OTE SUR LE PRINCIPE D'HUYGHENS

1 . En appliquant le principe d'Huyghens et la théorie des interférences aux phénomènes de la diffraction , pour déterminer les intensités relatives des divers points des bandes obscures et brillantes, je n'ai considéré de Tonde lumineuse que la section faite dans un plan perpendiculaire au bord de l'écran supposé rectiligne et indéfiniment étendu, parce que j'avais jugé qu'on pouvait faire abstraction de l'autre dimension dans l'intégration sans changer les résultats. Mais j'ai négligé d'en donner la démonstration qui, quoique facile à suppléer, ne devait pas être omise en exposant des calculs, qui reposent tous sur ce théorème que j'ai même oublié d'énoncer w.

Pour déterminer l'intensité de la lumière envoyée dans un point P situé au delà de l'écran AB, il faut chercher la résultante de toutes les vibrations excitées en ce point par chaque élément de l'onde incidente considérée comme centre d'ébranlement. Concevons l'onde incidente divisée en une infinité de — fuseaux infiniment étroits, par des méridiens menés par le point lumineux, ou le centre de la sphère, parallèlement au bord de l'écran projeté en A. On peut chercher d'abord, pour chaque fuseau séparément, la résultante de toutes les j vibrations qu'il envoie en P, et déterminer ensuite

la résultante générale de toutes ces résultantes

lilf\

' Celle remarque de Fresnel se rapporte au manuscrit qu'il avait présenté a l'Académie pour le concours sur la diffraction. Dans le Mémoire imprimé on trouve un résumé des considérations développées dans la présente note. (Voy. n* XIV. S A6.j

NOTES DIVERSES SLR LA DIFFRACTION. 197

élémentaires. Or tous ces fuseaux sont indéfiniment étendus, dans le N* XII (F), cas que nous considérons, où l'onde lumineuse n'est interceptée que d'un seul côté; par conséquent, pour chacun d'eux, les intégrales fdv cos qv* et fdv sin «p1 sont prises depuis v = - ^ jusqu'à v = H '-. Les intensités des résultantes élémentaires envoyées en P par les divers fuseaux sont donc proportionnelles à leurs largeurs Km, mm, m' m", m' m', etc. car les rayons lumineux qui émanent des différents points des fuseaux doivent être considérés comme d'égale intensité, du moins dans la partie très-peu étendue de l'onde incidente qui exerce une influence sensible sur la lumière envoyée en P, à cause de l'extrême petitesse de la différence entre les chemins parcourus. De plus les intégrale» étant prises entre les mêmes limites — ^ et 4- ^ pour chaque fuseau, les résultantes élémentaires sont toutes situées de la même manière, en arrière de la môme quantité par rapport aux ondes élémentaires parties des milieux des fuseaux, c'est-à-dire des points compris dans le plan mené par LP, perpendiculairement au bord de l'écran Les intervalles qui les séparent sont donc égaux aux différences nui, m"n", m"n", etc. des chemins parcourus dans ce plan. Ainsi l'on peut déterminer l'intensité relative de la résultante générale poulie point P, en ne considérant, comme je l'ai fait, que les rayons et l'arc de l'onde incidente compris dans ce plan.

2. Quant à la position réelle de la résultante générale, il faut faire attention qu'elle dépend de celles des résultantes élémentaires par rapport aux ondes qui émanent des points m, m, m', etc. Or ces résultantes élémentaires sont en arrière d'un huitième d'ondulation relativement a ces ondes, puisque les deux intégrales fdv cosçu"et fdv sin yiJ prises dans chaque fuseau depuis — jusqu'à 4- sont égales entre elles. Ainsi, lorsqu'on borne l'intégration au plan de la figure î, l'are AmS, qu'on peut confondre avec la section de l'onde lumineuse, quand il ne s'agit que de calculer l'intensité de la résultante générale, doit

<" J'ai toujours 9ii|j|KKM<, dans «ion Mé- toit titaé dans le pion mené par le |>oiiitlufni moire . pour |Ju« Av «iinpHcil^ , qur I.- jmint |> mi |>er|>endiai!4iireitient au bord de l'écran.

