opaque. Je considère l'onde dans le moment où, arrivée en A, elle est interceptée en partie par ce corps, c'est-àdire à l'origine du dérangement de son équilibre transversal W, Je la suppose divisée en une infinité de petits arcs égaux km. mm. mM , Mn, nn\ nV etc. et pour avoir son intensité au point P, dans une de ses positions postérieures BPO, je cherche la résultante des ondes élémentaires, que chacune des portions de l'onde primitive J enverrait eu agissant isolément.

5. L'impulsion qui a été communiquée à toutes les parties de l'onde primitive étant dirigée suivant la normale, il est clair que les mouvements qu'elles tendent à faire naître dans l'éther doivent

1 m I on considérait l'onde dans une po- modifications qu'apporterait le corps opaque «ilion antérieure, il faudrait avoir épard aux du» les petites ondes élémentaires émanée-

être plus intenses dans cette direction que dans toute autre, et que li s ravons qui en émaneraient, si elles agissaient isolément, seraient (Huilant plus faibles qu'ils s'écarteraient davantage île cette direction. Mais les effets produits par les rayons qui émanent de l'onde primitive se détruisant presque complètement dès qu'ils s'inclinent sensiblement sur la normale, les rayons qui influent d'une manière appréciable sur la quantité de lumière que reçoit chaque point P peuvent être regardés comme d'égale intensité. En étendant l'intégration jusqu'à l'infini, je suppose, pour la commodité du calcul, qu'il eu est de même des autres rayons, vu que l'inexactitude de cette hypothèse ne doit pas apporter d'erreur sensible dons les résultats. On peut aussi, par la même raison , supposer toutes les vibrations de ces ondes élémentaires parallèles à la normale, de manière à ramener la question au problème des interférences, dont j'ai donné la solution dans le Supplément an Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter a l'Académie, le ih novembre 1817.

6. Supposons d'abord le «orps opaque A(î assez étendu pour que la lumière qui vient du coté G soit sensiblement nulle, en sorte que l'on n'ait à considérer que la partie de l'onde située à gauche du point A. Pour déterminer l'intensité de la lumière en P, il faut chercher la résultante de toutes les onde» élémentaire* que tendent à y faire naitre les petits arcs \m', mm, mS\, Mn, nri, n'n, etc. considérés comme autant de points lumineux dont les vibrations s'exécutent eu même temps. Pour déterminer les positions relatives de toutes ces ondes arrivées au point P, de ce point comme centre et d'un rayon égal à la perpendiculaire PM abaissée sur l'onde AME, je décris un cercle "Mr. Les parties nV, n's', ns, mr, m'r, etc. des rayons, comprises entre l'onde AMKet ce cercle, sont précisément les différences des chemins parcourus par les ondes élémentaires qui arrivent en P, et par conséquent le«

do chacun de ses pointa. Si l'un prenait . au contraire, pour point de départ une des poaitiou» pottêneure» île l'onde . il faudrait avoir égard aux variations d'inleinilé de ae»

différente» partie*, ce qui rendrait le calcul très-diâicile et peut-être impraticable dam l'un et l'autre cas.

V XI. intervalles qui séparent leurs points correspondants. Pour calculer leur résultante, je les rapporte toutes à l'onde émanée du point M et à une autre onde distante de celle-ci d'un quart d'ondulation. Si l'on représente par dz une quelconque des petites parties n'n de l'onde primitive, o\ par z sa distance au point M, l'intervalle n's étant proportionnel au carré de l'ai e zs, on aura pour la composante rapportée à l'onde émanée de M, dz cos (az2), et pour l'autre dz sin (az2); en faisant la somme des composantes semblables de toutes les autres ondes élémentaires, on a donc,

fd: cos ( ac2) et (dz sin ( a: 2) ,

et par conséquent la résultante générale de tous ces petits mouvements, ou l'intensité des vibrations lumineuses au point l\ est égale à

y/[/^cos(^2)]S+[/^sin(ar)]2;

ces intégrales étant prises depuis A jusqu'à l'infini W.

