APPLICATION DB PRINCIPE D'UUYCHRNS AUX PHENOMENES DE LA DIFFRACTION

43. Après avoir indiqué la manière de déterminer la résultante d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes lumineuses, je vais faire voir comment, à l'aide de ces formules d'interférence et du seul principe d'Huyghens, il est possible d'expliquer et même de calculer tous les phénomènes de la diffraction. Ce principe, qui me paraît une conséquence rigoureuse de l'hypothèse fondamentale, peut s'énoncer ainsi : Les vibrations d'une onde lumineuse dans chacun de ses points peuvent être regardées comme la somme des mouvements élémentaires qu'y enverraient au même instant, en agissant isolément, toutes les parties de cette onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures M.

Il résulte du principe de la coexistence des petits mouvements, que les vibrations produites en un point quelconque d'un fluide élastique par plusieurs ébranlements sont égales à la résultante de toutes les agitations envoyées au même instant dans ce point par ces différents centres d'ondulation, quels que soient leur nombre, leurs positions respectives, la nature et l'époque des ébranlements divers. Ce principe, étant général, doit s'appliquer à tous les cas particuliers. Je supposerai que tous ces ébranlements, en nombre infini, sont de môme espèce, ont lieu simultanément, sont contigus et placés sur un même plan ou sur une même surface sphérique. Je ferai encore une hypothèse relativement à la nature de ces ébranlements ; je supposerai que les vitesses impri-

!<> Je considère toujours la succession dune infinité d'ondulations, ou une vibralion générale du fluide. Ce n'est que dans ce sens qu'on peut dire que deux ondes lumineuses se détruisent lorsqu'elles sont à une

demi-ondulation l'une de l'autre. Les formules d'interférence que je viens de donner ne sont point applicables au cas d'une ondulation isolée, qui d'ailleurs n'est pas celui rlf la nature.

V XIV. mées aux molécules sont toutes dirigées dans le même sens, perpendiculairement à la surface sphérique^1', et sont en outre proportionnelles aux condensations ; en sorte que les molécules ne puissent pas avoir de mouvement rétrograde. J'aurai ainsi reconstitué une onde dérivée par l'ensemble de ces ébranlements partiels. Il est donc vrai de dire que les vibrations d'une onde lumineuse dans chacun de ses points peuvent être regardées comme la résultante de tous les mouvements élémentaires qu'y enverraient au même instant, en agissant isolément, toutes les parties de cette onde considérée dans une quelconque de ses positions antérieures M.

[,) Il peut y avoir des ondes dérivées dans lesquelles la direction des vitesses absolues imprimées aux molécules ne soit pas perpendiculaire à la surface de l'onde. En réfléchissant aux lois particulières de l'interférence des rayons polarisés . je me suis convaincu , depuis la rédaction de ce Mémoire, que les vibrations lumineuses s'exécutent perpendiculairement aux rayons ou parallèlement à

calculs contenus dans ce mémoire s accordent aussi bien avec cette nouvelle hypothèse qu'avec la précédente, puisqu'ils sont indépendants de la direction réelle des vibrations , et supposent seulement qu'elles s'exécutent dans le même sens pour tous les rayons partis du même système d'ondes qui concourent à la formation des franges.

*' Le paragraphe 43 était primitivement rédigé de la manière suivante.

Va*. Après avoir démontré dans la première section de ce Mémoire que le système de l'émission et même le principe des interférences, quand on ne l'applique qu'aux rayons directs et aux rayons réfléchis , sont insuffisants pour expliquer les phénomènes de la diffraction , je vais faire voir maintenant qu'on peut en donner une explication satisfaisante et une théorie générale dans le système des ondulations, sans le secours d'aucune hypothèse secondaire, et en s'appuyant seulement sur le principe d'Huyghens, qui est une conséquence presque évidente de l'hypothèse fondamentale.

Voici comment on peut l'énoncer.

Les vibrations d'une onde lumineuse dans chacun de ses points peuvent être regardées comme la résultante de tous les mouvements élémentaires qu'y enverraient au même instant, en agissant isolément , toutes les parties de cette onde considérée dans une quelconque

ââ. L'intensité de l'onde primitive étant uniforme, il résulte de cette iV \1\ considération théorique, comme de toutes les autres, que cette uniformité se conservera pendant sa marche, si aucune partie de l'onde n'est interceptée ou retardée relativement aux parties contiguës, parce que la résultante des mouvements élémentaires dont je viens déparier sera la même pour tous les points. Mais si une portion de l'onde est arrêtée par l'interposition d'un corps opaque, alors l'iniensité de chaque point variera avec sa distance au bord de l'ombre, et ces variations seront surtout sensibles dans le voisinage des rayons tan-

Soient G le point lumineux, AG l'écran, AME l'onde arrivée en A et interceptée en partie par le corps opaque. Je la suppose divisée en une infinité de petits arcs Am\ mm, mM, Mn, nri, rin, etc. Pour avoir son intensité au point P dans une quelconque de ses positions suivantes BPD, il faut chercher la résultante de toutes les ondes élémentaires que chacune de ces portions de l'onde primitive y enverrait en agissant isolément.

