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APPLICATION DP. LA THKORIK DBS INTERFERENCES AU PRINCIPE DR Hl VGHP.NS.

57. SoitC un point lumineux dont les ondes se trouvent interceptées en partie par le corps opaque AG. Je suppose d abord que cet écran soit assez étendu pour que la lumière qui vient du côté G soit sensiblement nulle; en sorte que l'on n'ait à considérer que la partie de l'onde située à gauche du point A. DR ± représente le plan sur lequel on reçoit l'ombre et les franges dont elle est bordée; il s'agit de trouver l'expression de l'intensité de la lumière dans un point quelconque P de ce plan.

Si du point C comme centre, et d'un rayon égal à CA , on décrit l'arc de cercle AMI , il représentera Tonde lumineuse au moment où elle se trouve interceptée en partie par le corps opaque. C'est dans cette position que je la considère pour calculer la résultante des vibrations élémentaires envoyées en P. Si l'on partait d'une position antérieure A'MT, il faudrait déterminer l'effet produit par l'interposition du corps AG sur chacune des ondes élémentaires émanées de l'arc A'MT, et si l'on considérait l'onde dans une situation postérieure A"MT\ il faudrait d'abord déterminer les intensités relatives de ses différents points, dont I égalité aurait déjà été altérée par I interposition de l'écran , ce qui rendrait les calculs beaucoup plus compliqués et peut-être impraticables. En prenant l'onde, au contraire, au moment où elle arrive en A, les éléments du calcul sont très-simples, parce que toutes ses parties ont encore la même intensité, et qu'en outre les ondes élémentaires qui en émanent ne peuvent plus éprouver d altération de la part du corps opaque. Quelque nombreuses que soient les subdivisions que I on peut encore imaginer dans ces ondes élémentaires, il est clair qu'elles seront alors les mêmes pour chacune, puisqu'elles se propagent libre ment dans toutes les directions. Il suffit donc de considérer les axes de

i. Ao

Y XIV. ces faisceaux de rayons brisés, c'est-à-dire les lignes droites menées en P des divers points de Tonde AMI, et les différences de longueurs de ces rayons directs donneront les différences des chemins parcourus par les résultantes élémentaires qui concourent au point P^.

Cela posé, pour calculer leur résultante totale, je les rapporte à

" Par des raisonnements semblables on peut démontrer mathématiquement , sans effectuer les calculs , que le résultat doit toujours être le même, soit que l'on considère l'onde génératrice à l'instant où elle atteint le bord de l'écran , soit < une position antérieure ou ayant égard, dans le premier cas, aux modifications que les ondes élémentaires éprouvent de la part de l'écran, et, dans le second , a celles que l'onde génératrice a déjà éprouvées. En y réfléchissant un peu , on reconnaîtra que ces diverses manières de calculer la résultante ne diffèrent que par la manière de grouper les, vibrations élémentaires dans lesquelles on divise l'ébranlement primitif, et qu'on doit toujours arriver à la même valeur de l'intensité de la lumière au point P, s'il résulte de cette tbéorie, comme de toutes les autres, que la vitesse d'oscillation des molécules du fluide est en raison inverse de la distance au centre d'ébranlement. Or c'est ce que nous pouvons déjà vérifier sans connaître l'expression de l'inléijrale qui représente cette vitesse.

Prenons pour unité de distance celle du point lumineux à l'onde génératrice dans une première position, et pour unité d'intensité d'oscillation celle de l'onde dans la même position. Considérons maintenant un point ■<itué nu delà, a une distance jt du point lumineux, et par conséquent à une distance » — i de l'onde génératrice, et un autre h une dislanre j-' du point lumineux, et par conséquent ù nue distance -r' — « de l'onde

génératrice, et cherchons

résultante de toutes les vit

taires envoyées dans ces deux points par

l'onde génératrice. Nous ne savons pas quelle

est leur intensité pour un élément dz dy de

cette onde; mais nous savons que leur vi-

doit diminuer comme l«

.et que. si elle est

par exemple, dans le premier point, elle seru dans le second. Cela posé, pour com-

parer plus aisément les deux résultante:., concevons successivement , dans les deux cas . l'onde génératrice divisée en éléments qui répondent pour les deux points à des diffé-

alors leurs degrés d'accord ou de discordance seront les mêmes. Dans les petites obliquités où ces rayons peuvent produire des effets sensibles la différence de longueur de chacun d'eux avec le rayon normal est proportionnelle nu carré de l'intervalle entre les points dont ils émanent : ainsi les éléments correspondants des deux divisions seront proportionnels entre eux. On trouve . par un calcul géométrique fort simple, quiles dimensions des éléments de la division relative au premier point sont aux dimeu sions des éléments relatifs au second .cornu»

