OU * J

trouve — . On aurait de même pour la distance entre les deux bandes du 3°" ordre — , et ainsi de suite. On voit d'après cela que la distance entre deux bandes consécutives est toujours égale à — , de quelque ordre qu'elles soient, et que les franges intérieures doivent par conséquent diviser l'ombre en intervalles égaux, comme l'expérience le prouve.

C'est surtout dans l'étude des bandes intérieures que la loupe est bien supérieure aux autres moyens d'observation : en recevant l'ombre sur un carton le peu d'éclat de ces franges empêche très-souvent de les distinguer.

18. J'ai fait, à l'aide du micromètre, un grand nombre d'observations sur la largeur des franges intérieures produites par la lumière blanche, en me servant de fils métalliques de différentes grosseurs, et les résultats de mes expériences ont toujours été d'accord avec ceux du calcul. Mais, afin de ne pas allonger inutilement ce Mémoire, déjà trop étendu pour les bornes d'un journal, je présenterai seulement les résultats des observations que nous avons faites, M. Arago et moi, dans une lumière homogène. Le grand degré de simplicité auquel le phénomène se trouve alors ramené ajoute à la certitude des mesures et à l'évidence des conséquences que l'on en déduit.

Pour obtenir une lumière homogène, nous nous sommes servis du même verre coloré que nous avions employé dans nos observations sur les franges extérieures. La valeur de d .qu'il faut substituer dans la formule est donc toujours ora,oooooo623.

TABLEAU COMPARATIF

DES RÉSULTATS DE L'OBSERVATION IT Dl LA TBBORIE POU» LES BANDES INTÉRIEURES PRODUITES PAR UNE LUMIERE ROUGE HOMOGENE.

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Ces observations, comme on le voit, s'accordent fort bien avec les résultats du calcul, et prouvent directement que la largeur des franges intérieures est en raison inverse de celle du corps opaque, et indépendante de sa distance au point lumineux, ainsi qu'on pouvait le conclure de la formule ^, qui exprime l'intervalle entre deux bandes consécutives. Elle indique en même temps que les franges intérieures se propagent en ligne droite, puisque leurs largeurs et leurs distances à l'axe SD (fig. in) sont proportionnelles à la distance b du corps qui projette l'ombre au carton sur lequel on la reçoit. Ainsi les hyperboles qui déterminent leur position n'ont pas une courbure sensible comme celles suivant lesquelles se propagent les franges extérieures.

19. La seule inspection de la formule y fait voir pourquoi l'ombre d'une aiguille ou de tout autre corps pointu s'ouvre en deux vers la pointe, et se divise en franges d'autant plus nombreuses et plus rapprochées entre elles qu'elles s'éloignent davantage de l'extrémité du style. Il est facile de concevoir, d'après la même théorie, pourquoi vis-à-vis les deux extrémités d'un petit papier collé au fil métallique dont on ob-

serve les franges intérieures, elles se portent du côté du papier en se N° VIII. rapprochant les unes des autres, jusqu'à ce quelles se fondent dans son ombre.

20. Lorsqu'on présente une carte très-obliquement aux rayons de lumière, de manière à produire des franges dans l'intérieur de son ombre, si cette carte n'est pas trop rapprochée du point lumineux, les bandes intérieures paraissent placées d'une manière symétrique par rapport aux bords de l'ombre, c'est-à-dire, que l'intervalle clair qui sépare les deux bandes obscures du premier ordre se trouve sensiblement au milieu de l'ombre, malgré l'obliquité de la carte, comme dans le cas où l'on emploie un cylindre. Il est facile de s'en rendre raison : les ondulations doivent être comptées du point lumineux et non pas des bords de la carte. Le milieu de la bande brillante comprise entre les deux raies obscures du i* ordre est produit par la rencontre des ondulations qui sont parties en même temps du point lumineux : or, dans le quadrilatère formé p:u' les rayons qui vont du point lumineux au bord de la carte, et des .arda de la carte au milieu de la bande brillante, ces rayons faisant entre eux des angles très-petits, et la différence entre les deux premiers cotés du quadrilatère étant égale à la différence entre les deux autres, la ligne droite qui joint le point lumineux et l'angle opposé divise en deux parties sensiblement égales l'angle formé par les deux rayons incidents, et le milieu de la bande brillante doit être fort peu éloigné du milieu de l'ombre géométrique W.

