SECTION H

33. Après avoir démontré, dans la première section de ce Mémoire, que le système de l'émission, et même le principe des interférences, quand on ne l'applique qu'aux rayons directs et aux rayons réfléchi* ou infléchi* sur le* bord* mêmes de l'écran , sont insuffisants pour expliquer les phénomènes de la diffraction, je vais faire voir maintenant qu'on peut en donner une explication satisfaisante et une théorie générale ,

!,) Les phénomènes des tubes capillaires présentent l'élévation d'un liquide au-dessus de son niveau entre deux surfaces séparées par un intervalle très-sensible, quoique l'attraction exercée par ces surfaces sur le liquide ne s'étende qu'a une distance infiniment petite. La raison en est que les molécules liquides attirées par la surface du tube capillaire attirent à leur tour les molécules liquides situées dans leur sphère d activité.

et ainsi de suite de proche en proche. Mais . dans la théorie de l'émission, on ne peut pas appliquer aux phénomènes de la diffraction une explication analogue ; car, d'après l'hypothèse fondamentale, les molécules lumineuses n'exercent point d'influence sensible sur la marche des molécules voisines : on n'admet aucune dépendance mutuelle entre leurs mouvements; autrement ce serait rentrer dans la supposition d'un fluide.

l,) Les matières qui composent la section II étaient disposées autrement dans la rédaction primitive.

Cette section commençait par {Application du principe de Huyghen* aux phénomènes de ta diffraction (S 63 à 57); venait ensuite la Solution du problème dee interférence* (S 35 à 4a).

Le préambule (8 33 à 34) a été ajouté à l'impression, et divers passages ont éprouvé •les changements qu'on reconnaîtra dans les variantes.

dans le système des ondulations, sans le secours d'aucune hypothèse N° Xl\. secondaire, et en s'appuyant seulement sur'le principe d'Huyghens et sur celui des interférences, qui sont l'un et l'autre des conséquences de l'hypothèse fondamentale.

En admettant que la lumière consiste dans des vibrations de l'éther, semblables à celles des ondes sonores, il est aisé de se rendre raison de l'inflexion des rayons lumineux a des distance» sensihles de IVcrat. (a

w C'est ici que commence l'Extrait publié dans les Annales de chimie et de physique . dont il a été question dans la note de l'éditeur placée au commencement de ce Mémoire. Tout ce qui précède est remplacé dans l'Extrait par le plissage suivant :

• THiORlil Oï LA DIFFrUCTIOl.

Avant d'exposer la théorie de la diffraction a laquelle j'ai été conduit par le système des

* ondulations, je crois devoir rappeler le résultat de mes observations qui me parait le plus -difficile à concilier avec l'hypothèse de l'émission.

"Tous les phénomènes de la diffraction s'accordent à démontrer que les rayons lumineux «-qui passent auprès des corps ne sont pas seulement infléchis a leur surface même, mais t encore a des distances très-sensibles de cette surface, et qui peuvent être d'autant plus con- -sidérablea que le point lumineux est plus éloigné. Ainsi, par exemple, s'il est à une distance t infinie, Comme une étoile, quelle que soit la largeur d'une ouverture par laquelle on fait t passer le faisceau lumineux, en s'en éloignant 'suffisamment on le verra toujours se dilater "et répandre une lumière à peu près uniforme dans un espace beaucoup plus large que la ir projection de l'ouverture. On a vu, dans les notes jointes au rapport de M. Arago, que cet » effet ne pouvait se concevoir qu'en supposant que les rayons s'infléchissent à des distances f très-sensibles des bords de l'ouverture, puisque, s'il n'y avait que les rayons qui ont rasé ses tr bords qui éprouvassent cette inflexion, la quantité de lumière infléchie, beaucoup moindre <rque celle qu'on observe, ne présenterait qu'une teinte obscure sur laquelle se détacherait

* vivement la projection brillante de l'ouverture formée par le pinceau des rayons directs.