L'impulsion qui a été communiquée à toutes les parties de^ l'onde primitive étant dirigée suivant la normale, les mouvements qu'elles tendent à imprimer à l'éther doivent être plus intenses dans cette direc-

antérieura. Ce n'est autre chose que substituer au mouvement ou à normale toutes les pressions directes et obliques dont elle se corn-

ue set

la pression pose <*>.

<*' (Jn ébranlement quelconque dans un fluide élastique tend en général a se propager suivant toutes les directions. S'il ne se forme pas en avant des petites ondes autour de chaque point de Tonde principale, c'est a cause de l'équilibre qui s'établit entre les mouvements simultanés de ses parties. Mais, de même qu'en statique on emploie souvent dans le calcul des forces qui se détrui-

sent, on peut ici rétablir les mouvements qui se font équilibre, et considérer l'effet produit par chaque partie de l'onde indépendamment de l'influence qu'exercent sur lui les autres ébranlements, et l'ensemble de toutes ces ondes élémen-

primitif. Tel esl

Y XIV. tion que dans toute autre; et les rayons qui en émaneraient, si elles agissaient isolément, seraient d'autant plus faibles qu'ils s'écarteraient davantage de cette direction W.

45. La recherche de la loi suivant laquelle leur intensité varierait autour de chaque centre d'ébranlement présenterait sans doute de grandes difficultés ; mais heureusement nous n'avons pas besoin de la connaître, car il est aisé de voir que les effets produits par ces rayons se détruisent presque complètement dès qu'ils s'inclinent sensiblement sur la normale, en sorte que ceux qui influent d'une manière appréciable sur la quantité de lumière que reçoit chaque point P peuvent être regardes comme d'égale intensité

™ Lorsque le centre d'ébranlement a éprouvé une condensation, la force expansée tend a pousser les molécules dans toutes directions ; et si elles n'ont pas de mouvements rétrogrades , cela tient uniquement à ce que leurs vitesses initiales en avant détruisent celles que la dilatation tend à leur imprimer en arrière; mais il ne s'ensuit pas que l'ébranlement ne puisse se propager que suivant la direction des vitesses initiales , car la force expansive dans un sens perpendiculaire, par exemple, se combine avec l'impulsion primitive sans que ses effets en soient affaiblis. Il est clair que l'intensité de l'onde

ainsi produite doit varier beaucoup dans le» différents points de sa circonférence, nonseulement à cause de l'impulsion initiale, mais encore parce que les condensations ne sont pas assujetties à la même loi , autour du centre de la partie ébranlée. Mais les variations d'intensité de l'onde dérivée doivent suivre nécessairement une loi de continuité . et peuvent par conséquent être considérées comme insensibles dans un intervalle angulaire très-petit, surtout auprès de la normale à l'onde génératrice ; car, les vitesses initiales des molécules rapportées à une direction quelconque étant proportionnelles au

;,) La même conclusion subsiste si l'on admet l'hypothèse des vibrations transversales . car l'éther étant constitué de manière que les vibrations transversales puissent seules s'y propager, à l'exclusion des vibrations normales, le mouvement le plus intense devra être transmis suivant la direction qui est perpendiculaire à toute vibration comprise dans la surface de l'onde primitive, c'est-à-dire suivant le rayon même de cette onde. La seule différence c'est que l'intensité du mouvement transmis suivant diverses directions également inclinées sur ce rayon ne sera pas la même si la lumière est polarisée. Dans ces dernières années, on a cherché à déduire de cette remarque un moyen de reconnaître si les vibrations de la lumière polarisée sont parallèles ou perpendiculaires au plan de polarisation. [E. Ve«det.]

MEMOIRE COURONNÉ SLR LA DIFFRACTION. 297

En effet, considérons les rayons sensiblement inclinés EP, FP, IP. concourant au point P, que je suppose distant de Tonde EA d'un grand nombre d'ondulations. Prenons les deux arcs EF et FI d une longueur telle que les différences EP-FP et FP— 1P soient égales à une demiondulation. A cause de l'obliquité prononcée des rayons et de la petitesse d'une demi-ondulation par rapport à leur longueur, ces deux arcs seront presque égaux, et les rayons qu'ils envoient au point P sensiblement parallèles ; en sorte qu'en raison de la différence d'une demiondulation qui existe entre les rayons correspondants des deux arcs, leurs effets se détruiront mutuellement.

On peut donc supposer que tous les rayons que les diverses parties de l'onde primitive AE envoient au point Psont d'égale intensité, puisque les seuls rayons pour lesquels cette hypothèse soit inexacte, n'ont pas d'influence sensible sur la quantité de lumière qu'il reçoit. On peut aussi, par la même raison, pour simplifier le calcul de la résultante de toutes ces ondes élémentaires, considérer leurs mouvements vibratoires comme s'exécutant suivant une môme direction, vu la petitesse des angles que les rayons font entre eux ; en sorte que le problème se trouve ramené à celui-ci, que nous avons déjà résolu : Trouver la résultante d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes lumineuses parallèles . de même longueur, dont les intensités et les positions relatives sont connues. Les intensités sont ici proportionnelles à la longueur des arcs éclairants, et les positions relatives sont données par les différences de chemins parcourus.

