DEUXIÈME PARTIE
23. Le docteur Young a remarqué le premier que les couleurs développées par la polarisation dans les lames cristallisées répondaient exactement à la différence entre les chemins parcourus au même instant par les rayons ordinaires et extraordinaires au sortir du cristal M. || a démontré, dans le numéro d'avril i 8 1 h du Quarterly Reviens
<l) Cette hypothèse explique si naturellement la grande différence d'épaisseur entre ces lames et celles qui donnent les mêmes couleurs dans les anneaux colorés, qu'elle me vint a l'esprit aussitôt que je cherchai à me rendre raison de ces phénomènes. Je l'avais même déjà communiquée à M. Arago ,
après l'avoir vérifiée pour le cas de l'incidence perpendiculaire, lorsqu'il me fit connaître ce que le docteur Young avait publié sur ce sujet. Comme cette remarque intéressante ne parait avoir fixé l'attention que d'un petit nombre de physiciens . j'ai pensé qu'il ne serait pas inutile de présenter ici le
N° XV (B>. que, pour les incidences obliques comme pour l'incidence perpendicu-
wlcul que j'avais fait pour le cas particulier des rayons perpendiculaires à Taxe'*».
Les teintes de l'image extraordinaire, ainsi que M. Biot l'a conclu de ses expériences, correspondent à celles des anneaux réfléchis : or, dans les anneaux réfléchis , le blanc du premier ordre répond à une différence d'une demi-ondulation entre les chemins parcourus par les rayons jaunes réfléchis à la première et à la seconde surface delà lame d'air; ainsi le blanc du 1" ordre, que la polarisation développe dans une lame cristallisée, répondra aussi à une différence d'une demi-ondulation jaune entre les chemins parcourus au même instant par les rayons ordinaires et extraordinaires.
Je représente par d' et d" les longueurs d'ondulation de ces deux espèces de rayons, et par n le nombre de vibrations pour produire entre eux une <
On aura nd' = nd" + i cT; d'où l'on tire et par conséquent nd', ou l'é-
paisse de la .amènera représentée par
Cela posé, d'après les observations de Malus sur la double réfraction du cristal de roche , le carré de la vitesse du rayon ordinaire est 9,6379 1 3 , de la lumière dans le vide étant prise pour unité, et le carré de la vitesse du rayon extraordinaire perpendiculaire à l'axe 9,658174. En prenant pour unité la longueur des ondulations jaunes dans le vide, et observant que la longueur
des ondulations est en raison inverse de la vitesse de la lumière calculée d'après le système de Newton, on trouvera pour les valeurs de d' et «T
= 0,64178 et d" = 0,6378 1 .
Substituant ces valeurs dans la formule
^ j, — ^s, et multipliant le résultat par
o", 0000000767 , longueur absolue des ondulations des rayons jaunes dans l'air ou le vide, on trouve que l'épaisseur de la lame, qui doit donner le blanc du premier ordre dans l'image extraordinaire, est égale a 0^,0000997. M- Biot a conclu de ses observations qu'elle devait être de o",oooo3 1 1 4 *. et la différence n'est que de o",oooooiA. Il est possible d'ailleurs qu'elle provienne en partie de quelque erreur légère dans la détermination des éléments de la double réfraction pour le cristal de roche.
Ces éléments ont été nécessairement déterminés avec plus d'exactitude dans le carbonate de chaux , où la double réfraction est beaucoup plus sensible . et l'on arrive en effet à un résultat plus conforme à l'observation en les prenant pour base du calcul. D'après Malus , le carré de la vitesse du rayon ordinaire, dans le carbonate de chaux, est 9,736693, et celle du rayon extraordinaire perpendiculaire à l'axe 9,9001 83. On en conclut pour les valeurs des ondulations ordinaires et extraordinaires :
<<' = o,6o44g. d' =0,676 17- En substituant ces valeurs dans la fori *JL , ct multipliant le ré-
* Voyex page 363 du tome IV de son Traité de physique.
*' (> qui suit reproduit à peu près Usuellement le paragraphe 16 de la première rédaction.
laire, ce principe s'accordait très bien avec les observations de M. Biot. N° XV (R). Mais il n'a point indiqué, je crois, dans quelles circonstances les rayons ordinaires et extraordinaires pouvaient s'influencer mutuellement, et n'a pas expliqué comment l'intensité des couleurs variait avec l'azimut de l'axe de la lame, ou de la section principale du rhomboïde de spath calcaire servant à les observer. C'est sur cette partie de la théorie que je me propose maintenant de donner quelques éclaircissements au moyen des principes que je viens d'établir.
2â. J'ai fait voir, par les expériences que j'ai décrites dans la première partie de ce Mémoire, que si les deux systèmes d'ondes dans lesquels se divise la lumière en traversant les substances douées de la double réfraction n'avaient aucune action l'un sur l'autre, ou du moins n'éprouvaient aucune augmentation ni diminution apparente d'intensité par leurs accords et leurs discordances, cela tenait uniquement à ce qu'ils étaient polarisés en sens contraires. J'ai démontré aussi que pour rendre sensible leur influence mutuelle il ne suffisait pas de les ramener ensuite à un même plan de polarisation, mais qu'il fallait encore qu'ils eussent été polarisés dans le même sens, avant d'entrer dans le premier cristal. En partant de ces principes, on peut concevoir comment la polarisation développe des couleurs dans des lames cristallisées qui n'en présentaient aucune à l'œil nu, du moins sous l'incidence perpendiculaire M.
