TABLEAU
MAXtMA IT UlNtUA PODH LES FfUNGBS E1TKRIEIRES, ET DES IXTEKSITES DE LCMIBRE COBBESK>1D\*TES.
TAUDU
Je ».
3,o8ao
a,3oa a
9,aao6
5,o5oo
Il est à remarquer qu'aucun minimum n'est égal à zéro, comme dans les anneaux colorés, ou dans les franges produites par le concours
Effectuant les multiplications et réduisant, elle devient
o = cos q ( i* -+- ait ) ( I —. sin 01 ■ ' ] -t- sin q ( /' -t- ait ) (V -+-,— cos «r ,.
' 3 qi 1 ^ a ni '
Si l'on représente, pour abréger, sin q [i* ait) par .r, cos o (1' -+• ait) sero égal à
Y 1 — x' : substituant et faisant disparaître les radicaux , on trouve
.r' ( Y + — ros oi* | ' = ( 1 - x)' ( I- - sin qi' \ ' iqi ^ iqi ^
d où l'on ù're
aot 1 - sin «i*
X, ousino(» f ait)^ 7 ■ . . - . — , , — -. - - , •
V(aoil - Sin qi ) -+- (agi } -4 cos qi
de deux faisceaux lumineux d'égale intensité, et que la différence entre N* XIV. les maxima et les mimma diminue à mesure qu'on s'éloigne de la tangente au bord du corps opaque ; ce qui explique très-bien pourquoi les franges qui bordent les ombres sont beaucoup moins vives et moins nombreuses que les anneaux colorés, ou celles qu'on obtient par la réflexion d'un point lumineux sur deux miroirs légèrement inclinés entre eux.
60. Pour calculer la largeur des franges extérieures à l'aide de ces nombres, il faut se rappeler que nous avons substitué les intégrales fdvcosqv* et fdvsinqv1 aux intégrales du problème
Cj ( z'{a+b\\ rj • f zx{a+b)\
fdzcas^q-^-) et JVfesin (af^y- j.
en faisant
don l'on tire
par conséquent,
et
fdz cos ( 2q =^7 jdv cos qv ,
• / 2* i a ■+■ b } \ I ab\ r, • a .
ainsi,
— r~— tt étant un facteur constant, il en résulte que les deux
ia (a + b) »
quantités
et (/(/ycos7ua)2H-(/([/i?sin9Uï)a
atteindront en même temps leur maximum ou leur minimal»; et, si l'ou
XIV. représente par n la valeur de v qui répond à un maximum ou à un minimum, la valeur correspondante de z sera donnée par l'équation
, „ / abX
z = n\/T(aTb)' On en déduit ensuite la largeur x de la frange par la proportion
a : z :: a + b : x, d'où l'on tire x —*\*+b\ 0u , substituant à la place de z sa valeur,
t=„v/III±s^,.
11 est à remarquer que le radical est précisément la distance entre le bord de l'ombre géométrique et le point qui répond à une différence d'un quart d'ondulation entre le rayon direct et le rayon parti du bord du corps opaque. Ce résultat était facile à prévoir, car c'est précisément la valeur correspondante de v qui a été prise pour unité dans la table des valeurs numériques des intégrales fdvcosqv* et fdv sin qv*.
Si l'on substitue dans la formule
;*> En élevant celle formule au carré oo obtient
ax* — n' - 6' — an* - 6 = o,
* équation qui , si l'on regarde x et h comme des coordonnées variables, représente une byper-
l»le ayant pour sommets et non pour foyers le point lumineux et le bord du corps opaque. Celte conclusion parait contraire à une assertion du rapport d'Arago; mais la contradiction est facile à lever, et il est rigoureusement vrai que le point lumineux et le bord du corps opaque sont les foyers des hyperboles suivant lesquelles se propagent les diverses franges. En effet, ce qui détermine la production d'un maximum ou d'un minimum en un point douné de -l'espace extérieur a l'ombre géométrique, c'est qu'en ce point la limite finie des intégrales
fdv cos qv 1 et fdv sin qv ' u une valeur déterminée. Mais la variable v ne dépend en définitive que de la différence entre les chemins parcourus par le rayon direct et par le rayon qui a suivi la ligne brisée dont le sommet est sur le bord du corps opaque. Les diverses positions d'une même frange répondent donc à une valeur constante de celte différence et se trouvent par conséquent sur l'hyperbole dont il est question dans le rapport d'Arago. I* formule du texte, en apparence contraire à cette conclusion , s'obtient en négligeant des quantités que l'observation ne peut «pprécier en aucune manière. [E. Vbbdit.]
