AF
OU
et
On a donc
AF=AM,(,'.+ï'i).
AM,(:J1,; + -;-6)-VM',(à+r.):
mais les triangles semblable» GAM et GTP donnent
On trouve de même
Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, on a pour l'équation de condition, entre TP et T'P',
T'P'^TPxV
/ -ib(a -+- b) V "
Il en résulte que les variations de T'P' seront proportionnelles à celles de TP, et que, par conséquent, les parties correspondantes des franges seront situées d'une manière absolument semblable dans les deux cas. Voilà pourquoi les intervalles entre les bandes obscures ou brillantes et leurs intensités conservent toujours les mêmes rapports, quelles que soient les valeurs de a et de 6(l).
'': En regardant Ie9 franges extérieures qui concourent a la production de» franges d'un fd de soie aussi près que possible de ayaut alors de» inclinaisons très-
leur origine avec une lentille d'une ligue de l'hypothèse sur laquelle elle repose n'est plus
foyer, il m'a semblé que les rapports des in- exacte. Il est possible encore qu'à une dis-
tervalles étaient un peu changés ; mais il est Uince aussi petite la lumière réfléchie par le
clair que cette loi doit changer lorsque 6 ou fil influe d'une manière sensible sur le phé-
a deviennent très-petits, puisque les rayons nomène et en altère la loi.
XIV. Je suppose que le point P, que l'on considère, soit, par exemple, le point le plus sombre de la bande obscure du premier ordre, et qu'on représente par S l'intervalle AF, qui répond à ce minimum; on aura
*=AMa( ' -4--U;
\aa ib)
mais
Substituant cette valeur dans l'équation précédente, on eu tire
Cette formule est absolument semblable à celle que nous avons trouvée, en supposant (pie les franges extérieures sont produites par le concours des rayons directs et des rayons réfléchis sur le bord de l'écran. On voit qu'il résulte de la nouvelle théorie, comme de la première hypothèse, que les valeurs de TP correspondantes aux différentes valeurs de b ne leur sont pas proportionnelles, mais sont les ordonnées d'une hyperbole dont celles-ci seraient les abscisses.
56. Je viens d'exposer les rapports généraux qui existent entre les largeurs d'une même frange, lorsqu'on donne au corps opaque des positions diverses par rapport au point lumineux ou au micromètre. Nous avons vu que ces lois pouvaient se déduire de la théorie, indépendamment de la connaissance de l'intégrale qui doit représenter dans chaque point la résultante de toutes les vibrations élémentaires; mais, pour trouver la largeur absolue de ces franges, il est indispensable de calculer cette résultante; car on ne peut déterminer la position des maxima et minima d'intensité de lumière que par la comparaison de ses différentes valeurs, ou du moins par la connaissance de la fonction qui la représente. Pour y parvenir nous allons appliquer au principe de Huyghens la méthode que nous avons indiquée pour calculer la résultante d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes lumineuses, dont les intensités et les positions relatives sont données.
APPLICATION DE LA TIlÉORIK DBS INTERKEBENCKS AU PftlKr.lPK DE Ht ÏC.IIEXS.
V XIV
57. Soit C un point lumineux dont les ondes se trouvent interceptée» en partie par le corps opaque AG. Je suppose d'abord que cet écran soit assez étendu pour que la lumière qui vient du côté G soit sensiblement nulle; en sorte que Ton n'ait à considérer que la partie de l'onde située à gauche du point A. DH représente le plan sur lequel on reçoit l'ombre el les franges dont elle est bordée; il s'agit de tromer l'expression de l'intensité de la lumière dans un point quelconque P de ce plan.