sultat par o",oooooo57Ô7 , on trouve.
o"\oooooi686 pour l'épaisseur de la lame de carbonate de chaux qui donne le blanc du premier ordre dans l'image extraordinaire. Or il résulte des observations de M. Biot que les lames de sulfate de chaux ou de cristal de roche sont plus épaisses que celles de carbonate de chaux qui produisent les mêmes teintes, dans le rapport de 18.6 à 1 . Par conséquent l'épaisseur d'une lame de cristal de roche ou de sulfate de chaux , qui donne le blanc du i" ordre, doit être à o-,ooooot686 x 18,6, ou à
o",oooo3i36, résultat qui ne diffère que de o*",oooooosiq de celui que M. Biot a déduit des mesures directes. On ne pouvait pas s'attendre à un accord plus frappant.
(l) En regardant ces lames sous des incidences obliques , elles paraissent à la vérité légèrement colorées; mais alors les deux surfaces de In lame exercent sur une partie de la lumière la même action que les deux glaces non étamées dont M. Arago se servait dans ses belles expériences , et c'est ici la polarisation qui développe les leurs.
13«t THEORIE DE U El VIERE. — I) E l \ I E M E SECTION.
N \* H». 25. fa Soit 00 le plan «le polarisation du rayon incident, 0 0" la f. ( section principale de la laine cristallisée
qu'il traverse, et 0"0 ' celle du rhomboïde de spath d'Islande placé entre cette lame cl l'œil de l'observateur. Je représente par i l'angle OCO* et par a l'angle OCO"; 0 CO' sera égal à et - Cela posé, le rayon incident en traversant la lame se divisera en deux autres, l'un ordinaire polarisé suivant 0 0', et l'autre extraordinaire polarisé dans le sens E'E' perpendiculaire à 0 0', et l'intensité de chacun de ces deux faisceaux lumineux dépendra de leurs azimuts par rapport au plan primitif de polarisation 00. En représentant ces intensités par les formules de Malus, on a :
F , - F cos2 1 ... Fc — F sin" i.
F est le faisceau incident, et F0 et F, sont les faisceaux ordinaire et •vxtraordinairc. Comme ils sont polarisés en sens contraires, leur influence mutuelle ne produit pas d'effet sensible; mais en leur faisant traverser un second cristal, on les divise chacun en deux autres ordinaire et extraordinaire, d'où résultent quatre faisceaux différents dont deux ordinaires polarisés dans le mùme sens peuvent agir l'un sur l'autre d'une manière apparente, ainsi que les deux faisceaux extraordinaires. Les formules suivantes représentent les intensités de ces faisceaux qui composent les deux images ;
YM — F coss i cos2 (a — i ) FM — F sin2 i sin2 (a — i) — F cos2 i sin2 (a — « ) F„ = Fsin2»cos2(a-0
Image ordinaire.
Image extraordinaire
Je me sers ici des mêmes lettres que M. Biot pour faciliter In comparaison de se* foi nulle*, avec les miennes.
Les paragraphes -'ii . u<> et 17 «le cette nouvelle rédaction repnidiii*ent les para|;rn|>he>. M|. m. e| 11 de la première
"26. Des deux faisceaux qui concourent à la production de l'image V XV (B'i ordinaire, le premier ¥„, a éprouvé dans la lame la réfraction ordinaire, et le second F«, la réfraction extraordinaire; et comme ces deux sortes de réfraction impriment à la lumière des vitesses différentes, cette image sera colorée d'une teinte qui dépendra du nombre d'ondulations et de parties d'ondulation dont le rayon ordinaire aura devancé le rayon extraordinaire, ou aura été devancé par lui. Si cette différence, par exemple, est égale à la longueur d'une ondulation rouge, ce sera entre les vibrations de cette espèce que régnera l'accord le plus patfait, et le rouge dominera par conséquent dans l'image ordinaire. La eouleur de l'image extraordinaire dépendra aussi de la différence entre les chemins parcourus au même instant par les deux faisceaux qui la composent, dont l'un a éprouvé dans le premier cristal la réfraction ordinaire et l'autre la réfraction extraordinaire.
27. Mais ici se présente une difficulté : cette différence étant la môme dans les deux images, comment se fait-il qu'elles ne sont pas de la même couleur, mais au contraire de teintes complémentaires? Ces! ce qu'on ne pourra expliquer complètement, je crois, que lorsqu'on connaîtra les causes de la double réfraction et de la polarisation. Kn attendant, on peut remarquer qu'il faut nécessairement que le mouvement ondulatoire de la lumière, qui ne fait que se partager dans les corps transparents, regagne d'un côté ce qu'il a perdu de l'autre. Si une espèce de rayons se trouvent affaiblis dans une des images par la discordance de leurs vibrations, il faut, pour que la somme totale de leur mouvement ondulatoire reste constante, que l'intensité des mêmes l ayons reçoive un accroissement égal dans la seconde image, «jui sera par conséquent complémentaire de la première. Mais on ne peut concevoir cette augmentation d'énergie dans les rayons lumineux sans un accord entre leurs vibrations. Ainsi à la discordance complète des ondulations d'une certaine couleur dans l'image ordinaire, doit répondre un accord parfait des mêmes ondulations dans l image extraordinaire, et la teinte de l'une résultant de l'intervalle entre les deux systèmes d'ondes calculé d'après l'épaisseur de la lame cristallisée, celle de
N° XV (R). l'autre sera déterminée par le même intervalle augmenté d'une demiondulation. On retrouve ici cette différence d'une demi-ondulation, indépendante des chemins parcourus, qu'on a déjà remarquée dans des circonstances semblables entre les deux images des franges produites par le croisement de faisceaux lumineux qui avaient éprouvé une polarisation en sens contraires.