à la place de n, la valeur qui correspond au mmimwn du premier or- N° XIV. dre , c'est-à-dire au point le plus sombre de la bande obscure du premier ordre, on a
I= 1,873 v/îiIHM.
61 . En partant de l'hypothèse que les franges sont produites par le concours des rayons directs et des rayons réfléchis sur le bord du corps opaque, et en supposant en outre que les rayons réfléchis éprouvent un retard d'une demi-ondulation, nous avons trouvé pour la môme bande,
ainsi ces deux valeurs sont entre elles comme 2 à 1,873. Le second résultat est sensiblement plus petit que le premier, puisqu'U y a près d'un quinzième de différence, et l'on peut en conséquence, par des observations très-précises, décider laquelle des deux théories s'accorde le mieux avec l'expérience, en se servant d'une lumière homogène dont la longueur d'ondulation soit bien connue.
62. La méthode qui m'avait d'abord paru la plus commode pour déterminer la longueur des ondes était de mesurer la largeur des franges produites par deux miroirs légèrement inclinés l'un sur l'autre, en mesurant en même temps la distance entre les deux images du point lumineux; mais, les moindres courbures dans les miroirs pouvant altérer l'exactitude des résultats, j'ai préféré me servir des franges produites par une ouverture étroite combinée avec le verre à surface cylindrique dont j'ai déjà parlé. Nous avons vu qu'alors l'intervalle entre les milieux de deux bandes obscures consécutives quelconques, à droite ou à gauche du centre de l'ouverture, est égal à ^, A représentant toujours la longueur d'ondulation, et c et b la largeur de l'ouverture et sa distance au micromètre; tandis que la distance entre les points les plus sombres des deux bandes du premier ordre est précisément le double de cet intervalle. Avec ces données il est aisé de déduire la valeur de À de la mesure des franges.
Le tableau ci-dessous présente les résultats de cinq observations de ce genre, et les longueurs d'ondes qui s'en déduisent. J'y ai introduit les différentes valeurs de a, ou de la distance du point lumineux au diaphragoie, quoiqu'elles soient inutiles pour le calcul, afin de présenter toutes les circonstances de l'expérience. Ces mesures ont été prises dans une lumière rouge sensiblement homogène, obtenue au moyen du verre coloré dont j'ai déjà parlé, et dont je me suis servi dans toutes mes observations, afin qu'elles fussent parfaitement comparables. Chacune de ces mesures a été prise au moins quatre fois, et ce sont le» moyennes que j'ai portées dans ce tableau.
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o"",ooo63g
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3 ,oo
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,ooo635
9 ,oA6
,ooo63g
Somme des cinq
,oo3 190
Cinquième de la
,ooo638
On voit que ces résultats s'accordent assez bien entre eux, puisque les moins concordants ne diffèrent pas d'un centième. Leur moyenne omm,ooo638 est la longueur d'onde que j'ai adoptée, et dont je me suis servi dans tous mes calculs pour comparer la théorie à l'expérience (,).
M D'après les observations de Newton sur les anneaux colorés, la longueur d'ondulation des rayons rouges extrêmes est o""",ooo665; relie des rayons à la séparation du rouge et
de l'orangé. o*"",ooo5g6; et par conséquent celle des rayons rouges moyens.
<>"\ooo6oo : ainsi la longueur o"*.ooo638 ré|M>ndrait a un point du spectre solaire un
Uigitizod by
63. W Avant d'employer cette valeur de X dans le calcul des franges extérieures et intérieures des ombres des corps, j'ai voulu encore la vérifier sur les franges produites par deux miroirs formant entre eux un augle très-obtus. C'est le cas le plus simple des interférences, puisqu'on n'a à considérer que deux systèmes d ondes qui ont leurs centres aux deux images du point lumineux On peut appliquer à ce phénomène la formule ^ donnant l'intervalle compris entre deux mimma consécutifs, que nous avons trouvée pour les franges intérieures de l'ombre d'un corps étroit, dans l'hypothèse où toute la lumière infléchie partait des bords mêmes de l'écran , dont c représentait la largeur. Dans le phénomène d'interférences produit par deux miroirs, c représenta la distance entre les deux images du point lumineux.
peu plus voisin de l'extrémité que du milieu du rouge, si toutefois les résultats de Newton oe sont pas un peu faibles.