En rapprochant la carte du point lumineux on augmente l'angle du

"> Soit G le point lumineux, A et B tes Fig.3.

deux bord* de U carte, M le milieu de la bande brillante do i" ordre, formée par la rencontre des rayon» infléchis BM et AM,

c'est-à-dire un point placé de telle manière qu'on ait CB+BM=CA+ AM. Je suppose que des points A, B et M on ait abaissé les perpendiculaires AE, BF, MG sur la droite CG qui divise en deux parties égales l'angle AGB, et qui détennine par conséquent le milieu de l'ombre géométrique. Si l'on représente CF par a, FG par b, EF par/, et BF par *, on trouve pour la valeur de MG . c'est-à-dire pour la distance du milieu de la

quadrilatère, et le milieu de la bande brillante doit s'éloigner du milieu de l'ombre en se portant vers le côté de la carte le plus près de la loupe. C'est aussi ce que j'ai observé. Le défaut de symétrie dans la position des franges intérieures se trouve encore augmenté par une autre cause, lorsqu'on rapproche la carte du point lumineux: la différence entre les quantités dont l'ombre géométrique est dépassée de chaque côté par l'ombre réelle devient alors plus sensible, puisqu'elle doit croître dans le même rapport que la différei ce de largeur entre les bandes extérieures produites par les deux bords de la carte.

Je n'ai point encore comparé dans ce cas, par des mesures exactes, la théorie et l'expérience ; mais je ne doute pas qu'elles ne s'accordent aussi bien que dans les cas plus simples que j'ai choisis pour mes observations; car le phénomène est toujours de même nature, et il n'y a de différence que dans la complication des circonstances.

21. J'ai pensé qu'il serait intéressant de vériGer encore la formule qui donne la largeur des franges extérieures dans une des limites de la loi de la diffraction, en mesurant l'ombre d'un fil éclairé par une étoile ;' pour cela j'ai choisi une étoile très-brillante, et je me suis servi d'une

bande brillante du t" ordre au milieu de l'ombre géométrique .

'Âa(b+f)+b(a-f)-2y/ab[a-f) (6+/)]

en négligeant les termes multipliés par les autres puissances de e. On peut, au moyen de cette formule, calculer avec une exactitude suffisante combien le milieu de la bande brillante du i" ordre doit être éloigné du milieu de l'ombre géométrique. Je suppose . par exemple, d= a",/=o",o6,«=o",ooa .

et 6 o",75a. (L'intervalle entre les bandes intérieures est alors d'un dixième de millimètre à très-peu près.) En substituant ces valeurs de a, b, e et/ dans la formule, on trouve pour la valeur de MG, ©■,oooo48, c est-à-dire, un peu moins de la moitié d une frange.

Si l'on prend pour second exemple a «= o",5o, /=o",o&. e = o",ooa, et 6 = o", 366 (l'intervalle entre les franges intérieures est alors d'un demi-dixième de millimètre environ), on trouve pour la valeur de MG, o",oooi6a. On voit que dans ce second cas, où la carte est plus près du point lumineux , la distance entre le milieu de la bande brillante du i" ordre et le milieu de l'ombre géométrique devient plus considérable , et est plus que triple de l'intervalle compris entre deux bandes consécutives. Si le carton augmente de largeur, MG augmentera aussi. Supposons, par exemple, que / soit égal à un décimètre, toutes les autres quantités restant les mêmes, on trouvera pour MG, o",ooo6 , c'est-à-dire . huit fois la largeur d'une frange.

lentille peu convexe, afin de ne pas trop affaiblir la lumière : cette len- \° Mil tille avait deux pieds de longueur focale. Le fil de fer, qui avait un millimètre de diamètre, était placé à 8 mètres de distance du foyer de la lentille. La largeur de son ombre, entre les deux bandes extérieures du 1er ordre, calculée d'après la formule

c [a -+- b) , ^ lidb {a ■+- 6)

qui devient

lorsque le point lumineux est infiniment éloigné, devait être par conséquent om, 00707. J'avais fixé sur un petit cadre, que la lentille portait à son foyer, deux fils parallèles espacés de soixante et dix millimètres, distance mesurée de milieu en milieu le plus exactement possible. Ces fils étaient éclairés par une lampe. Ayant l'œil placé à l'autre foyer de la lentille, je voyais à la fois ces deux fils et l'ombre du fil de fer, qui marchait d'occident en orient par l'effet du mouvement diurne. Je tournais la lentille un peu à l'orient, et j'attendais le moment où les parties les plus sombres des deux franges passaient sur les fils du petit cadre. Il m'a toujours semblé qu'il se trouvait au milieu de chacune en même temps, et j'ai répété dix fois cette expérience. Je dis 1/ ma xcmblé, parce que le mouvement involontaire de ma tète, qui n'était pas appuyée, et la distance à laquelle mon œil se trouvait des fils, à cause du peu de convexité de la lentille, m'empêchaient de voir bien nettement à la fois ces deux fils et l'ombre du fil de fer. Avec une lentille un peu plus convexe, d'un pied ou de dix-huit pouces de foyer, on distinguerait mieux les fils, et la lumière de l'étoile ne serait pas encore assez affaiblie pour qu'on ne vît nettement les deux franges extérieures du ifr ordre.