«Mais si les molécules lumineuses sont dérangées de leur direction primitive par l'influence *des corps en passant à des distances très-sensibles de leur surface, il faut supposer, d'après «le système de l'émission, que cet effet est produit par des forces attractives et répulsive» ▼qui émanent des corps, et dont la sphère d'activité embrasse les mêmes intervalles, ou bien ir l'attribuer à de petites atmosphères aussi étendues que ces sphères d'activité, et dont le ir pouvoir réfringent différerait de celui du milieu environuant. Mais il résulterait également » de ces deux hypothèses que l'inflexidn des rayons varierait avec la forme ou la nature *des bords de l'ouverture : or l'on peut s'assurer, par des expériences variées et des mesures précises, que ces circonstances n'exercent aucune influence appréciable sur le phé-

En effet, quand une petite partie d'un fluide élastique a éprouvé une condensation , par exempte , elle tend à se dilater dans toutes les directions; et si, dans une onde entière, les molécules ne se meuvent que parallèlement à la normale, cela tient à ce que toutes les parties de l'onde situées sur la même surface sphérique éprouvent simultanément la même condensation ou dilatation, et qu'ainsi les pressions transversales se font équilibre. Mais, dès qu'une portion de l'onde lumineuse se trouve interceptée ou retardée dans sa marche par l'interposition d'un écran opaque ou transparent, on conçoit que cet équilibre transversal est détruit, et qu'il doit en résulter pour les différents points de l'onde la faculté d'envoyer des rayons suivant de nouvelles directions.

H serait sans doute bien difficile de suivre par l'analyse mécanique toutes les modifications que l'onde lumineuse éprouve successivement depuis l'instant où la rencontre de l'écran en a intercepté une partie : aussi n'est-ce pas de cette manière que nous allons essayer de déterminer les lois de la diffraction. Nous ne chercherons pas à découvrir ce qui se passe dans le voisinage du corps opaque, où ces lois sont sans doute extrêmement compliquées, et où la forme des bords de l'écran doit avoir encore une influence notable sur la position et l'intensité

•momène'*1, et que la dilatation du faisceau lumineux dépend uniquement de la largeur de «l'ouverture. Les phénomènes de la diffraction sont donc inexplicables dans le système de "l'émission.

«Dans celui des ondulations, au contraire, i) est aisé de se rendre raison de l'inflexion «des rayons lumineux à des distances sensibles de l'écran. En effet, quand une petite partie ird'un fluide élastique a éprouvé une condensation , par exemple, elle tend à se dilater, etc.*

Le reste de l'Extrait est une reproduction pure et simple du Mémoire, sauf une suppression qui sera indiquée en son lieu.

(*' Du moins , tant qu'on ne reçoit pas t'ombre trop près du bord de l'écran, ou que la surface du corps opaque rasée par les rayons lumineux n'a pas trop d'étendue relativement a cette distance; car il pourrait se faire, dans ce cas, que le» rayons réfléchis eussent une influence sensible «ur l'aspect des phénomènes, comme cela arrive

lorsque la surface rasée par les rayons lumineux est celle d'un miroir suffisamment étendu, et qu'on en observe les franges â une petite distance. D'ailleurs il y aurait des diffractions $ueamvts sur une étendue trop considérable pour qu'on pût en faire abstraction.

des franges. Nous nous proposons de calculer les intensités relatives N° XFV. des différents points de Tonde lumineuse seulement après qu'elle a dépassé l'écran d'tfn grand nombre d'ondulations. Ainsi les positions de l'onde que nous considérerons seront toujours censées éloignées de l'écran d'une quantité très-considérable par rapport à la longueur d'une ondulation lumineuse.

34. Nous n'envisagerons pas le problème des vibrations d'un fluide élastique sous le même point de vue que les géomètres l'ont fait ordinairement, c'est-à-dire, en ne considérant qu'un seul ébranlement. Dans la nature, les vibrations ne sont jamais isolées; elles se répètent toujours un grand nombre de fois, comme on peut le remarquer dans les oscillations d'un pendule ou les vibrations des corps sonores. Nous supposerons que les vibrations des particules lumineuses s'exécutent de la même manière , en se succédant régulièrement par séries nombreuses; hypothèse où nous conduit l'analogie, et qui d'ailleurs parait une conséquence des forces qui tiennent les molécules des corps en équilibre. Pour concevoir une succession nombreuse d'oscillations à peu près égales de la même particule éclairante, il suffit de supposer que sa densité est beaucoup plus grande que celle du fluide dans lequel elle oscille. C'est ce qu'on devait déjà conclure de la régularité des mouvements planétaires au travers de ce même fluide, qui remplit les espaces célestes. Il est très-probable aussi que le nerf optique n'est ébranlé, de manière à produire la sensation de la vision, qu'après un certain nombre de chocs successifs.