28. Il s'agit maintenant de savoir pour laquelle des deux images on doit ajouter une demi-ondulation à la différence entre les chemins parcourus, calculée d'après l'épaisseur de la lame.
Voici la règle que j'ai déduite des observations de M. Biot : l'image dont la teinte répond exactement à l'épaisseur de la lame cristallisée est celle dans laquelle les plans de polarisation de ses deux faisceaux constituants, après s'être écartés l'un de l'autre, se réunissent par un mouvement contraire, tandis que dans l'image complémentaire ils continuent à s'écarter jusqu'à ce qu'ils se trouvent sur le prolongement l'un de l'autre. Dans le premier cas l'angle des deux plans devient nul; dans le second il augmente jusqu'à ce qu'il soit égal à i8o°; ainsi une demi-circonférence décrite par les deux plans de polarisation ensemble produit une différence d'une demi-ondulation entre les deux faisceaux lumineux.
En généralisant cette règle on doit en conclure que lorsque la lumière qui traverse la lame cristallisée n'a point éprouvé de polarisation préalable, il n'y a pas de raison pour que les images soient plutôt colorées d'une des teintes que de l'autre, puisque le plan de la polarisation primitive n'a alors aucune direction déterminée, et dans ce cas en effet les deux images sont blanches, comme si elles résultaient du mélange des deux couleurs complémentaires. On voit encore ici la lumière ordinaire produire le même effet que des rayons d'intensité égale polarisés en sens contraires.
29. (,; Je ne m'arrêterai pas au cas où l'on superpose plusieurs lames de même nature : le phénomène, quoique plus compliqué alors, est tout
" Les paragraphes 39, 3o et 3i de cette deuxième réfaction reproduisent les paragraphes a5, «j6 et 37 de la première.
aussi facile à concevoir. Si leurs axes sont parallèles, elles produiront N" XV iB). évidemment le même effet qu'une lame unique dont l'épaisseur serait égale à la somme de toutes ces épaisseurs partielles (,). Quand au contraire leurs axes se croisent, chacun des deux faisceaux lumineux de la première lame éprouve dans la seconde en partie, ou en totalité si leurs axes sont rectangulaires, l'espèce de réfraction qu'il n'avait pas subie dans la première; en sorte que l'un, réfracté ordinairement dans la première, le sera extraordinairement dans la seconde, et que l'autre, réfracté extraordinairement dans celle-là, le sera ordinairement dans celle-ci. Par conséquent si les lames sont d'égale épaisseur, les deux faisceaux arriveront en même temps à la dernière surface, et si leurs épaisseurs sont inégales, la différence entre les chemins parcourus sera la même que celle qui résulterait d'une lame unique ayant pour épaisseur la différence entre celles des deux autres. Voilà comment en croisant les axes on parvient à développer des couleurs dans des plaques trop épaisses pour en produire isolément.
30. H me reste à expliquer maintenant les variations d'intensité qu'on observe dans la coloration des images, lorsqu'on fait tourner la lame cristallisée dans son plan , ou qu'on change l'azimut de la section principale du rhomboïde de spath calcaire. Pour cela reprenons les formules qui représentent l'intensité des quatre faisceaux lumineux dans lesquels se divise la lumière incidente par l'action des deux cristaux.
FO0 = F cos2 i cos2 (a — i ) , F,o=Fsin2tsin2(a-0.
F0f = Fcos2isin2(a-t), Fn = F sin2 i cos2 (a — i).
Image ordinaire.
Image extraordinaire
"' Ce principe, que l'expérience confirme transportent avec elles. Si l'on récapitule et qui est une conséquence nécessaire de la toutes celles qui résultent du système de
théorie des ondulations , présente de grandes l'émission , on conviendra qu'il est bien difii-
difficultés dans celle de M. Biot, et l'oblige à cile de concevoir a la fois, dans chaque nio-
admettre encore dans les molécules lumi- lécule, un si grand nombre de propriétés el
neuses de nouvelles modifications qu'elles de modifications différentes.
.Y XV (B). La teinte qui colore chaque image résultant de l'influence mutuelle qu'exercent l'un sur l'autre les deux faisceaux qui concourent à sa production, cette coloration disparaîtra lorsqu'un des deux sera nul, ce qui arrivera toutes les fois qu'un des quatre facteurs sin i,cosi, sin (a- 1), cos (a- 1), sera égal à zéro; alors les deux images deviendront blanches à la fois, puisque les formules qui représentent l'intensité de leurs faisceaux constituants sont composées des mômes facteurs. Or il y a huit manières de satisfaire aux quatre équations,
sin f ~ o , cos 1 = 0, sin (a — i ) = o , cos (a — i ) = o ,
savoir :
Ainsi, en faisant tourner la lame dans son plan, on doit trouver en général huit positions, dans lesquelles les deux images deviennent blanches. Lorsque la section principale du rhomboïde coïncide avec le plan primitif de polarisation, ou lui est perpendiculaire, ces huit manières de produire des images blanches se réduisent à quatre, indiquées par les équations
1 = 0, 1 = 90°, 1 = 180° et 1 = 270°;
et quand elles sont satisfaites, c'est-à-dire lorsque l'axe de la lame se trouve dans le plan de la polarisation primitive ou lui est perpendiculaire, les deux images sont toujours blanches, quelle que soit la direction de la section principale du second cristal.