\ll (F), en être distingué dès qu'on veut déterminer sa position, et considéré Comme en arrière de l'onde incidente d'un huitième d'ondulation. C'est ce qui explique la différence des résultats qu'on obtient pour les valeurs îles deux composantes générales, selon qu'on intègre dans les deux dimensions, ou seulement dans le plan mené par le point lumineux perpendiculairement au bord de l'écran. Dans le premier cas, les deux composantes sont rapportées à l'onde élémentaire qui est venue du pied de la normale Pm, et à un autre point en arrière d'un quart d'ondulation; dans le second cas, à deux points également séparés par un intervalle d'un quart d'ondulation, mais en arrière de ceux-ci d'un huitième d'ondulation. Je suppose, par exemple, pour fixer les idées, que l'écran soit supprimé, ou infiniment éloigné de LP; alors, en intégrant seulement suivant une dimension, on trouve la même valeur pour Jdv cos ^r1 et fdv sin çr1, prises de i» = — ^ à » = -r- - ; ce qui nous apprend que la résultante est à égale distance de ces deux composantes, ou à un huitième d'ondulation de la première, laquelle est elle-même d'un huitième d'ondulation en arrière par rapport à la composante correspondante de l'intégration double. Celle-ci se trouvant donc «l'un quart d'ondulation en avant par rapport à la résultante, doit être nulle; et c'est aussi ce qu'on trouve en intégrant dans les deux dimensions'*'.

3. Reprenons maintenant le cas d'un écran indéfiniment étendu

En effet, si |tiir l>- point n' on mené dans le plan tancent a l'onde deux aies de coordonné» rertanjpilain-*, et cjn'mi rrnmnpie fjne |>our la tre»-|>eùle partie efficace de l'onde on a •ensiraViiH'ril

on verra que I intégrale dont il «'agît c*t égale à

XÇ dzjya»q{3* -t-f),

r e»l-n-dire a

I Ai ensqx' ! ilrcasqy' — j dxiinqx' l dy sin oV.

V — m \f — on Je» » '

ipii r»l nulle évidemment. | E. Vcaorr.]

d'un côté, et supposons que, de l'autre, l'onde lumineuse est encore N" XII (F).

interceptée en partie par deux autres écrans, ,/i : dont les bords sont dirigés pcrpendiculairement à celui du premier, comme le représente la figure 2 : les intégrales fdv cos qv1 et fdv sin qv* ne seront plus prises pour chaque fuseau

de à + -; mais les limites seront encore

/ constantes pour tous les fuseaux, du moins dans la petite partie de l'onde qui peut envoyer

des rayons sensibles au point P. Si, pour mesurer la différence des chemins parcourus par les rayons lumineux de chaque fuseau, on décrit du point P comme centre des arcs tangents à ces fuseaux, ils n'auront pas à la vérité rigoureusement la même courbure, à cause de la différence de longueur de leurs rayons Pm, Pm', Pm*, Pm™, etc. (fig. î ); mais, dans la petite étendue de l'onde qui peut produire des effets appréciables, ces différences sont trop légères pour qu'elles fassent varier d'une manière sensible les limites des intégrales fdv cos qv1 et fdv sin qv2. Ainsi les valeurs de ces intégrales seront les mômes pour tous les fuseaux, et, par conséquent, leurs résultantes élémentaires seront situées chacune de la même façon par rapport aux ondes élémentaires qui partent des points de l'onde incidente compris dans le plan perpendiculaire aux fuseaux. Les intervalles entre ces résultantes élémentaires seront donc égaux aux différences des chemins parcourus par les rayons mP, m'P, m'P, etc. (fig. î ) compris dans ce plan(l). Il en résulte que la position des minùna et des maxima

('! Ainsi, pour déterminer les intensités l'intégration des fuseaux, qui déterminent relatives des divers pointe des bandes obs- l'intensité des résultantes élémentaires et

cures et brillantes comprises dans ce plan, l'intervalle dont elles se trouvent en arrière,

on peut borner l'intégration a ce plan. Mais par rapport aux rayons émanés des points

si l'on veut calculer l'intensité absolue de la m, m', m", etc. (fig. a), ou, ce qui revient

lumière envoyée en P, et la position de au même, il faut intégrer suivant tes deux l'onde résultante, il faut avoir égard aux valeurs de fdv cos qv* et fdv sin qv% dans

Y1 Mi (F), des franges produites par l'écran AB (fig. 2) doit toujours être la même, que cet écran soit seul ou accompagné de deux autres écrans transversaux disposés rectangulairement; ce qui est conforme à l'expérience, qui montre que dans ce dernier cas les franges produites par les bords des écrans se croisent sans éprouver aucun changement dans leur direction.

Mais si l'écran transversal était tourné obliquement, il deviendrait nécessaire, pour déterminer la position des maxùna et des minima, d'inlégrer suivant les deux dimensions, comme aussi lorsque, l'onde lumineuse n'étant interceptée que par un seul écran, on considère les franges très-près de son extrémité. Dans mes expériences je me suis seulement occupé du cas le plus simple, où l'on peut n'envisager l'intégration quo suivant une seule dimension, persuadé que si la théorie s'accordait avec l'observation dans ce cas, plus commode sous le rapport des mesures et du calcul, le même accord ne pouvait manquer d'avoir lieu dans tous les autres.