Ix — i /i i

Les surfaces des éléments correspondantseront donc entre elles comme

MÉMOIRE COURONNÉ SLR LA DIFFRACTION. 315

l'onde émanée du point M situé sur la droite CP, et à une autre onde :\" M Y. distante de celle-ci d'un quart d'ondulation, d'après le procédé que j'ai indiqué, en donnant la solution du problème des interférences. Je représente par dz une quelconque des petites parties nri de l'onde primitive, et par z sa distance au point M, ne considérant que la section de l'onde dans le plan perpendiculaire au bord de l'écran; ce qui suffit pour déterminer la position et les intensités relatives des bandes obscures et brillantes, ainsi que je l'ai démontré. L'intervalle nS compris entre l'onde AMI et l'arc tangent EMF, décrit du point P comme centre, sera égal à a et 6 exprimant toujours les distances CA et AB. Si l'on représente par X la longueur d'une ondulation, on aura, pour la composante de l'onde que l'on considère, rapportée à l'onde émanée du point M,

^C0S(7rJ-^1):

et pour l'autre composante, rapportée à une onde distante d'un quart d'ondulation de la première,

En faisant la somme des composantes semblables de toutes les autres ondes élémentaires, on a donc

fdz cos (tt ^6^) et J'dz sin (tt ^y^) :

et par conséquent les deux résultantes seraient dans le même rapport si les rayons avaient une intensité' égale dans les deux cas; mais nous venons de remarquer que la vitesse d'oscillation des rayons envoyés dans le premier point est à celle des rayons envoyés dans le second, comme

ainsi la première résultante sera n la seconde

x~ 1 v 1 . 1 ' 1 v 1 x *x-t- x' Xx'~ i ' ou comme

c'est-à-dire en raison inverse des distances de ces deux points nu point lumineux. C. Q. F.D.<".

« INole ajoutée i la rédaction primitive.

V" XIV. et par conséquent la résultante générale de tous ces petits mouvements, ou l'intensité des vibrations lumineuses au point P, est égale à

Quant à l'intensité delà sensation , comme elle doit être proportionnelle au carré des vitesses qui animent les molécules du fluide, son expression sera

C'est ce que j'appellerai Y intensité de la lumière, pour me conformer a l'acception la plus ordinaire de ce mot, réservant l'expression intensité tles vibrations pour désigner le degré de vitesse des molécules éthérées dans leurs oscillations.

58. Dans le cas que nous considérons, où le corps AG est assez étendu pour qu'on puisse négliger la lumière qui vient du côté G, les intégrales doivent être prises depuis A jusqu'à l'infini du côté I. Elles se divisent naturellement en deux parties, l'une comprise entre A et M, et l'autre entre M et l'infini. Celle-ci reste constante, tandis que la première varie avec la position du point P; ce sont ces variations qui déterminent la largeur et les intensités relatives des bandes obscures et brillantes.

L'analyse donne l'expression finie des intégrales

prises depuis j — o jusqu'à z — oo; mais on ne peut avoir leur valeur entre d'autres limites que par le moyen des séries ou des intégrations partielles. C'est par ce dernier procédé, qui m'a paru le plus commode, que j'ai calculé la table suivante, en rapprochant assez les limites de chaque intégrale partielle pour pouvoir négliger le carré de la moitié de l are qu'elles comprennent ,:. Cet arc est ici d'un dixième de quadians; ce qui donne dans les résultats une exactitude plus grande que

' i f I i -+- râlant les limites lr»>s-rnpproch<Vs outre lesquelles il faut intégrer flvcamj. '

celle à laquelle peuvent atteindre les observations. J'ai substitué, pour V XIV plus de simplicité, aux intégrales ci-dessus, fdvcosqv2 et fdv s'int/v'.

et «/usinât»*, on trouve, pour les formules approximatives qui donnent ces intégrales. «•■■ négligeant le carré de ,L t ,

fdv cos - — —L-— £ sin f (i+i) -«n,(i^) (i- 1)].