Si du point C comme centre, et d'un ras on égal à CA, on décrit l'arc de cercle AMI, il représentera l'onde lumineuse au moment où elle se trouve interceptée en partie par le corps opaque. C'est dans cette position que je la considère pour calculer la résultante des vibrations élémentaires envoyées en P. Si l'on partait d'une position antérieure A'MT. il faudrait déterminer l'effet produit par l'interposition du corps AG sur chacune des ondes élémentaires émanées de l'arc A'MT, et si l'on considérait l'onde dans une situation postérieure A'MT, il faudrait d'abord déterminer les intensités relatives de ses différents points, dont l'égalité aurait déjà été altérée par l'interposition de l'écran , ce qui rendrait les calculs beaucoup plus compliqués et peut-être impraticables. En prenant l'onde, au contraire, au moment où elle arrive en A, le.s éléments du calcul sont très-simples, parce que toutes ses parties ont encore la môme intensité, et qu'en outre les ondes élémentaires qui en émanent ne peuvent plus éprouver d'altération de la part du corps opaque. Quelque nombreuses que soient les subdivisions que Ton peut encore imaginer dans ces ondes élémentaires, il est clair qu'elles seront alors les mêmes pour chacune, puisqu'elles se propagent librement dans toutes les directions. Il suffit donc de considérer les axes de
l. ho
Y XIV. ces faisceaux de rayons brisés, c'est-à-dire les lignes droites menées en P des divers points de l'onde AMI , et les différences de longueurs de ces rayons directs donneront les différences des chemins parcourus par les résultantes élémentaires qui concourent au point I' .
Cela posé, pour calculer leur résultante totale, je les rapporte à
01 Par des raisonnements semblables on peut démontrer mathématiquement , sans effectuer les calculs, que le résultat doit toujours être le même, soit que l'on considère l'onde génératrice a l'instant où elle atteint le boni de l'écran , soit qu'on l'envisage dans une position antérieure ou postérieure, en ayant égard . dans le premier cas . aux modifications que les ondes élémentaires éprouvent de la part de l'écran . et , dans le second . à celles que l'onde génératrice a déjà éprouvées. En y réfléchissant un peu . on reconnaîtra que ces diverses manières de calculer la résultante ne différent que par la manière de grouper les vibrations élémentaires dans lesquelles on divise l'ébranlement primitif, et qu'on doit toujours arriver a la même valeur de l'intensité de la lumière au point P , s'il résulte de cette théorie , comme de toutes les autres, que la vitesse d'oscillation des molécules du fluide est en raison inverse de la distance au centre d'ébranlement. Or c'est ce que nous pouvons déjà vérifier sans connaître l'expression de l'intégrale qui représente cette vitesse.
Prenons pour unité de distance celle du point lumineux à l'onde génératrice dans une première position . et |>our unité d'intensité d'oscillation celle de l'onde dans la même position. Considérons maintenant un point situé au delà , à une distance x du point lumineux, et par conséquent à une distance x — i de l'onde génératrice, et un autre à une distance x' du point lumineux, et pur conséquent à une distance x — i de l'onde
génératrice, et cherchons successivement la résultante de toutes les vibrations élémentaires envoyées dans ces deux points par l'onde génératrice. Nous ne savons pa» quelle est leur intensité pour un élément Jz iiy uV cette onde; mais nous savons que leur vitesse d'oscillation doit diminuer comme l.i
distance augmente . et que. si elle est
par exemple . dans le premier point , elle sera — ,— — dans le second. Cela |iosé , pour comparer plus aisément les deux résultant*-*, concevons successivement . dans les deux cas . l'onde génératrice divisée en éléments <joi répondent pour les deux points à des différences égales entre les chemins parcourus . alors leurs degrés d'accord ou de discordance seront les mêmes. Dans les petites obliquités où ces rayons peuvent produire des effets sensibles la différence de longueur de chacun d'eux avec le rayon normal est proportionnelle au carré de l'intervalle entre les points dont ils émanent : ainsi les éléments correspondants des deux divisions seront proportionnels entre eux. On trouve, par un calcul géométrique fort simple, que les dimensions des éléments de la division relative au premier point sont aux dimensions des éléments relatifs au second . comme