Quelque étendus qu'on suppose tous les systèmes d'ondes lumineuses, il est clair qu'ils ont des limites, et qu'en envisageant leurs interférences on ne peut pas dire de leurs extrémités ce qui est vrai pour l'espace dans lequel ils se superposent. Ainsi, par exemple, deux systèmes d'ondes d'égale longueur et de même, intensité, différant dans leur marche d'une demi-ondulation, ne se détruisent mutuellement que dans les points de l'éther où ils se rencontrent, et les deux demi-ondes extrêmes échappent à l'interférence.

Nous supposerons néanmoins que les systèmes d'ondes éprouvent la

Y XIV. même modification dans toute leur étendue, la différence entre cette hypothèse et la réalité devant être inappréciable pour nos sens; ou, ce qui revient au même, nous considérerons ces séries d'ondulations lumineuses comme indéfinies et comme des vibrations générales de l'éther, dans le calcul de leurs interférences.

SOLUTION DU PftOfiLMB DES iriîEBFBiBNCES.

35. Étant données les intensités et les positions relatives d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes lumineuses de même longueur W, et qui se propagent suivant la même direction, déterminer ï intensité des vibrations résultant du concours de ces différents systèmes fondes, c'est-à-dire , la vitesse oscillatoire des molécules éthérées M.

D'après le principe général de la coexistence des petits mouvements, la vitesse totale imprimée à une molécule quelconque du fluide est égale à la somme des vitesses que l'onde de chaque système lui aurait imprimée séparément. Comme ces ondes ne coïncident pas, ces différentes vitesses ne dépendent pas seulement de l'intensité de chaque onde, mais encore de sa position par rapport à la molécule, dans l'instant que l'on considère. Il faut donc connaître la loi suivant laquelle les vitesses d'oscillation varient dans la même onde, et, pour

Nous ne nous occuperons pas des in- je, serait infiniment trop rapide pour être

terférences des ondes lumineuses de ion- appréciable, et ne produirait qu une

gueurs différentes . qu'on doit considérer en lion continue.

jjénéral comme émanant de sources diffé- ' C'est M. Thomas Young qui le pre-

rentes, et qui, n'étant pas en conséquence mier a introduit le principe des interférences

ujetties à la simultanéité dans leurs per- en optique, où il en a fait beaucoup d'appli-

turbalions, ne sauraient présenter des effets cations ingénieuses. Mais, dans les propar leur influence mutuelle. D'ail- blêmes d'optique qu'il a résolus de cette

leurs, en supposant même que ces effets manière il n'a considéré, je crois, que les

fussent constants, la succession régulière de cas extrêmes d'accord ou de discordance

renforcements et d'affaiblissements de vibra- complète entre deux systèmes d'ondes . sans

lion qui résulterait de» interférences des deux calculer l'intensité de la lumière pour les cas

espèces d'ondes, et que l'on peut exactement intermédiaires et pour un nombre quel-

rr aux battements que font entendre conque de systèmes d'ondes, comme je me

deux sons discordants ; cette succession , dis- propose de le faire ici.

cela, remonter à la cause qui la produite et dont elle tient tous ses Y XIV. caractères.

36. H est naturel de supposer que les vibrations des particules éclairantes qui produisent la lumière s'exécutent comme celles des corps sonores, c'est-à-dire , suivant les mêmes lois que les petites oscillations d'un pendule, ou, ce qui revient au même, que la force accélératrice qui tend à ramener les molécules dans leurs positions d'équilibre est proportionnelle à la distance dont elles se sont écartées. Quelque fonction qu'elle soit de cette distance, que je représente par x, elle peut toujours être mise sous la forme Kx + Bx» + Cx* + etc. puisqu'elle doit être nulle quand x = o : or, si l'on suppose les excursions des molécules très-petites par rapport à l'étendue des sphères d'activité des forces attractives et répulsives, on pourra négliger devant kx tous les autres termes du développement, et regarder la force accélératrice comme sensiblement proportionnelle à la distance x. Cette hypothèse, indiquée par l'analogie, et la plus simple que l'on puisse faire sur les vibrations des particules éclairantes, doit nous conduire à des résultats exacts, puisqu'on ne remarque pas que les lois de la lumière varient avec son intensité.