£6. Nous n'avons considéré, à proprement parler, que la section de l'onde faite par un plan perpendiculaire au bord de l'écran projeté en A. Envisageons-la maintenant dans toute son étendue, et concevons-la divisée en fuseaux infiniment minces par des méridiens équi-

cosinus de l'angle que cette direction fait avec rapport beaucoup moindre que I intervalle la normale . ces composantes varient dans un angulaire quand il est peu considérable

M Note ajoutée à l'impression.

N*- XIV . distants perpendiculaires au plan de la figure ; on pourra leur appliquer les raisonnements que nous venons de faire pour une section de l'onde, et démontrer ainsi que les rayons d'une obliquité prononcée se détruisent mutuellement.

Ces fuseaux parallèles au bord de l'écran étant tous indéfiniment étendus dans le cas dont nous nous occupons, où Tonde lumineuse n'est interceptée que d'un seul côté, l'intensité de la résultante de toutes les vibrations qu'ils envoient en P sera la même pour chacun deux; car les rayons qui émanent de ces fuseaux doivent être considérés comme d'égale intensité, du moins dans la partie très-peu étendue de l'onde génératrice qui a une influence sensible sur la lumière envoyée en P, à cause de l'extrême petitesse de la différence entre les chemins parcourus. De plus, chaque résultante élémentaire sera évidemment en arrière de la même quantité par rapport au rayon parti du point du fuseau le plus voisin de P, c'est-à-dire du point où ce fuseau rencontre le plan de la figure. Ainsi les intervalles entre ces résultantes élémentaires seront égaux aux différences des chemins parcourus par les rayons AP, m'P, wP, etc. compris dans le plan de la figure, et leurs intensités seront proportionnelles aux arcs \m', m'm, mM, etc. Pour avoir l'intensité de leur résultante générale, il faut donc faire le même calcul auquel nous avions déjà été conduit, en ne considérant que la section de l'onde par un plan perpendiculaire au bord de l'écran (')(•».

47. Avant de calculer l'expression analytique de cette résultante, je

Tant que le bord de l'écran est rectili- cessaire d'intégrer suivant les deux i

gne . il suffit , pour déterminer les positions tangulaires, ou circulairement autour du

des bandes obscures et brillantes et leurs in- point que l'on considère. Cette dernière roé-

tensités relatives , de considérer la section de thode est plus simple dans quelques cas par-

l'onde faite par un plan perpendiculaire au ticuliers, comme lorsqu'il s'agit, par bord de l'écran ; mais lorsqu'il est courbe pie, de calculer l'intensité de la lumière dans

ou composé de lignes droites faisant entre la projection du centre d'un écran ou d'une elle» des angles quelconques, il devient né- ouverture circulaire.

' Le paragraphe 46 et la note ont été ajoutés à 11

MÉMOIRK COURONNÉ SUR LA DIFFRACTION. '299

vais d'abord tirer du principe d'Huyghens les conséquences qu'on peut V XIV. en déduire par de simples considérations géométriques.

Soit AG un corps opaque assez étroit pour qu'on puisse distinguer des franges dans l'intérieur de son ombre à la distance AB. Soient C le point éclairant, BD le carton blanc sur lequel on reçoit les franges, ou le plan du foyer de la loupe avec laquelle on les observe.

Concevons l'onde primitive divisée en petits arcs, Am, mm', mm", etc. Gn, nn, n'n , nn", etc. de façon que les rayons menés du point P que l'on considère dans l'intérieur de l'ombre, à deux points de division consécutifs diffèrent d'une demi-ondulation. Toutes les petites ondes envoyées en P par les éléments de chacun de ces arcs seront en discordance complète avec les ondes élémentaires qui émanent des parties correspondantes des deux arcs entre lesquels il est compris; en sorte que, si tous ces arcs étaient égaux, les rayons qu'ils envoient en P se détruiraient mutuellement, à l'exception de l'arc extrême mA, dont les rayons conserveraient la moitié de leur intensité, la moitié de la lumière envoyée par l'arc mm, avec lequel il se trouve en discordance complète, étant détruite par la moitié de celle de l'arc précédent m"m'.