/du sin

Ce sont ces formules que j'ai employées dans le calcul de la table (*>.

Le Mémoire imprimé au tome V du Recueil de l'Académie des sciences et l'extrait publié dans les Annales de chimie et de physique dorment l'un et l'autre, au lieu des formules qu'on vient de lire , les formules

fdv cm qv' = itj{^t] [sin q ( < '+ t ) (< + it) -sin q {, + /) (, '- t )} .

fdv cos qv* = - — (, [ cos q ( i ' t ) ( i ' -t- il ) ■+- si n 9 ( t ' -+- 1) { 1 t } ] ;

dont il est facile de reconnaître l'inexactitude, soit en essayant de les employer au calcul des nombres de la table de Fresnel . soit en remarquant qu'en y faisant i = v, t = dv elles ne s»réduisent pas à

dvcosqv* et dvsinqv*.

mais h

2dv cos qv* et arfc sin qv*.

La même erreur se retrouve dans le manuscrit de la main de Fulgence Fresnel , dépo»é au secrétariat de l'Institut . et même dans le manuscrit entièrement autographe qui a servi à l'impression de l'extrait inséré aux Annales. Mais un brouillon de calcul . conservé dans les papiers de l'auteur, donne en même temps les véritables formules et leur démonstration. Nous le reproduisons textuellement:

fdvcosqv* (12" +2 j; v = a+p + u;

d'où u = v -p -a, du ~dv; /i' = «,u = -p \

\i*=o-f-ap,u=-+-p/ fdv cos qv* ^f du cos q [u* -t- 3 {a -t- p) u -t- ( a les valeurs de u étant comprises entre - p et p . lorsque /; est suffisamment petit . égal à

-L par exemple.. on peut négliger son carré u* et l'on a

fdvcosqv'^^l^^^ fdu cos q[iu {a + p) + (a ^p)*}

■ aT^ »n °l au + + C (J = p p).

= 27(1^7) [sin 9 ( a p) (a 3p) ~ sin 7 ( 8 + p ' ( " 1 ••

7 représentant le quadrans ou ^ -tt. vu qu'il est très-facile de passer des unes aux autres.

Lorsque / est assez petit pour qu'on puisse négliger son carré, au lieu de négliger seulement le carré de sa moitié, on peut se servir des formules suivantes, qui sont plus simple* :

fdv sin qv* [VVZ] + t) ~ COsql{l-*-2t)-^-CO$qi,}

fdv sinqv* (l^l + p)' v = u + a-(-p,

d'où u = v-a -p et dv^du.

v = fl, u = - p v = a + ipyu^ + p fdv sin qv* = fdu sin q [u* -t- au (a -t- p) -*- [a -t- p)*}

(du sin o (a p) [ au + (a-+-p)] = C— a(^^a't p| cosq(a-»-p)(au -t-fl + p).

- 3q{à+p) tcos<* (a p)- cosï(fl + p)(fl + 3p)].

Il est évident qu'en rédigeant son Mémoire Fresnel a écrit par inadvertance t au lieu de 9/ dans la définition des limites de ses intégrales.

1^ brouillon du tableau des valeurs numériques des intégrales porte d'ailleurs en tête l'indication suivante, qui ne laisse aucun doute sur la manière dont les calculs ont été faits :

Intégrations prises entre deux limites très - rapprochées qa et q (a -t- ap); je suppose

fdv ros qvl ^ a<? (q'^ p) [sin q [a + p) (a + 3p) - sinq(a-+-p) (a p)],

fdv sin qv* ^—^^[cMq [a + p)[a - p) - cos q (a + p) (a + 3p)].

Enfin, une partie assez notable du manuscrit des calculs numériques de Fresnel existe encore, et ces deux formules y sont rappelées à chaque instant. [E. Vebdet.]

Ces deux formules sont données exactement dans les écrits imprimés de Fresnel comme dans ses divers manuscrits. Elles sont d'ailleurs démontrées un peu plus loin, S 5q en note. ( E. Verdet. ]