31. Méprenons le cas où elle coïncide avec le plan primitif de polarisation : alors <x=o, et les formules deviennent :
\ F,™ -Fcos'i.
Ima^e ordinaire <
| F sin',.
V „, V cos" 1 sin 1 ,
Image extraordinaire
F„ r cos * sin f.
L'image ordinaire est blanche et l image extraordinaire est nulle N" XV (B). pour 1 = 0, 1=90°, 1= 1800 et 1= 2700. Mais dans toute autre position de la lame on aperçoit deux images colorées, et l'image ordinaire l'est d'autant plus que celui de ses deux faisceaux constituants qui s'était évanoui d'abord se fortifie davantage, et approche plus de l'intensité du second : ainsi le maximum de coloration de cette image 'répond à Fcos* « = Fsin* 1, ou sin t'^cosj, équation d'où l'on tire
/ = /i5°, i=i35°. i = 225° et i = 3i5°.
Ces mêmes valeurs de i répondent au maximum d'intensité de l'image extraordinaire; car sina i cos2 i est le plus grand possible, lorsque sin i= cos 1*. Ainsi les deux images ont acquis leur maximum de coloration lorsque Taxe de la lame fait un angle de 65° avec le plan primitif de polarisation.
32. Dans Je cas que nous considérons ici, l'image ordinaire, après avoir passé par le blanc, reprend la couleur qu'elle avait auparavant, dont l'intensité -seule varie et la nature reste constante. Car les plans de polarisation des deux faisceaux qui concourent à la formation de cette image, après avoir été placés dans des directions rectangulaires par l'action de la lame cristallisée, rétrogradent toujours pour se réunir, quel que soit l'azimut de son axe; tandis que dans l'image extraordinaire les deux plans de polarisation de ses faisceaux constituante continuent toujours à s'écarter, jusqu'à ce qu'ils se trouvent sur le prolongement l'un de l'autre. Ainsi, d'après la règle que j'ai donnée plus haut, l'image ordinaire répondra constamment aux anneaux transmis, et l'image extraordinaire aux anneaux réfléchis, pour lesquels il faut ajouter, comme on sait, une demi-ondulation au chemin parcouru dans la lame d'air.
C'est l'inverse quand la section principale du second cristal est perpendiculaire au plan primitif de polarisation. Dans cette nouvelle position du rhomboïde, l'image extraordinaire, en effet, joue le même rôle que l'image ordinaire dans le cas précédent : ainsi l'image extraordinaire répond toujours alors aux anneaux transmis, et l'image ordi-
Image extraordinaire
.N° XV (B). naire aux anneaux réfléchis, quel que soit l'azimut de Taxe du premier cristal.
33. W Supposons maintenant que <x=45°; alors les formules deviennent :
[ F„^cos'iW(45°-i).
Image ordinaire
| F„ = Fsinsisina(45°-i).
F„ = Fcossisinf(4$*--î), Fw=Fsm^W(/ir>°- i).
Si l'on fixe ie rhomboïde de spath calcaire dans cette position, et qu'on fasse tourner la lame dans son plan, on trouvera pour son axe huit azimuts différents, dans lesquels les deux images deviendront blanches, savoir :
i ~ o, i = £5°, i — 90°, 1 = 1 35°, t = 1 8o°, 1 = 22 5°, i= 2 70° et 1= 3 1 5° :
car chacune de ces valeurs de 1 anéantit un des deux faisceaux constituants de chaque image. La coloration de ces images au contraire atteindra son maximum dans toutes les positions de la lame où son axe divisera ces angles en deux parties égales; car c'est alors que le plus faible des deux faisceaux, dans chaque image, le sera le moins possible, comme on peut s'en assurer par l'inspection des formules ci-dessus. Il est aisé de voir aussi, d'après la règle que j'ai donnée plus haut, qu'après chaque passage au blanc les deux images doivent avoir ■changé leurs teintes.
34. Les huit positions de l'axe du premier cristal qui font disparaître les couleurs divisent la circonférence en parties égales dans le cas que nous considérons ici, parce que a étant égal a 65°, l'équation de condition a - 1 — . o est alors satisfaite par i— 65°. Mais il n'en est plus ainsi lorsque a est plus grand ou plus petit que 65°, et les huit positions de Taxe qui satisfont aux mêmes conditions ne font plus entre elles des
"' Depuis le paragraphe 33 jusqu'à la lin de celle nouvelle rédaction, el depuis le paragraphe 99 de l« première jusqu'à la lin, les deux textes son! identiques.
angles égaux; en sorte que telle apparition des images colorées dure .V XV dit plus longtemps que celle qui la suit; ce qui fait aussi que la coloration dans la première acquiert beaucoup plus de vivacité que dans la seconde, parce que le plus faible des deux faisceaux constituants dans celle-ci ne peut pas parvenir au même degré d'intensité. Ces différentes périodes de coloration sont d'autant plus inégales que a approche plus de zéro ou de 900; et enfin, quand il atteint une de ces limites, quatre périodes sont nulles, et il ne reste plus que les quatre autres : c'est le premier cas que nous avons considéré.