22. Il est utile de remarquer qu'il peut arriver dans beaucoup de circonstances que les bandes intérieures en sortant de l'ombre conservent assez de force pour influer sensiblement sur les franges extérieures. Cela dépend de la largeur du corps opaque et de la distance à laquelle on observe son ombre. Le phénomène devient alors trèscompliqué en apparence; et les espèces d'anomalies qui en résultent

Y' VIII. me semblaient tout à fait inexplicables lorsque je commençai à m'occuper de la diffraction. On peut éviter ce mélange des (ranges, qui occasionnerait des erreurs dans les observations, en augmentant ou diminuant suffisamment le diamètre du corps opaque W.

23. Les franges extérieures, celles que 1 on observe dans l'intérieur des ombres et qui prouvent si bien l'influence que les rayons lumineux exercent les uns sur les autres, font voir aussi que les rayons qui ont été obscurcis par la discordance de leurs vibrations redeviennent lumineux ensuite dans la partie du trajet où les ondulations sont d'accord, et qu'ainsi ils peuvent reprendre leur éclat après l'avoir perdu momentanément. Les ondulations en se croisant se modifient sans doute au point de discordance; mais leur mouvement réglé et leur forme circulaire se rétablissent ensuite. C'est de ce principe que j'ai tiré les formules dont je me suis servi et que l'expérience confirme

24. Il est à remarquer que dans la partie des bandes obscures où la discordance est la plus complète il y a encore un peu de lumière, même lorsqu'on forme le point lumineux avec une seule espèce de rayons. Si l'angle sous lequel se croisent les rayons était infiniment petit, et que la discordance de leurs vibrations fut la plus grande possible, c'estr-a-dire d'une demi-ondulation, alors leurs mouvements se contrariant constamment , ils perdraient peut-être complètement leurs propriétés lumineuses.

25. Les franges du ae ordre, du 3e, du etc. tant intérieures qu'extérieures , formées par la rencontre d'ondulations qui ne sont pas parties en même temps du point lumineux, font voir que les ondulations ont lieu aux mêmes points de l'espace pendant plusieurs vibrations consécutives; et c'est ce qu'il serait très-naturel de supposer quand même on n'en aurait pas cette preuve.

26. La théorie de la diffraction que je viens d'exposer est fondée

w Cette assertion , contradictoire avec elle-même , ne se trouve pas corrigée sur le tirage a part, revu par Fresnel , qui a servi de texte pour cette édition. On a dû, en conséquence, la laisser subsister; mais il n'est pas douteux que l'auteur n'ait voulu dire : «en augmentant " suffisamment le diamètre du corps opaque ou en diminuant suffisamment la distance d'où ffl'on observe, n [E. Verdît. ]

DEUXIÈME MÉMOIRE SUK LA DIFFRACTION. 113

sur l'accord des vibrations (du moins dans un angle sensible) des dif- N° VIII. férents rayons partant d'an même point lumineux. Comment cet accord se trouve-t-il établi au foyer d'une lentille, dans un petit trou au travers duquel on fait passer la lumière? comment se fait-il que ce petit trou et le foyer de la lentille deviennent les centres des ondulations lumineuses? C'est ce qu'il s'agit d'expliquer.

Une particule incandescente, dont les vibrations produisent des ondulations lumineuses, doit être évidemment le centre de ces ondulations. On peut en dire autant de toutes les particules dont un corps incandescent est composé. Lorsqu'il est assez peu étendu ou assez éloigné pour être vu sous un angle infiniment petit, comme les étoiles, par exemple, les franges produites par ces diverses particules radieuses se trouvent à la même place, et le phénomène se passe comme si les rayons partaient d'un même point.

De quelque manière qu'on forme un point lumineux, la source de la lumière est toujours un corps incandescent dont chaque particule est le centre d'ondulations sphériques. Lorsqu'elles passent par un petit trou, une partie de la lumière est infléchie par ses bords dans une foule de directions différentes, et forme de nouvelles ondulations sphériques, dont les centres sont sur les bords du trou; caries ondulations ont toujours la même longueur quelle que soit la direction suivant laquelle les rayons aient été infléchis.