Si l'on représente par v la vitesse d'oscillation d'une molécule éclairante au bout d'un temps t, on aura donc dv— — Axdt; mais y=^» ou dt=^. Substituant dans la première équation, on trouve, vdv = — Axdx. Intégrant, on a, v* = C — Ax3; d'où

Substituant cette valeur de x dans la première équation , on a

N" XIV. Si Ton prend pour unité de temps celui qui s'écoule depuis le départ de la molécule jusqu'à son retour, on aura, w = y/C sin (air/). Ainsi, dans des oscillations isochrones, les vitesses correspondant à la même valeur de t seront toujours proportionnelles à la constante y/C , qui représente en conséquence l'intensité du mouvement vibratoire.

37. Considérons maintenant l'ondulation produite dans l'éther par les oscillations de cette molécule. L'énergie du mouvement de l'éther à chaque point de l'onde dépend de la vitesse de la molécule motrice au moment où elle a produit l'impulsion qui se fait sentir actuellement dans ce point. La vitesse des molécules éthérées en un point quelconque de l'espace, après un temps t, est proportionnelle à celle qui animait la molécule motrice à l'instant t — |, x représentant la distance de ce point à la source du mouvement, et À la longueur de l'ondulation lumineuse. On a donc, en représentant par u la vitesse des molécules éthérées ,

u=asin [>*('-!)]•

On sait que l'intensité a des vibrations du fluide est en raison inverse de la distance de l'onde au centre d'ébranlement; mais, vu la petitesse des ondes relativement à l'éloignement où nous les supposons du point lumineux, nous pouvons faire abstraction, dans l'étendue d'une et même de plusieurs ondulations, de la variation de a, et considérer cette quantité comme constante.

38. On peut, à l'aide de cette formule, calculer l'intensité des vibrations produites par le concours d'un nombre quelconque de faisceaux lumineux, quand on connaît l'intensité de ces différents systèmes d'ondes et leurs positions respectives.

Je suppose d'abord qu'il s'agisse de déterminer les vitesses des molécules lumineuses dans les vibrations résultant du concours de deux systèmes d'ondes distants l'un de l'autre d'un quart d'ondulation, et dont les intensités sont a et a. Je compte le temps /, à partir du moment où ont commencé les vibrations du premier faisceau lumineux. Soient ci et u les vitesses que le premier et le second système d'ondes

tendent à imprimer à la même molécule lumineuse distante de la IV Xl\ source du mouvement d'une quantité égale à x, on aura :

o = asm[air(f-5)] et «Wsb [«r^-S^Î)],

a— — a cos ^27r (< — |) j.

Par conséquent, la vitesse totale U sera égale à

asin [aw(f— |)] — a' cos [air [t — J)j;

mais, en faisant a = A cos ï et a = A sin i, on peut toujours mettre cette expression sous la forme :

A [cos t sin 27r (t — —sin i'cos [arc (' — f)] '

Ainsi l'onde résultant du concours des deux autres sera de même nature, mais aura une position et une intensité différentes. Les équations A cos i = a et A sin i = a' donnent, pour la valeur de A, c'està-dire, pour l'intensité de l'onde résultante, y/a2 + a'2. C'est précisément la valeur de la résultante de deux forces rectangulaires égales à a et à a.

Il est aisé de voir aussi, d'après les mêmes équations, que la position de la nouvelle onde répond exactement à la situation angulaire de la résultante des deux forces rectangulaires a et a, car, d'après la formule

U = Asin[a7r(/-f)-r],

l'intervalle qui sépare cette onde de la première est égal à ^ : on est l'angle que la force a fait avec la résultante A, puisque A cos i = a. Ainsi la similitude est complète entre la résultante dt deux forces rectangulaires et celle de deux systèmes d'ondes distants d'un quart d'ondulation.

39. La solution du problème que je viens de donner dans le cas particulier où il s'agit de trouver la résultante de deux ondes séparées

iV XIV. par un intervalle d'un quart d'ondulation, suffit pour le résoudre dans tous les autres cas. En effet, quels que soient le nombre des différents systèmes d'ondes et les intervalles qui les séparent, on peut toujours substituer à chacun d'eux ses composants rapportés à deux points communs distants d'un quart d'ondulation; alors, en ajoutant ou retranchant, selon leurs signes, les intensités des composants rapportés au même point, on ramènera le mouvement total à deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle d'un quart d'ondulation, et la racine carrée de la somme des carrés de leurs intensités sera l'intensité de leur résultante. C'est absolument le procédé qu'on emploie en statique pour trouver la résultante d'un nombre quelconque de forces : ici la longueur de l'ondulation répond à la circonférence dans le problème de statique, et l'intervalle d'un quart d'ondulation entre les systèmes d'ondes, à l'intervalle angulaire d'un quart de circonférence qui sépare les composantes.