Ces arcs sont sensiblement égaux lorsque les rayons qui concourent au point P sont suffisamment inclinés par rapport à la normale. Alors l'onde résultante répond à peu près au milieu de mA, le seul arc qui produise un effet sensible, et se trouve ainsi en arrière d'un quart d'ondulation par rapport à l'onde élémentaire partie du bord A du corps opaque. La même chose ayant lieu relativement à l'autre partie Gn de l'onde incidente, le degré d'accord ou de discordance entre les vibrations lumineuses qui se manifeste au point P se trouve déterminé par la différence de longueur entre les deux rayons 5P et fP qui émanent des milieux des arcs Am et Gn, ou, ce qui revient au même, par la différence entre les deux rayons AP et GP partis des bords mêmes du corps opaque. Ainsi , lorsque les franges intérieures que l'on consi-

.V XIV. (1ère sont suffisamment éloignées les bords de l'ombre géométrique .

on peut leur appliquer sans erreur sensible la formule basée sur l'hypothèse que les ondes infléchies ont leurs centres aux bords mêmes du corps opaque. Mais, à mesure que le point P se rapproche de B, l'arc A/n devient plus grand par rapport à l'arc mm , l'arc mm par rapport à l'arc ni m", etc. '*'; et de même, dans l'arc mA, les éléments qui avoisinent le point A deviennent sensiblement plus grands que ceux situés vers le point m, et répondant à des différences égales de chemins parcourus. H en résulte que le rayon efficace sP ne doit plus être la moyenne entre les rayons extrêmes mP et AP, mais se rapprocher davantage de la longueur de celui-ci. De l'autre côté du corps opaque, au contraire, la différence entre le rayon GP et le rayon efficace <P approche d'autant plus d'être exactement égale à un quart d'ondulation, que le point P s'éloigne davantage de D. Ainsi la différence des chemins parcourus varie plus rapidement entre les rayons efficaces sP et /P qu'entre les rayons AP et GP; par conséquent les franges qui avoisinent le point B doivent être un peu moins éloignées du centre de l'ombre que ne l'indique la formule fondée sur la première hypothèse.

, 48. Après avoir examiné le cas où les franges

sont produites par un corps étroit, je passe à F'/i s j \ celui où elles le sont par une petite ouverture.

Soit AG l'ouverture par laquelle on fait passer la lumière. Je la suppose d'abord assez étroite pour que les bandes obscures du ier ordre soient dans l'intérieur de l'ombre géométrique de l'écran et suffisamment éloignées des bords B et D. Soit P le point le plus sombre d'une de ces deux bandes; il est aisé de voir qu'il doit répondre i\ p » une différence d'une ondulation entre les deux

J'appelle ainsi celui qui mesure la dis- et brillantes est la même que si ces rayons

tance de l'onde résultante à l'onde primitive, efficace* concouraient seuls à leur producparce que la situation des bandes obscures tion.

(" Voyez sur la loi du décroisaement des arcs élémentaires successifs n# XII (G), S ô,note

rayons extrêmes AP et PG. En effet, si l'on conçoit un autre rayon PI \° XIV. mené de façon que sa longueur soit moyenne entre celle des deux autres, en conséquence de leur obliquité prononcée sur l'arc AIG, le point I en sera à peu près le milieu. Cet arc se trouvera donc composé de deux autres, dont les éléments correspondants seront sensiblement égaux, et enverront au point P des vibrations contraires, qui devront par conséquent se détruire mutuellement.

H est aisé de voir, par des raisonnements semblables, que les points fes plus sombres des autres bandes obscures répondent à des différences d'un nombre pair de demi-ondulations entre les rayons partant des deux bords du diaphragme, et les points les plus éclairés des bandes brillantes, à des différences d'un nombre impair de demi-ondulations, c'est-à-dire qu'elles doivent être situées dans des positions absolument inverses de celles que l'on déduirait des accords ou des discordances des rayons extrêmes, dans l'hypothèse où ils concourraient seuls à la production des franges, à l'exception cependant de la bande du milieu , qui doit être brillante dans un système comme dans l'autre. L'expérience confirme les conséquences déduites de celui où l'on considère les franges comme résultant du concours des vibrations de tous les points de l'arc AG, et contredit par conséquent le système d'après lequel on les regarderait comme produites uniquement par les rayons infléchis et réfléchis sur les bords mêmes du diaphragme. Ce sont aussi les premiers phénomènes qui m'ont fait reconnaître l'inexactitude de cette hypothèse, et m'ont conduit à la théorie dont je viens d'exposer le principe fondamental, qui n'est autre que celui d'Huyghens, combiné avec le principe des interférences

49. Dans le cas que nous venons de considérer, où les bandes obscures du premier ordre sont rejetées par la petitesse de l'ouverture à une distance assez considérable des bords de l'ombre géométrique , il

" l<e manuscrit ajoute après ces mots : Va». Que l'on doit au docteur Young.

N° XIV. résulte de la théorie, comme de l'expérience, que l'espace compris entre leurs points les plus sombres est à très-peu près le double des autres intervalles entre les milieux de deux bandes obscures consécutives , et d'autant plus exactement que l'ouverture est plus étroite ou le diaphragme plus éloigné du point lumineux et du foyer de la loupe avec laquelle on observe les franges, car, en augmentant suffisamment ces distances, on peut produire les mêmes effets avec une ouverture d'une largeur quelconque.