IX — l IX \
Les surfaces des éléments correspondantseront donc entre elles comme
l'onde émanée du point M situé sur la droite CP, et à une autre onde distante de celle-ci d'un quart d'ondulation, d'après le procédé que j'ai indiqué, en donnant la solution du problème des interférences. Je représente par dz une quelconque des petites parties nri de l'onde primitive, et par z sa distance au point M, ne considérant que la section de l'onde dans le plan perpendiculaire au bord de l'écran; ce qui suffit pour déterminer la position et les intensités relatives des bandes obscures et brillantes, ainsi que je l'ai démontré. L'intervalle nS compris entre l'onde AMI et l'arc tangent EMF, décrit du point P comme centre, sera égal à a et b exprimant toujours les distances G A et AB. Si l'on représente par X la longueur d'une ondulation , on aura, pour la composante de l'onde que l'on considère, rapportée à l'onde émanée du point M,
et pour l'autre composante, rapportée à une onde distante d'un quart d'ondulation de la première,
En faisant la somme des composantes semblables de toutes les autres ondes élémentaires, on a donc
fdz cos i*^^) el Sdz sin (* ^ft") <
et par conséquent les deux résultantes seraient dans le même rapport si les rayons avaient une intensité égale dans les deux cas ; mais nous venons de remarquer que la vitesse d'oscillation des rayons envoyés dans le premier point est à celle des rayons envoyés dans le second, comme
ainsi la première résultante sera à la seconde comme
x — i i x — I 1 ou comme
c est-à-dire en raison inverse des distance de ces deux points au point lumineux. C. Q.
Note ajoutée a la rédaction primitive.
ho.
316 THÉORIE DK LA Ll M 1ÈRE. — PREMIÈRE SECTION.
et par conséquent la résultante générale de tous ces petits mouvements, on l'intensité des vibrations lumineuses au point l\ est égale à
Quant à l'intensité delà sensation, comme elle doit être proportionnelle au carré des vitesses qui animent les molécules du fluide, son expression sera
[/*-wr+[r**(»w
C'est ce que j'appellerai Yinlensilé de la lumière, pour me couronner à l'acception la plus ordinaire de ce mot, réservant l'expression intensité des vibrations pour désigner le degré de vitesse des molécules éthérées dans leurs oscillations.
58. Dans le cas que nous considérons, où le corps AG est assez étendu pour qu'on puisse négliger la lumière qui vient du côté G, les intégrales doivent être prises depuis A jusqu'à l'infini du côté I. Elles se divisent naturellement en deux parties, l'une comprise entre A et M, et l'autre entre M et l'infini. Celle-ci reste constante, tandis qin' la première varie avec la position du point P; ce sont ces variations qui déterminent la largeur et les intensités relatives des bandes obscures et brillantes.
L'analyse donne l'expression finie des intégrales
j&ow^î^*)) et fu^^iijgèiy
prises depuis 2 = 0 jusqu'à 2 = 00; mais on ne peut avoir leur valeur entre d'autres limites que par le moyen des séries ou des intégrations partielles. C'est par ce dernier procédé, qui m'a paru le plus commode, que j'ai calculé la table suivante, en rapprochant assez les limites de chaque intégrale partielle pour pouvoir négliger le carré de la moitié de l'arc qu'elles comprennent W. Cet arc est ici d'un dixième de quadrant; ce qui donne dans les résultats une exactitude plus grande que
1 el i •+- t filant les limites Irès-rapprocheVs entre lesquelles il faut int»igrer ArCOffi '
Uigitizod by
MÉMOIRE COURONNÉ SUR LA DIFFRACTION. 317 celle à laquelle peuvent atteindre les observations. J'ai substitué, pour N XIV. plus de simplicité, aux intégrales ci-dessus, fdv cos qv* et fdv sin qv",
et dvsinqv*. on trouve, pour les formules approximatives qui donnent ces intégrale», en négligeant le carré de ; l ,
fdv sin qv* = ' [ ros9(i>~) (, + 3 + Cos a (i + (/ I)].