35. Toutes les conséquences (pie je viens de tirer de ces formules sont confirmées par l'expérience; et il me semble que cet accord prouve suffisamment qu'elles représentent aussi fidèlement les faits dans la théorie des ondulations que celles de M. Biot dans le système de Newton. A la vérité, les siennes ont sur celles que j'ai employées l'avantage d'indiquer dans chaque cas laquelle des deux images doit répondre aux anneaux transmis ou aux anneaux réfléchis. Mais l'explication déduite de la théorie des ondulations est bien plus conforme que celle de M. Biot aux principes généraux de la polarisation de la lumière dans les substances cristallisées.
Pour expliquer ces phénomènes, M. Biot suppose que les molécules lumineuses, en traversant une lame cristallisée, ne se polarisent pas suivant sa section principale et en sens contraire, comme dans les cristaux d'une épaisseur beaucoup plus considérable, mais suivant deux plans, dont l'un est celui de la polarisation primitive, et l'autre fait un angle égal avec l'axe du cristal; en sorte que les pôles des molécules lumineuses oscillent de part et d'autre de cet axe, et ne s'y arrêtent qu'après un très-grand nombre d'oscillations. Car cet habile physicien, en croisant des plaques de cristal de roche de près de quatre centimètres d'épaisseur, y a développé des couleurs semblables à celles que donnent les lames minces, et en a conclu que les mêmes oscillations devaient avoir lieu dans toute l'étendue de ces cristaux. Or il semble que des oscillations dont l'amplitude n'a éprouvé aucune altération pendant un trajet aussi considérable devraient se prolonger indéfiniment.
\- XV fR). on du moins assez loin pour se faire sentir encore dans des plaques beaucoup plus épaisses, et qui, taillées obliquement par rapport à l'axe, diviseraient la lumière en deux faisceaux distincts. Mais il y a plus, M. Biot a reconnu les mêmes oscillations dans des prismes de cristal de roche superposés, et qui cependant, pris à part, produisaient chacun la double réfraction sensible, et polarisaient la lumière parallèlement et perpendiculairement à l'axe; dt>ù il faudrait conclure que les faisceaux qui les traversaient ne recevaient la polarisation fixe qu'au moment de leur émergence, et dans des directions très-différentes de celles où ils étaient polarisés immédiatement auparavant; ce qui est bien difficile à admettre, car, d'après toutes les expériences faites jusqu'à présent, il ne paraît pas que les surfaces des cristaux aient sur la lumière une action polarisante différente de celle des autres corps transparents.
36. Quelque surprenantes que fussent les conséquences de sa théorie, M. Biot a dû les regarder comme résultant nécessairement des faits, puisqu'elles étaient déduites d'une hypothèse qui les représentait fidèlement, et pouvait seule en rendre raison dans le système de Newton. C'est pour faire sentir les inconvénients de ce système que j'ai cru devoir présenter, ou plutôt rappeler ici ces objections, que j'ai tirées de l'ouvrage même de M. Biot.
37. Toutes ces difficultés disparaissent dans la théorie des ondulations, qui n'oblige pas, comme celle-ci, à supposer que les cristaux d'une petite épaisseur polarisent la lumière autrement que ceux qui la divisent en deux faisceaux distincts. Elle indique la relation qui existe entre les anneaux colorés et ces beaux phénomènes dont la découverte est due à M. Arago; et elle fait voir que les couleurs développées par la polarisation dans les lames cristallisées dépendent uniquement de la différence entre les chemins parcourus au même instant par les deux systèmes d'ondes lumineuses qui sortent du cristal, de même que la teinte de la lame d'air dans les anneaux colorés résulte de la différence entre.lcs chemins parcourus par les rayons réfléchis à sa première et à sa seconde surface. Ce n'est pas ici une simple ana-
loçie entre les deux phénomènes; les mêmes couleurs y sont produites pur Nu XV (Hi. les mêmes différences entre les chemins parcourus , en sorte qu'il suffit de connaître les deux pouvoirs réfringents d'un cristal, et la longueur des ondulations lumineuses déduite des anneaux colorés, pour déterminer, d'après son épaisseur, l'espèce de teinte que la polarisation doit y montrer.
38. Si l'on fait attention aux nombreuses applications de ce principe des accords et des discordances des vibrations lumineuses, si l'un se rappelle qu'il a conduit à la découverte des lois de la diffraction et <le> rapports jusqu'alors inconnus entre la largeur des franges et l'épaisseur des lames d'air qui produisent les anneaux colorés, on doit être frappé de sa fécondité, et convenir que lors môme que la théorie de> ondulations n'aurait pas sur le système de Newton l'avantage d'expliquer plusieurs faits absolument inconcevables dans celui-ci, elle mériterait déjà la préférence par les moyens qu'elle donne de l'attacher entre eux tous les phénomènes de l'optique, en les embrassant dam» des formules générales.
Paris, le 6 octobre i8tb\
l\GEMIEU* DSS PONTS ET CtUU>Stfc>.
l« MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. hl\\
- - - N° XVÎ.
Na XVI.