Mais lorsque ces distances ne sont pas assez considérables, et que l'ouverture est trop large pour que les rayons qui concourent à la formation des franges soient suffisamment inclinés sur Tonde lumineuse AG, il arrive que les éléments correspondants des arcs dans lesquels nous l'avons supposée divisée ne peuvent plus être considérés comme égaux entre eux, mais sont sensiblement plus larges du côté le plus voisin de la bande que l'on considère. Alors on ne peut plus déduire rigoureusement de la théorie la position des maxima ou minima d'intensité de lumière qu'en calculant la résultante de toutes les petites ondes élémentaires qui émanent de l'onde incidente.

50. Mais il est un cas très-remarquable où la connaissance de cette intégrale n'est pas nécessaire pour déterminer la loi des franges produites par une ouverture d'une largeur beaucoup plus considérable : c'est lorsqu'on place devant le diaphragme une lentille qui porte le foyer des rayons réfractés sur le plan dans lequel on observe les franges. Alors le centre de courbure de l'onde émergente se trouve dans ce plan, au lieu d'être au point lumineux W, ce qui simplifie beaucoup le problème.

'■» Le principe fécond que Fresnel énonce sans le démontrer peut être déduit, soit de la théorie générale des caustiques, soit d'une formule qu'on a vue plus haut (n* IV. S 5 et 6 , et n* VIII, S 28). Si deux rayons parallèles, vibrant d'accord et réfractés, l'un au sommet, l'antre vers le bord d'une surface sphérique convexe, ont, au point où ils se coupent, une

différence de marche égale à — — t sin *i, r étant le rayon de la surface, p l'indice de réfraction, 1 l'angle d'incidence du rayon réfracté vers les bords, il est clair qu'ils arri-

Soit 0 la projection du milieu de l'ouverture sur ce plan. Si du point Nu XIV. 0 comme centre, et d'un rayon égal à AO, on décrit l'arc AI'G, il représentera l'onde incidente telle qu'elle se trouve modifiée par l'interposition de la lentille. Maintenant, si du point P comme centre, et d'un rayon égal à AP, on décrit l'arc AEF, les parties des rayons lumineux qui concourent au point P comprises entre l'arc AI'G et l'arc AEF seront les différences des chemins parcourus par les ondes élémentaires. Or, ces deux arcs ayant des courbures égales et tournées dans le même sens, il s'ensuit qu'à des intervalles égaux sur l'onde AI'G répondront des différences égales dans les chemins parcourus. Si donc on suppose cette onde divisée de manière que deux rayons consécutifs menés par les points de division diffèrent d'une demi-ondulation , lorsque le point P sera placé de façon que le nombre de ces arcs soit pair, il ne recevra plus de lumière, puisque les effets produits par ces arcs se détruiront deux à deux , les vibrations de leurs éléments correspondants étant à la fois d'égale intensité et en discordance complète. La lumière envoyée au point P parviendra, au contraire, à son maximum d'intensité quand ces arcs seront en nombre impair. Il en résulte que les points les plus éclairés des bandes

veront en même temps aux deux points qu'on déterminera en prenant , à partir du jwinl de concours, sur la direction du rayon réfracté au sommet une longueur arbitraire /, et sur

la direction du rayon réfracté vers les bords une longueur égale à / - r^,' ^ sin\. Mais si / est très-grand par rapport à ™g^r-^ sin le deuxième de ces points sera très -peu éloigné de la sphère qui passerait par le premier et qui aurait pour centre le point de concours des deux rayons ou même le foyer des rayons centraux qui en est très-voisin. On peut donc regarder les mouvements vibratoires qui ont lieu à chaque instant sur la surface de cette sphère comme presque exactement concordants. On peut faire des calculs analogues sur la réfraction par une deuxième surface sphérique, et admettre, en conséquence, que des rayons parallèles et concordants réfractés par une lentille arrivent en même temps sur une surface qui diffère très-peu de la sphère ayant pour centre le foyer principal et tangente à la surface postérieure de la lentille. Les vibrations de l'éther étant concordantes en tous les points de celte surface, elle peut recevoir le nom d'onde réfractée, et dans la théorie de la diffraction on doit la traiter comme la surface de l'onde. On peut sans difficulté étendre ces considérations au cas où les rayons incidents viennent d'un point situé à distance finie ; le centre de Fonde réfractée est alors au foyer conjugué du point lumineux. [ E. Vbbdet. |

V XIV . brillantes répondront à une différence d'un nombre impair de demi-ondulations entre les rayons partis des deux bords du diaphragme, et les points les plus sombres des bandes obscures à une différence d'un nombre pair de demi-ondulations. Par conséquent toutes les bandes obscures seront également espacées entre elles, à l'exception des deux premières, dont l'intervalle sera exactement double de celui qui sépare les autres. Ce résultat, que la théorie m'avait indiqué d'avance, se trouve parfaitement confirmé par l'expérience. Je ne rapporterai qu'une observation de ce genre faite dans une lumière rouge homogène. Pour porter le centre de l'onde incidente sur le micromètre, au lieu d'une lentille ordinaire, j'ai employé un verre à surface cylindrique w, que j'ai placé de manière que la droite génératrice fût parallèle aux bords de l'ouverture du diaphragme, afin de conserver aux franges toute leur longueur.