7. Elles se divisent naturellement en deux parties, l'une comprise entre A et M, et l'autre entre M et l'infini. Celle-ci reste constante, tandis que la première varie avec la position du point P : ce sont ces variations qui déterminent la largeur et l'intensité des bandes obscures et brillantes.

L'analyse donne l'expression finie des intégrales

fdz cos { a ) et fd: sin ( az* ) ,

prises depuis ^ o jusqu'à 2 = 00; mais on ne peut avoir ces intégrales entre d'autres limites que par le moyen des séries ou des intégration? partielles. C'est par ce dernier procédé, qui m'a paru le plus commode, que j'ai calculé la table suivante, en rapprochant assez les limites de chaque intégrale partielle pour pouvoir négliger le carré de la moitié

'*' Voy. n° XIV. Fresnel, dans le paragraphe nu on vient de lire, suppose iinplicilemenl la connaissance de* règles de calcul qu'il avait exposées dans son Mémoire du 1 9 janvier 1 81 8 (n- XVII de la présente édition).

de l'arc qu'elles comprennent. Cet arc est ici un dixième de quadrant; N« XI. ainsi en supposant

la variation de z qui lui correspond est 0,10, et le carré de sa moitié o,ooa5; par conséquent, le plus grand arc qu'on néglige dans les différentielles n'est que les 0,002 5 d'un quadrant, ce qui donne une exactitude suffisante , car elle surpasse beaucoup celle à laquelle peuvent atteindre les observations.

murai de»

■nrignln.

/ieot(i.«»)

iflom

intégrale*.

/</xiin(îwï*)

de i=o

de î =0

j àt = o,io

3,to

a, mo

0, ii/65

o,5oo3

5,oo

5,io

o,5ooo

o,56to

k° fdz cos (^w**) et fàz s'n (î*2*) depuis z^ro jusqu'à l'infini sont

égalas l'une et l'autre à l-. Ainsi, pour avoir à laide de celte table

l'intensité de lumière qui répond à une position donnée du point P, ou, ce qui revient au môme, à une valeur déterminée de z, considéré comme une des limites de l'intégration poussée de l'autre part jusqu'à — oo, il faut chercher dans cette table les valeurs de fdz cos ^ir/j

et fdz sin (jt-2) «pi répondent à cette valeur dcz, les augmenter de ll'une et l'autre, faire la somme de leurs carrés, et en extraire la racine carrée, si c'est la vitesse des molécules éthérées qu'on veut déterminer; quant à l'intensité, de la sensation, elle est donnée immédiatement par la somme des carrés.

8. La seule inspection de cette table indique des variations périodiques d'intensité dans la lumière, à mesure qu'elle s'éloigne du bord de l'ombre géométrique. Pour avoir les valeurs de z qui répondent aux maxima et minima, c'est-à-dire aux points les plus éclairés et les plus sombres des bandes obscures et brillantes, il faut d'abord chercher dans la table les nombres qui en approchent le plus, et calculer les intensités de lumière correspondantes; au moyen de ces données, et à l'aide d'une formule très-simple, on peut déterminer avec une exactitude suffisante les valeurs de z qui répondent aux maxima et aux minima.

Si l'on représente par a la valeur approchée de z que donne immédiatement la table, par A et B celles de l- + f dz cos Q irr3)

et ^ f fdz sin ( l- itz1 ) qui lui correspondent, et par t enfin le

petit arc qu'il faut ajouter à a pour arriver au maximum ou au minimum de lumière, en négligeant dans le calcul le carré de t, on trouve :

sin -7T a2 -4- lat) \= l — —

L3 ;J v/[*a A - smÛV?T] ' + [waB + cos \ ira')]*'

En substituant dans cette formule les nombres tirés de la table, on obtient les résultats suivants :

•iiim

uni»

*.7il3