MÉMOIRE
SIR LES MODIFICATIONS QUE LA RÉFLEXION IMPRIME A LA LUMIÈRE POLARISÉE '".
| muimi » l'isstitci lk 10 novembre 1817. ~ Commissaires : MM. Ampère cl Araco. |
I. Une expérience fort simple, et dans laquelle je ne m'attendais guère à trouver un résultat nouveau, m'a conduit à la découverte des phénomènes singuliers qui font l'objet du Mémoire que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie. En recevant sur une glace non étamée un
<• Ce Mémoire N* XVI est imprimé conformément au manuscrit autographe appartenant aux archives de l'Institut; on a reproduit quelques annotations marginales au crayon, de In main de Fresnel , et on a relevé quelques variantes offertes par une rédaction primitive.
On a cru devoir le placer à sa date, quoiqu'il n'ait pas été compris avec ceux qui le précèdent et le suivent dans le rapport académique du & juin i8ai, qu'il ne leur tienne pas nécessairement et soit au contraire étroitement lié à des travaux de beaucoup postérieurs. En effet, son supplément iV XVII est également inséparable et du Mémoire luimême, et du Y XV qu'il complète; on se contentera donc de remarquer qu'il faut chercher les développements naturels de ce travail dans les.V' XXVIII, XXIX et XXX. (Voir, au sujet du Mémoire N* XVII. les lettres à L' Fresnel des ja octobre et 38 novembre 1817. )
Il suffit d'ailleurs de jeter un coup d'œil sur la table des matières du présent volume, pour s apercevoir que la seconde des diverses séries entre lesquelles on a réparti les travaux successifs de Fresnel est beaucoup moins homogène que la première. Elle est aussi moins homogène que les séries suivantes. Ce qui précède explique pourquoi il n'a pas t lé possible d'adopter un autre classement; mais on peut encore justifier l'ordre suivi par une considération qui n est pas sans importance.
Ce n'est pas fortuitement . c'est en vertu d'une nécessité logique que les recherches rie
M2 THÉOKIK DK LA LUM1ÈRK. — DEUXIÈME SECTION.
V XVI. faisceau lumineux divisé en deux par l'action d'un rhomboïde de spath calcaire, et observant avec un autre la double image de l'ouverture éclairante, j'ai remarqué que la rotation du second rhomboïde faisait toujours disparaître successivement chacune des quatre images, quel que HU l'angle d'incidence et l'azimut du plan de réflexion par rapport au plan de la polarisation primitive. Plusieurs liquides que j'ai substitués à la glace produisant le môme résultat, j'en ai conclu que la lumière polarisée complètement conservait encore cette propriété après sa réflexion sur les corps transparents.
2. Il paraît que cette observation avait échappé aux savants qui se sont occupés de la polarisation; car M. Biot n'en fait point mention dans le chapitre de son Traité de physique où il parle de l'influence de la réflexion sur la lumière polarisée ("M.
(,: Traité de physique expérimentale et mathématique, liv. VI, chap. i, t. IV. p. i54.
Fresnel sur la jwlarisation colonie ont été comme enchevêtrées avec les recherches sur la réfraction et la réflexion de la lumière polarisée. Dans l'un comme dans l'autre de ces deux fjroupes de phénomènes, pour arriver a l'établissement d'une théorie il fallait d'abord reconnaître que le véritable élément de l'optique est le rayon polarisé, que le rayon naturel qui s'offre de lui-même a nos expériences , ainsi que son nom même l'indique . est un système < omplexc, dont les propriétés doivent être déduites de celles des éléments qui le constituent. On a vu dans le Mémoire précédent un premier soupçon de celte proposition capitale, à l'occasion des couleurs développées par les lames cristallisées [N" XV (A), 8 i5 et suivant*, et XV (B), S q3 et suivant»]. On va en trouver une confirmation dans le Mémoire actuel. On verra les phénomènes si complexes de 4a dépolarisation partielle ou complète due h lo réflexion totale ramenés à des lois simples et nettes par la décomposition constante du faisceau lumineux en ses deux éléments polarisés dans le plan de réflexion et dans le plan perpendiculaire. L'explication déiinitive de deux groupes de phénomènes en apparence trèsdifférents, ceux des lames cristallisées et ceux de la réflexion, sera ainsi ramenée h dépendre rie la solution d'un seul problème : tronver en quoi consiste la modification des vibration* lumineuses qui caractérise la lumière polarisée. [ E. Vebdet. ]
Dans une première rédaction, on lit a la suite de cette phrase :
Va n. et même la phrase qui termine la page 377 me semble contenir un principe contraire aux faits que l'expérience m'a présentés; voici ses propres expres-
M J'ai consulté aussi le Mémoire de Malus relatif au même objets, Nu XVI. lu à l'Institut le 27 mai 1811. Mais la manière dont il expose les résultats de ses expériences me fait supposer qu'il regardait la lumière comme dépolarisée en partie par sa réflexion sur le verre, quand elle avait lieu dans un autre plan que celui de la polarisation primitive, et sous une inclinaison plus grande ou plus petite que celle de 35° 2 5'; car il dit qu'alors la lumière réfléchie contient : i° une portion de lu-
sions : «Ce résultat et le précédent peuvent se réunir dans un même énoncé, en ■'disant qu'un rayon polarisé par une première réflexion demeure polarisé après -une seconde, lorsque les axes X des molécules réfléchies restent parallèles au -premier plan de réflexion. Mais tout autre sens de réflexion qui détruit ce parallr- - Usine dépolarise le rayon partiellement ou en totalité, m
Ce second alinéa du paragraphe * remplace le passage suivant du premier manuscrit :
Var. J'ai lu aussi le Mémoire de Malus relatif au même objet; mais cet habile physicien ne paraît pas avoir remarqué que la lumière réfléchie sur le verre était toujours aussi complètement polarisée que la lumière incidente : il dit même que les rayons réfléchis sous des incidences autres que celles de la polarisation complète sont polarisés à la fois parallèlement et perpendiculairement au plan de réflexion , quand ce plan fait un angle oblique avec celui de la polarisation primitive. Je présume qu'il laissait dans une position Gxe le rhomboïde de spath calcaire, avec lequel il analysait la lumière réfléchie, et ne faisait varier que l'inclinaison de la glace; car s'il avait fait tourner ce rhomboïde, il aurait vu constamment chaque image s'évanouir deux fois dans une révolution entière. A la vérité on pouvait encore concevoir cette disparition de l'image, dans la théorie des ondulations, en admettant avec Malus que le faisceau réfléchi est composé de deux autres polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan de réflexion, et en supposant qu'ils se trouvent en discordance complète dans cette image et d'égale intensité lorsqu'elle disparait. Mais c'est une hypothèse qu'il n'a pas dû faire, et d'ailleurs, s'il avait remarqué que la lumière réfléchie conserve toutes les apparences d'une polarisation complète, il n'aurait pas sans doute négligé d'en parler.