Largeur de l'ouverture a-ra,oo

Distance du point lumineux au diaphragme, ou a. . . a", 607

Distance du diaphragme au micromètre, ou 6 1™, \Uo

Intervalle entre les milieux des deux bandes obscures

du 1" ordre o"m,7a

Entre la bande du 1" ordre et celle du 3' o"""^

Entre celle du 3* et celle du 5' omm,']î

On voit que le premier intervalle est égal aux doubles intervalles suivants.

J'observai la même loi, et à des distances aussi peu considérables, avec des ouvertures beaucoup plus larges, par exemple d'un centimètre et même d'un centimètre et demi. Mais, en augmentant davantage l'ouverture du diaphragme, les franges devenaient confuses, quel-

(,; Celle substitution ne modifie en rien d'essentiel les conséquences de la noie précédente. L'onde réfractée a la forme d'un cylindre qui a pour base une courbe très-peu différente du cercle dont le centre est au foyer, et la considération d'une onde cylindrique se ramène à celle d'une onde circulaire plus aisément encore que celle d'une onde sphérique. [E. Vbrdbt. ]

que soin que je misse à bien placer le micromètre au foyer du verre V cylindrique ; ce qui tenait à ce que les rayons réfractés par ce verre ne vibraient sensiblement d'accord qu'entre des limites assez rapprochées, comme cela a lieu pour les lentilles ordinaires.

5 1 . Lorsque l'ouverture du diaphragme ainsi combiné avec un verre cylindrique n'est pas trop considérable, les bandes obscures et brillantes sont aussi prononcées que les franges produites par le coivcours des rayons réfléchis sur deux miroirs. Mais dans celles-ci l'intensité de la lumière reste la môme pour toutes les franges, ou du moins les différences qu'on aperçoit tiennent uniquement à ce que la lumière employée n'est jamais d'une homogénéité parfaite; et si, d'une part, les bandes brillantes perdent par degrés une partie de leur éclat, les bandes obscures deviennent moins sombres; en sorte que la somme de lumière d'une frange entière reste sensiblement la même. Dans l'autre phénomène, au contraire, on observe, en s éloignant du centre, une diminution rapide de la lumière, dont il est aisé de se rendre compte par la théorie que nous venons d'exposer. En effet, tous les rayons émanés de l'onde AI'G qui concourent au milieu de la bande brillante du premier ordre se trouvent avoir parcouru des chemins égaux; en sorte que toutes les petites ondes élémentaires qu'ils apportent en ce point coïncident et se fortifient mutuellement. 11 n'en est pas de même des autres bandes brillantes. Le point le plus éclairé de celles du second ordre, par exemple, répond à la division de l'onde AI'G en trois arcs, dont les rayons extrêmes diffèrent d'une demi-ondulation; les effet* produits par deux de ces arcs se neutralisant mutuellement, ce point ne reçoit de lumière que du troisième, dont les vibrations se détruisent même en partie, à cause de la différence d'une demi-ondulation entre ses rayons extrêmes. Un raisonnement semblable fait voir que le milieu de la bande brillante du troisième ordre ne doit être éclairé que par un cinquième de l'onde AI'G, dont la lumière est encore affaiblie par la discordance des rayons partis des points voisins des extrémités.

52. Reprenons le cas général des franges qui proviennent d'une ouverture étroite , sans que la courbure de l'onde incidente soit changée

V XIV. par l'interposition d'une lentille. Parmi les principaux phénomènes de diffraction, aucun ne présente des effets plus variés et plus compliqués. Néanmoins, sans connaître la nature de l'intégrale qui nous servira bientôt à déterminer la position et l'intensité des bandes obscures et brillantes, nous pouvons déjà résoudre un problème intéressant. L'ouverture du diaphragme variant, quelle» sont les variations que doivent éprouver les distances du diaphragme au point lumineux et au micromètre , pour que les franges conservent les mêmes largeurs et les mêmes rapports d'intensité? Soient AG et A'G' les deux petites ouvertures inégales par lesquelles

on fait passer la lumière. Je suppose que les points lumineux G et G' et les plans d'observation PO et P O' se trouvent placés aux distances convenables pour que les franges soient absolument pareilles dans les deux cas. Soient P et P' deux points correspondants de la même frange; on doit avoir PO = P O', 0 et 0' étant les projections des milieux des deux ouvertures sur les plans PO et PO'. Si des points C et G' comme centres, avec des rayons égaux à G A et C'A', on décrit des arcs de cercle AIG et ATG', et si l'on décrit ensuite des points 0 et 0' comme centres les arcs tangents F1H , F'I'H', les intervalles entre les premiers et les seconds seront les différences des chemins parcourus par les rayons qui concourent aux points 0 et 0'; or, pour que la résultante des ondes élémentaires qui émanent des différents points de l'onde incidente présente les mêmes variations d'intensité, il faut quelle soit composée d'éléments semblables; et cette condition sera remplie si l'on a AF = A'F'. En effet, il en résulte d'abord que pour 0 et 0' les différences des chemins parcourus par les rayons qui émanent des points correspondants des ondes AIG et ATG' seront égales; par conséquent, si l'on conçoit les deux ondes divisées en petits arcs proportionnels, les vibrations qu'ils enverront en 0 et 0' auront précisément entre elles les mêmes degrés d'accord et de discordance, et les