Oc sont ces formules que j'ai employées dans le calcul de la table
*: Le Mémoire imprimé au tome V du Recueil de l'Académie des sciences et l'extrait publié dans les Annales de chimie et de physique donnent l'un et l'autre, au lieu des formules qu'on vient de lire . les formules
fdv oos qv* - ^/^y; ;! *'» 'I (' + 0('>30-»inç(»'-^0(i-0li
/rft- cos c/r' = — [ vos q (/ + <) (i > 3< ) + sin 9 (fV 0 (< : - /)];
dont il est facile de recoonullre l'inexactitude, soit en essayant de les employer au calcul de» nombres de la table de Fresnel . soit en remarquant qu'en y faisant i = v, ( = dv elles ne se réduisent pas à
dvcosqv* et 0*1 si n 71''.
mais à
idv cos qv1 et idv sin qv*.
La même erreur se retrouve dans le manuscrit de la main de Fulgence Fresnel , déposé au secrétariat de l'Institut , et même dans le manuscrit entièrement autographe qui a servi à l'impression de l'extrait inséré aux Annales. Mais un brouillon de calcul, conservé dans les papiers de fauteur, donne en même temps les véritables formules et leur démonstration. Nous le reproduisons textuellement :
fdv cos ar' ( V~a ); v = a -h p-hu ;
d'où u = v -p -a, du-dv; {lZÏ+\p.û-+p) 5
/ dv cos qv* —f du cos q [ u* ■+• i ( a ■+■ p ) u *+■ ( a -(- p ) * ] ; les valeurs de u étant comprises entre — p et -t- p , lorsque p est suffisamment petit , égul a
— par exemple, on peut négliger son carré u* et l'on a
M,co»Vl,,(mî + ap) -fducasq[2u{a^p)^-(a^p)t}
s\nq{2u(a + p)+(a->-p)') + C ("!!'' p). [siii9(a-i-p)(a4-3p) - sin q [a + p) {a />)!.
iq(a+p) *l ri r' V«= PJ
îqïâ~^J)1
•N" XIV. q représentant le quadrans ou j 7r, vu qu'il est très-facile de passer des unes aux autres.
Lorsque t est assez petit pour qu'on puisse négliger son carré, au lieu de négliger seulement le carré de sa moitié, on peut se servir des formules suivantes, qui sont plus simples:
fdv cos qv* (JvJt L+ J =-4^ [sin qi (i+7t)-ùnqi*). fdv sin qv* (iZ'i + t) =-^[-«»qi(i-»-a0+cos*7i1lt-»
fdv sin^u* (y — a^p)1 v = a + a + p,
d'où u = v — a - p et dv => du. v=»o, a — — p v = a-»-ap,a = + p fdv sin qv*=fda sin 7 [a*-»- au (a-f-p) -t-(a-i-p)*]
,/V/u sin o; (a -t-p) [au + (a-t-p)] = C — —-r^—j cos<j(a-»-p)(au-4-a-t-p),
- a<?(aVp) tcos<* (a + P) (a-p)-owç(a + p)(fl + 3p)].
Il est évident qu'en rédigeant son Mémoire Fresnel a écrit par inadvertance / au lieu de q{ dans la définition des limites de ses intégrales.
Le brouillon du tableau des valeurs numériques des intégrales porte d'ailleurs en tête l'indication suivante, qui ne laisse aucun doute sur la manière dont les calculs ont été faits :
Intégrations prises entre deux limites très - rapprochées qa et q (a •- >jp): je suppose
fdvcosqv* - —J^—^ [sin q(a + p)(a + 3p) - sin q(a + p) (a-p)],
fdv sin qv' = —^±-^jj[co&q(a + p)(a - p) - cos q [a + p) (a-»-3p)].
Enfin , une partie assez notable du manuscrit des calculs numériques de Fresnel existe encore, et ces deux formules y sont rappelées à chaque instant. [E. Vf.rdet.]
r<> Ces deux formules sont données exactement dans les écrits imprimés de Fresnel comme dans ses divers manuscrits. Elles sont d'adleurs démontrées un peu phis loin, S 5gen note. ( E. Vb«dbt.]