b) Mémoire sur les phénomènes qui accompagnent la réflexion et la réfraction de la lumière (Mémoires de la classe de* sciences mathématiques et physiques de l'Institut, l. XI. •«' partie, p. 1 ia.1
VVi THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.
Y XVI. mière polarisée par rapport au plan primitif de polarisation; 2° une.
autre portion polarisée par rapport au plan d'incidence. D'ailleurs s'il avait remarqué que la lumière réfléchie conserve toutes les apparences d'une polarisation complète, il n'aurait pas sans doute négligé d'en parler.
Ayant peine à croire cependant que cette observation eût échappé à un aussi habile physicien, j'ai été jusqu'à soupçonner, malgré l'analogie, qu'il pouvait se faire que la lumière polarisée par réflexion se comporta* t autrement , dans cette circonstance, que la lumière polarisée par l'action d'un cristal, et que c'était la première que Malus avait employée; mais en l'essayant je n'ai point remarqué de différence <lans les résultats. J'ai même répété ces expériences avec un appareil plus commode, que M. Arago a eu la bonté de me prêter, et j'ai toujours vu chaque image disparaître entièrement pendant la rotation du rhomboïde, lorsque la lumière incidente avait été bien complètement polarisée par la réflexion préliminaire.
Je regarde donc comme un principe général que la lumière polarisée complètement, de quelque manière que ce soit, ne perd point cette propriété dans sa réflexion sur les corps transparents, et qu'elle n'éprouve alors d'autre modification apparepte qu'un changement dans l'azimut de son plan de polarisation.
3. Si la glace non étamée ne faisait que réfléchir simplement les ondes lumineuses, sans leur imprimer aucune modification transversale, leur plan de polarisation ne devrait éprouver d'autre changement de direction que celui qui résulte de la réflexion même, tous les mouvements du fluide lumineux étant alors reproduits symétriquement dans le faisceau réfléchi: ainsi dans cette hypothèse le plan de polarisation du rayon réfléchi serait l'image du plan de polarisation du rayon incident. Kn parlant de ce principe, toute déviation du plan de polarisation de la lumière réfléchie par rapport à l'image de celui de la lumière incidente doit être considérée comme l'effet de l'action polarisante de In surface réfléchissante. C'est du moins sous ce point de vue que j'ai envisagé le phénomène; la marche du plan de polarisation des rayons
réfléchis devient facile à suivre en la comparant ainsi à l'image de celui Y' \VI. des rayons incidents.
k. Je l'ai d'abord étudiée dans le cas où le plan de la polarisation primitive fait un angle de h& avec le plan de réflexion, parce que c'est alors que l'action perturbatrice de la surface réfléchissante est le plus prononcée. Voici ce que j'ai observé.
Tant que le rayon incident était peu éloigné de la normale, le plan de polarisation des rayons réfléchis n'avait éprouvé aucune déviation sensible, c'est-à-dire qu'il coïncidait avec l'image de celui des rayons incidents. Mais ces rayons devenant plus obliques, le nouveau plan de polarisation se rapprochait du plan de réflexion et se confondait avec lui, lorsque l'incidence était celle qui produit la polarisation complète. L'inclinaison des rayons réfléchis sur la surface augmentant toujours, leur plan de polarisation dépassait le plan de' réflexion, et s'en éloignait d'autant plus qu'ils se rapprochaient davantage de la glace. Enfin il me paraissait presque perpendiculaire à l'image du plan de la polarisation primitive, quand les rayons faisaient un angle très-petit avec la surface réfléchissante, d'où j'ai conclu qu'il devait lui être exactement perpendiculaire lorsque cet angle devenait égal à zéro.
Il en résulte qu'à cette limite le plan de polarisation des rayons réfléchis coïncide avec celui des rayons incidents, parce qu'alors ceux-là sont sur le prolongement de ceux-ci, et que le plan primitif de polarisation est perpendiculaire à son image, puisque, par hypothèse, il fait un angle de 65° avec le plan de réflexion. Ainsi, lorsque la lumière est réfléchie presque parallèlement à la glace, en regardant à la fois les images directes et les images réfléchies de l'ouverture éclairante au travers du second rhomboïde de spath calcaire, on doit voir dans les unes et les autres les images analogues s'évanouir en même temps.