Dans les premières expériences de diffraction que j'ai faites avec une lumière homogène., et qui ont été publiées dans les Annales de chimie et de physique, je n'avais pas employé le même verre rouge que pour oellcs-ci ; mais je pense que la lumière qu'il donne doit différer très-peu de celle du verre rouge dont je me suis servi en dernier lieu. Si l'on emploie la longueur d'ondulation o""\ooo638 pour calculer les observations «le mon premier Mémoire, on trouvera cependant des différences assez notables entre l'expérience et la théorie, comme M. Bahinet me l'a fait remarquer. Mais elles tiennent à l'inexactitude de mes premières observations , qui avaient été faites dans la chambre obscure de l'École polytechnique, dont te plancher, quoique solide, n'avait pas toute
la stabilité nécessaire, comme je m'en suis aperçu depuis, en remarquant que le fil du micromètre changeait un peu de position ijuand on portait le poids du corps à gauche ou h droite du pied de l'instrument. Les nouvelles observations dont je présente ici les résultats méritent beaucoup plus de confiance , parce que le pied du micromètre reposait sur une voûte, et que j'avais acquis plus d'expérience en général sur toutes les précautions qu'il est nécessaire de prendre pour obtenir des mesures exactes a'.
(,) Si l'on subdivisait chacune des deux ondes incidentes en petites ondes élémentaires, comme nous l'avons fait pour les autres phénomènes de diffraction, il est clair qu'on arriverait au même résultat, puisque les intégrales de ces deux systèmes d'ondes élémentaires fictives sont précisément les deux ondes réelles réfléchies par les miroirs.
" Les paragraphes 63 et 64 ont été supprimés dans l'Extrait de ce Mémoire, inséré au tome XI des Annales de chimie et de physique (cahiers de juillet et août 1819).
'M La swoode partie do cette note 11 été ajoutée à l'impression.
N° XIV. Je ne rapporterai que deux expériences de ce genre, les seules dans lesquelles je n'aie oublié aucune des précautions nécessaires pour éviter les erreurs. N'ayant pas pu me procurer des miroirs métalliques assez exactement plans, je me suis servi de deux glaces non élamées, travaillées avec une grande perfection, que j'ai fait enduire d'un vernis noir par derrière pour éteindre la seconde réflexion. Je les ai fixées l'une à côté de l'autre sur un support avec de la cire molle, en ne les pressant que très- légèrement pour éviter les flexions. Un inconvénient qui résulte de cette manière de les fixer, c'est qu'il arrive souvent qu'elles changent un peu de position pendant l'expérience, et les moindres variations rendent l'opération fausse. Pour éviter les erreurs de ce genre, j'ai eu soin de mesurer les franges avant et après la mesure de l'intervalle compris entre les deux images du point lumineux, afin de m'assurer qu'elles n'avaient point changé de largeur pendant cette opération. J'ai déterminé l'intervalle compris entre les deux images du point lumineux, au moyen d'un écran placé à une certaine distance du micromètre, et percé d'un petit trou circulaire qui avait cependant assez de largeur pour que le centre de son ombre, au lieu d'être clair et dilaté, comme cela a lieu quand on se sert d'une ouverture trèsétroite, fût occupé par un cercle obscur d'une très-petite étendue; ce qui rend les mesures plus précises. Cet écran était assez éloigné des deux miroirs pour que les bords du trou fussent suffisamment distants des limites de la partie commune des deux champs lumineux, de façon qu'elles n'eussent pas d'influence sensible sur les franges centrales du petit trou. Je mesurais la distance entre les centres des deux projections lumineuses du petit trou, qui étaient disposées d'une manière symétrique relativement aux franges produites par les deux miroirs, et se trouvaient à la hauteur du micromètre, en sorte que je n'étais point obligé de changer sa position, condition indispensable, parce qu'il n'arrive presque jamais que ces franges aient exactement la même largeur dans toute leur étendue. Connaissant d'ailleurs la distance du petit trou au micromètre et aux deux images du point lumineux, je pouvais, par une simple proportion, déterminer
l'intervalle compris entre ces deux images. Voici les résultats de mes observations : chaque mesure micrométrique a été prise au moins quatre fois.
PREMIÈRE OBSERVATION
Distance du point lumineux aux miroirs a",3a3
• des miroirs au petit trou 3 ,171
du pelit trou au micromètre 1 ,5a 2
Distance totale ou valeur de 6 7,016
Intervalle entre les centres des deux projections lumineuses du petit
trou 3~",37o
On en déduit pour l'intervalle entre les deux images du point lumineux ia""",if»
D'après ces données, on trouve, pour la largeur de onie franges,
au moyen de la formule U"",oh
L'observation m'avait donne* U ,06
Différence — 0 ,01
DEUXIEME ORSBRVATIOS.