MÉMOIRE COIROISÎNÉ SUK LA DIFFRACTION. 307

deux résultantes seront ainsi composées d'éléments pareils. On voit IV" Xl\. aisément qu'il doit en être de même pour tous les autres points correspondants P et F, situés de façon que les droites CP et G'P' divisent les ondes A G et A'G' en parties proportionnelles. Par conséquent, la résultante des ondes élémentaires suit la même loi dans les deux cas.

Cela posé, je représente les largeurs AG et A'G' des deux ouvertures par c et c', les distances CI et CT par a et par a, et 10 et 10 par b et b'. Les droites CP et CP' divisant les arcs AG et A'G' en parties proportionnelles, on a,

AG : A'G' ou c : c :: Ml : MT, d'où f ^ Mais on a en outre les deux proportions,

CI:CO ou a : a-\-b\\ Ml : PO, et CT:C'0' ou a' :a + b' :: MT : P'O';

d'où l'on tire

PO-™"— h), et P*0'=— Ja h

Ces deux largeurs étant égales par hypothèse, on a

mia + h) M T(a'+6') a = <T '

Ml r Ml ~ r 1

on a donc

c a (a1 -1-6') c a [a + by

ac (a +b') = a' c(a + b).

Telle est la première équation de condition.

H en faut encore une autre pour exprimer l'égalité des intervalles AF et A' F'. A cause de la petitesse des arcs AG et FH, A'G' et F' H', on a

At-3Cl^3Ol-8l«^ 6; — 8 ab '

de même

308 THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — PREMIÈRE SECTION. I\° Xl\. par conséquent la seconde équation de condition est

En combinant ces deux équations, on trouve les formules

b =T el a ~ b{a + b)-ab" OU ' qbc"*

Cl = -y. rr , ,

c (a-t-o) — acc

au moyen desquelles on peut calculer les distances a' et b', la largeur c de la seconde ouverture étant donnée.

Il est à remarquer que l'équation 6' = y donne la proportion

c'est-à-dire qu'une des conditions de l'égalité des franges est que les distances du diaphragme au micromètre soient proportionnelles aux largeurs des ouvertures.

53. J'ai vérifié l'exactitude de cette loi par l'expérience suivante : la largeur de l'ouverture étant d'abord de a millimètres, sa distance au point lumineux de 3m,oo8, et sa distance au micromètre de im,236, je me suis proposé de produire les mêmes franges avec une ouverture de iam,5o. D'après les formules ci-dessus sa distance au point lumineux devait être de im,o5a,et sa distance au micromètre, de om,o,a7.

Le tableau suivant présente à la fois les résultats de la première el de la seconde observation. On voit qu'ils s'accordent parfaitement.

m héros d«

hunàtê obtruros en

!~irutit do centra.

HOTM COMNOIIBS

MM dr. JZc i" obwnrklion.

.* oUenaMw.

Grosse bande.

Brillant.

Ti-ea-pAle.

Brillant.

Minimum peu prononcé.

Sombre.

Minimum peu prononcé.

Obscur.

Trèa-obacur.

5â. On peut faire sur les franges produites par des corps opaques N° M\. très-étroits des raisonnements analogues à ceux que nous venons de faire pour les petites ouvertures. En représentant les mêmes distances par les mêmes lettres, et la largeur du corps étroit par c, comme celle de la petite ouverture, on est conduit aux mêmes formules,

ii 6c / abc'1

o — — et a =

J'ai encore vérifié la loi dans ce cas par l'expérience. Après avoir employé un fil d'acier de î^aS de diamètre, placé à 3m,o&7 du point lumineux, et à 3m,52 6 du micromètre, je me suis servi d'un autre fil d'acier qui avait seulement o^^S de diamètre, et j'ai disposé ce fil et le micromètre par rapport au point lumineux, de façon que a' fût égal à om,779, et b' à 2m,078, valeurs calculées d'après les formules ci-dessus. Voici les résultats de ces deux observations.

de,

bande* obtUJIM en

(urtunl du centre.

Bindes intérieures, t a

Bandes extérieures.

deux oheerraUooi.

Trvs-noire.

Extrêmement plie.

Très-vague.

■UTA1CM da renUr *ui poioU les plun w>nibpea dei baDiln ubtcorr*.

Ces deux observations ne s'accordent pas aussi bien que celles du tableau précédent; mais les différences n'excèdent pas cependant les limites des inexactitudes que comportent les mesures, en raison de la largeur des franges.