Quelque petit que soit le trou, comme il n'est jamais un point mathématique, les rayons infléchis par ses bords n'ont pas exactement les mêmes centres d'ondulation, et l'accord de leurs vibrations ne s'étend pas à une distance indéfinie de l'axe du faisceau lumineux; mais l'espace dans lequel elles s'accordent sensiblement est en raison inverse de la largeur du trou , et devient considérable lorsque le trou est suffisamment étroit.

Ainsi une partie de la lumière, après avoir traversé le petit trou, formera dans des angles sensibles des ondulations sphériques ayant leurs centres à ce trou ; et cela suffit pour la production des franges.

27. On se demandera maintenant si les rayons directs, dont les

N* VIII. ondulations n'ont pas leur centre au petit trou comme les rayons infléchis, ne peuvent pas produire des franges d'une largeur différente et qui rendent celles-ci confuses. Il est aisé de voir que cela ne doit pas avoir lieu lorsque le trou est suffisamment étroit.

En effet, soient G une des sources des ondulations lumineuses, A et

B les bords du trou, et AF sa distance au corps opaque. Je suppose que le diamètre AB du trou soit extrêmement petit par rapport à AF. Des points C, A et B comme centres je décris les arcs de cercle EFG , FHK , GKL.

Pour que l'arc FHK ait une étendue sensible par rapport à son rayon, il faut qu'il soit beaucoup plus grand que le diamètre du trou, ce l qui ne peut avoir lieu que lorsque le point C est très-près de AB. Mais alors, AC étant très-petit par rapport à AF, l'arc FHK a presque la même courbure que les arcs EFG et GKL, et les franges produites par les rayons directs doivent coïncider sensiblement avec celles que font naître les rayons infléchis. Quand, au contraire, le point lumineux G s'éloigne de AB, la courbure de l'arc FHK diffère de plus en plus de celle des deux autres; mais, en même temps que cette différence augmente, la longueur de l'arc diminue; en sorte que l'anse de panier EFHKL doit toujours coïncider sensiblement avec le cercle décrit du point D comme centre. Ainsi la différence de courbure entre les ondulations des rayons directs et des rayons infléchis ne peut pas influer d'une manière sensible sur la position et la netteté des franges lorsque le trou est suffisamment étroit.

28. Passons maintenant au cas où le point lumineux est formé par • une lentille très-convexe. Je ne considérerai, comme dans le cas précédent, que les ondulations formées par les vibrations d'une des particules du corps éclairant, ce qu'on dit de l'une pouvant s'appliquer à toutes les autres. Je supposerai, pour simplifier le calcul, qu'elle est à une distance infinie, comme celle du soleil, et que les rayons ré-

DEUXIÈME MÉMO IKK SUH LA DIFFRACTION. 115

tractés ne sortent pas du verre, afin de n'avoir qu'une réfraction à considérer. On verra facilement qu'on peut appliquer les mêmes raisonnements à des circonstances plus compliquées.

Soient donc DA et EB deux rayons lumineux parallèles vibranl d'accord, IAB la surface du verre, C son centre, et F le foyer où se

réunissent les deux rayons réfractés AF et BF. j. Je suppose AD perpendiculaire à la surface du verre, en sorte que la réfraction ne change pas sa direction. Par le point A je mène AH perpendiculairement aux rayons incidents; A et H sont des points correspondants des mômes vibrations. Le rayon EB a encore HB à parcourir dans l'air lorsque le rayon DA est déjà entré dans le verre : or, l'équivalent de HB dans le verre est la même longueur divisée par le rapport entre le sinus d'incidence et celui de réfraction dans le passage de la lumière de l'air dans le verre. C'est une conséquence de la théorie des vibrations, comme je le ferai voir en donnant dans cette théorie l'explication de la réfraction. Je représente par p ce rapport, par r le rayon du cercle IAB, et par i l'angle d'incidence EBG. Après avoir calculé AF, BF et HB, en ajoutant BF à l'équivalent de HB dans le verre et retranchant cette somme de AF, je trouve :

\ \ V - sîn '/ - \ i — sin V P I

sin"/ — y i — sin'i P

Cette expression donne la différence entre les vibrations des rayons à leur point de concours F. En la réduisant en série et négligeant tous les termes au delà de la quatrième puissance de sin i, on trouve :

11 est facile de voir, d'après cette formule, que la différence entre les vibrations des deux rayons au point F n'est encore qu'une petite partie de la longueur d'une ondulation, lorsque r et i ont déjà des valeurs assez considérables. Si r, par exemple, était égal à un centimètre, pour que la discordance fût complète, c'est-à-dire, pour que les deux rayons