Distance du point lumineux aux miroirs a"\3ai
des miroirs au petit trou 3 ,106
du petit trou au micromètre 1 ,533
Distance totale ou valeur de 6 6 ,969
Intervalle entre les centres des deux projections lumineuses du petit
trou.. . . Jrm,iûo
On en déduit pour l'intervalle entre les deux images du point lumineux 1 a"",65
D'après ces données, on trouve, pour la largeur de onze franges,
au moyen de la formule ^~ 3 -'",33
L'observation m'avait donné 3 ,35
Différence — o ,oa
N° XIV. 64. On produit un phénomène absolument semblable à celui que présentent les deux miroirs en se servant d'un verre plan d'un côté, et dont l'autre surface est composée de deux plans formant entre eux un angle saillant très-obtus, afin que les deux images du point lumineux produites par ce verre soient assez rapprochées pour que les franges aient une largeur suffisante et puissent être aperçues. L'interposition de ce verre fait naître, comme la réflexion sur deux miroirs, deux systèmes d'ondes lumineuses, dont les intersections produisent des bandes obscures ou brillantes, selon l'accord ou la discordance de leurs mouvements vibratoires. Il est évident que les mêmes formules doivent s'appliquer aux deux phénomènes (,). Voici les résultats d'une expérience faite avec un verre prismatique , en suivant du reste les mêmes procédés que dans les observations précédentes sur les franges produites par deux miroirs.
Distance du point lumineux au petit trou o",*!;;
du petit trou au micromètre i ,s65
Distance totale ou valeur de b 7
Intervalle entre les centres des projections lumineuses du petit trou. hmmM> On en déduit pour l'intervalle entre les deux images du point lumineux ai ,60
D'après ces données, on trouve, pour la largeur de onze franges,
au moyen de la formule *""%3i
L'observation m'avait donné s ,3o
Différence -ho .01
Chacune des deux moitiés de ce btprimu donne une image virtuelle du point lumioew où vont très-approximativement concourir les prolongements de tous les rayons réfracté*- Suivant le mode de raisonnement qu'on a appliqué plus haut au cas d'une lentille spbériqoe ou cylindrique (voir la note de l'éditeur sur le S 5o), on démontrerait aisément que les ondes réfractées diffèrent très-peu des deux systèmes d'ondes spbériques ayant pour centre» les deux images virtuelles dont il s'agit. On peut donc traiter ces deux images comme celles
65. Après avoir ainsi vériOé sur les phénomène» dont les lois théo- N" XIV. riques sont les plus simples et les plus évidentes, la longueur d'ondulation que j'avais déduite de la mesure des franges produites par une ouverture étroite combinée avec une lentille cylindrique , j'ai appliqué cette même longueur d'ondulation au calcul des franges extérieures des ombres, au moyen de la formule
dans laquelle j'ai substitué à la place de n les différentes valeurs tirées du tableau des maxima et minima.
Le tableau suivant présente les résultats du calcul comparés à ceux de l'observation. J'ai déterminé seulement la position des minima dans mes expériences (ce qui est suflisant pour la vérification de la théorie), parce que mon œil assignait mieux en général le point le plus sombre d'une bande obscure que le point le plus éclairé d'une bande brillante.
qui sont fournies par deux miroirs inclinés, et faire usage pour le calcul il*' la longueur d'ondulation delà formule simple — . [E. Vrm>r.]
Ici s'arrête la coupure faite pour l'Extrait de ce Mémoire inaéré au tome XI des Annales de chimie et de physique. La première phrase du S 65 est modifiée comme il suit dan» cette première publication :
«Après l'avoir vérifiée sur tes franges produites par deux miroirs, qui présentent le cas rie plus simple des interférences, j'ai appliqué cette même longueur d'ondulation au calcul «des franges extérieures des ombres au moyen de la formule
«dans laquelle j'ai substitué, etc. *
V XIV
TABLEAU COMPARATIF
DES RESULTATS DE L'OBSERVATION ET DE CEU\ Dl LA Tllfc'JHIt SOB LES HUMIts EXTERIEURES DES OMBRES DANS I H l.l Mli'.RK ROUGE HOMOGÈNE . POUR LAQUELLE LA LONGUEUR D'ONDULATION EST EGALE À o"~,000638.
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