V XIV. 55. Les franges produites par une ouverture ou un corps opaque très-étroit ne varient pas seulement de grandeur absolue lorsqu'on fait varier a ou b . mais encore de positions et d'intensités relatives ; en sorte que l'aspect du phénomène change entièrement. Cela vient de ce que la résultante des vibrations envoyées par l'onde lumineuse n'est plus composée d'éléments semblables. Au contraire, les bandes obscures et brillantes qui bordent l'ombre d'un écran indéfiniment étendu sont toujours disposées de la même façon, et présentent les mêmes rapports dans leurs intensités et les intervalles qui les séparent. La raison en est facile à apercevoir.

iSoit AB et A'B' le corps opaque dans deux positions différentes

relativement au point lumineux et au micromètre, ou au plan sur lequel on reçoit les franges. Le point lumineux et ce plan sont en C et TP dans le premier cas, je suppose, et en C et T'P' dans le second. Soit P un point quelconque pris sur le plan TP; on peut toujours, dans l'autre plan P'T', trouver un point P' pour lequel la résultante des vibrations envoyées par l'onde incidente soit composée d'éléments semblables. Des points C et C comme centres, et avec des rayons égaux à G A et C'A', je décris les arcs AMI et A'MT, qui représentent l'onde incidente; et des points P et P' comme centres, je décris les arcs tangents EMF, E'M'F'; les intervalles entre ceux-ci et les précédents donnent les différences des chemins parcourus par les rayons qui concourent en P et P'. Pour que les mouvements lumineux qui se manifestent aux points P et P' soient composés de vibrations élémentaires semblables, ayant entre elles les mêmes degrés d'accord ou de discordance, il suffit que les intervalles AF et A' F' soient égaux; car, si l'on conçoit les deux ondes incidentes divisées en parties proportionnelles aux arcs AM et A'M', la différence des chemins parcourus sera la même alors pour tous les rayons partis des points de divisions cor-

respondants. En raison de la petitesse des arcs AM et MF, A' M' et Y \IV. M'F', on a

kv AM* . AM* Ah~^MC+ÏMP'

AF = AM-(;i+-'4),

On a donc

Via 20 J \2a 20 J

mais les triangles semblables GAM et GTP donnent On trouve de même

a + fi

Substituant ces valeurs dans l'équation précédente, on^a pour l'équation de condition, entre TP et T'P',

rF = TPy\ a

Il en résulte que les variations de T'P' seront proportionnelles à celles de TP, et que, par conséquent, les parties correspondantes des franges seront situées d'une manière absolument semblable dans les deux cas. Voilà pourquoi les intervalles entre les bandes obscures ou brillantes et leurs intensités conservent toujours les mêmes rapports, quelles que soient les valeurs de a et de M".

•'> En regardant les franges extérieures qui concourent à la production des franges

d'un fil de soie aussi près que possible de ayant alors des inclinaisons très -sensibles,

leur origine avec une lentille d'une ligne de l'hypothèse sur laquelle elle repose n'est plus

foyer, il m'a semblé que les rapports des in- exacte. Il est possible encore qu'à une dis-

tervalles étaient un peu changés ; mais il est lance aussi petite la lumière réfléchie par le

clair que cette loi doit changer lorsque 6 ou fd influe d'une manière sensible sur le phé-

a deviennent très-petits, puisque les rayons nomène et en altère la loi.

Y XIV. Je suppose que le point P, que l'on considère, soit, par exemple, le point le plus sombre de la bande obscure du premier ordre, et qu'on représente par S l'intervalle AF, qui répond à ce minimum; on aura

4=A«'(Vi+n)«

mais

Substituant cette valeur dans l'équation précédente, on en tire

Cette formule est absolument semblable à celle que nous avons trouvée, en supposant que les franges extérieures sont produites par le concours des rayons directs et des rayons réfléebis sur le bord de l'écran. On voit qu'il résulte de la nouvelle théorie, comme de la première hypothèse, que les valeurs de TP correspondantes aux différentes valeurs de b ne leur sont pas proportionnelles, mais sont les ordonnées d'une hyperbole dont celles-ci seraient les abscisses.

56. Je viens d'exposer les rapports généraux qui existent entre les largeurs d'une même frange, lorsqu'on donne au corps opaque des positions diverses par rapport au point lumineux ou au micromètre. Nous avons vu que ces lois pouvaient se déduire de la théorie, indépendamment de la connaissance de l'intégrale qui doit représenter dans chaque point la résultante de toutes les vibrations élémentaires ; mais, pour trouver la largeur absolue de ces franges, il est indispensable de calculer cette résultante; car on ne peut déterminer la position des maxima et minium d'intensité de lumière que par la comparaison de ses différentes valeurs, ou du moins par la connaissance de la fonction qui la représente. Pour y parvenir nous allons appliquer au principe de Huyghens la méthode que nous avons indiquée pour calculer la résultante d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes lumineuses, dont les intensités et les positions relatives sont données.