40. Il arrive le plus souvent, dans les problèmes d'optique, que les intensités de lumière, ou les teintes que l'on veut calculer, ne résultent que du concours de deux systèmes d'ondes seulement, comme dans les anneaux colorés et les phénomènes de coloration les plus ordinaires que présentent les lames cristallisées; en sorte qu'il est bon de connaître la formule générale qui donne la résultante de deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle quelconque. On prévoit déjà le résultat que l'on obtiendrait en appliquant a ce cas la méthode générale que je viens d'exposer. Mais je ne crois pas inutile de m appesantir encore sur la théorie de ces mouvements vibratoires, et de prouver directement que l'onde résultant du concours des deux autres, quelles que soient leurs positions relatives, répond exactement, pour son intensité et pour sa situation, à la résultante de deux forces égales aux intensités des deux faisceaux lumineux, et faisant entre elles un angle qui soit à la circonférence entière comme l'intervalle qui sépare les deux systèmes d'ondes est à la longueur d'une ondulation.

Soient x la distance du centre du premier système d'ondes à la molécule lumineuse que l'on considère, et / l'instant où l'on veut

calculer sa vitesse; celle que lui imprime l'onde du premier système N° XIV. est égale à

«in

a étant l'intensité de ce faisceau lumineux. Si l'on représente par a l'intensité du second et par c l'intervalle qui sépare les points correspondants des deux systèmes d'ondes, la vitesse résultant du second sera

a'sin[27r(/-^)], et, par conséquent, la vitesse totale imprimée à la molécule «*[«(f-f)]+^ri.[w(l-Sfî)].

[a+ a cos (1*1) ] s»n [27r(* — f )] ~ a sm ( 27r { ) 008 [27r('"~X )] ; expression qui peut toujours se mettre sous la forme :

A cos 1 sin 27r (f — ^ j — Asini cos [aw — ^ j ,

A sin [a7r (/ — ^) — ij ,

en faisant

a + a' cos (21^) =Acosi et a' sin (2^) — A sin î.

Élevant chaque membre de ces équations au carré et les ajoutant, on a

Ai 2 , l'i , I ( c \

= a 4-a + laa cos l37^) ;

d'où

A = ±yaa + a"+2aa'cos(2ir|).

C'est la valeur de la résultante de deux forces a et a, faisant entre elles un angle égal à 2-7 £.

41. Il résulte de cette formule générale que l'intensité des vibrations de la lumière totale est égale à la somme de celles des deux faisceaux constituants dans le cas de l'accord parfait, à leur différence

Y XIV. quand ils discordent complètement, et enCn à la racine carrée de la somme de leurs carrés lorsque leurs vibrations correspondantes sont à un quart d'ondulation les unes des autres; ce qu'on avait déjà démontré.

Il est facile de voir que la position de l'onde répond exactement à la situation angulaire de la résultante des deux forces a et a. En effet, la distance de la première onde à la seconde est c, et à l'onde résultante et la distance de celle-ci à la seconde c — ^A; par

conséquent, les angles correspondants sont 2tt ^, i et 2it ^ — i; or. en multipliant par sin i l'équation

a + a' cos (2* £ ) = A cos i ,

et par cos i l'équation

a' sin (21r^J = A sin i, et les retranchant l'une de l'autre, on trouve,

a sin i = a' sin (a7r£ — i'J,

qui, avec l'équation

a' sin (îw^) = A sin i ,

donne la proportion

sin ^27r ^ — i j : sin i : sin : :a: a' : A.

4*2. L'expression générale A sin [aw (' — f ) — »] de la vitesse des molécules dans l'onde résultant du concours de deux autres démontre que cette onde a la même longueur que ses composantes, et que les vitesses des points correspondants sont proportionnelles; en sorte que l'onde résultante est toujours de même nature que ses composantes, et n'en diffère que par l'intensité, c'est-à-dire, par la quantité constante qui multiplie les rapports des vitesses de toutes les molécules auxquelles elle s'étend. En la combinant successivement avec de nouvelles ondes, on retrouverait toujours des expressions de même forme; propriété remarquable de cette sorte de fonctions. Ainsi, dans la résul-

tante d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes de même longueur, les molécules lumineuses sont toujours animées de vitesses proportionnelles à celles des composantes, aux points situés a la même distance de l'extrémité de chaque onde.