Gela a lieu constamment, quel que soit l'azimut du plan de polarisation primitive par rapport au plan de réflexion; ainsi le plan de polarisation «les rayons réfléchis coïncide toujours avec celui des rayons incidents, quand ils sont parallèles à la surface. Il s'ensuit qu'à cette limite le nou-
N° XVI. veau plan de polarisation est toujours placé, relativement à l'image du premier, de l'autre côté du plan de réflexion, et à la même distance angulaire; de sorte que l'angle qu'il fait avec cette image, égal à 900 lorsque son azimut est de 55° par rapport au plan de réflexion, devient obtus ou aigu, selon que cet azimut augmente ou diminue. Quand, au contraire, le faisceau lumineux est perpendiculaire à la surface, la coïncidence des deux plans de polarisation entraîne celle de leurs images.
5. Lorsque l'angle d'incidence est celui de la polarisation complète, le plan de polarisation se trouve toujours ramené dans le plan de réflexion, quelle que soit sa direction primitive. Mais pour toute autre incidence l'azimut du nouveau pian de polarisation varie avec celui du premier. D'un autre côté celui-ci restant constant, celui-là change avec l'incidence. En mesurant ces angles dans un grand nombre de cas différents, on parviendrait peut-être à découvrir la loi de leurs variations, et à la représenter par une équation entre le pouvoir réfringent du corps réfléchissant, l'angle d'incidence, l'azimut du plan de polarisation des rayons incidents, et celui des rayons réfléchis. Je me propose de m'occuper de cette recherche aussitôt que l'appareil gradué que je fais construire sera terminé
6. Les plans de polarisation des deux images de l'ouverture éclairante produites par le premier rhomboïde, perpendiculaires entre eux avant la réflexion, le sont encore après, lorsqu'elle a lieu sous une incidence très-oblique ou voisine de la normale, et deviennent parallèles, au contraire, lorsque cette incidence est celle de la polarisation complète. Comme leurs azimuts varient graduellement avec l'inclinaison de la glace, il en résulte que dans toutes les incidences intermédiaires ils forment entre eux des angles plus ou moins aigus, et que par conséquent la position du second rhomboïde, qui fait évanouir l'image ordinaire ou extraordinaire d'une des images réfléchies, ne doit pas faire disparaître l'image ordinaire ou extraordinaire de l'autre
Je n'oi point encore trouve- la loi du phénomène (,;. ('» Note marginale au crayon de feipàlîtion authentique. (Voyez ri-apnV, N" XXII, S 1 1 .)
Ainsi la rotation du second rhomboïde ne fait évanouir qu'une image N° XVI. à la fois, ce qui paraît surprenant au premier abord, lorsqu'on esl habitué à l'effet de deux rhomboïdes superposés. Il arrive même, dans certaines inclinaisons de la glace et positions du premier rhomboïde, que les trois images restantes sont d'égale intensité M.
Tous les corps transparents sur lesquels j'ai fait des expériences semblables m'ont présenté des résultats analogues (î). Mais j'ai reconnu que les métaux dépolarisaient toujours la lumière d'une manière trèssensible, excepté dans les incidences voisines de la normale ou de la tangente à la surface du miroir; encore dans ce dernier cas n'ai-je jamais obtenu la disparition entière des images par la rotation du second rhomboïde, ce qui tenait sans doute à ce que les rayons incidents faisaient encore un angle trop sensible avec la surface du miroir métallique, dont la petite étendue ne me permettait pas de m approcher beaucoup du parallélisme. Car l'analogie me porte à croire qu'à la limite, c'estrà-dire quand les rayons réfléchis sont sur le prolongement des rayons incidents, ils ne doivent éprouver aucune dépolarisation. Quoi qu'il en soit, les variations du plan de polarisation partielle des images réfléchies par le miroir métallique m'ont paru suivre des lois semblables à celles que j'avais observées dans le plan de polarisation complète des images réfléchies par une glace non étamée.
7. En faisant tomber très-obliquement sur une glace étamée un faisceau lumineux polarisé dans un azimut de 65° environ par rapport au plan de réflexion, j'ai remarqué que les images réfléchies à la première et à la seconde surface de la glace se trouvaient polarisées à peu près en sens contraires (3); ce qu'on peut concevoir en observant
(,) Parier des changements que produit rapprochent des métaux par cette propriété,
la réfraction dans la lumière polarisée (,). Je ne l'ai point encore essayé; mais je pré-
(,) Il est possible que la lumière éprouve sunie que cette dépolarisation doit être pres-
une légère dépolarisation sur les corps trans- que insensible.
parents trop réfringents pour produire ln (,) Les images réfléchies sur le tain éprou-
polarisation complète par une seule réflexion, vent une légère dépolarisation , car elles ne
tels que le diamant elle soufre natif, qui se s'évanouissent pas entièrement pendant la
m THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.
iV XVI. que lorsque les rayons incidents presque parallèles à la glace ne font plus avec elle, par exemple, qu'un angle de 5°, les rayons réfractés font encore avec sa surface inférieure un angle de 5o°, et sont ainsi fort éloignés de l'incidence sous laquelle le tain pourrait tourner leur plan de polarisation dans le plan de réflexion; tandis que celui des rayons réfléchis à la première surface du verre est déjà presque perpendiculaire à l'image du plan primitif de polarisation
8. J'ai tiré sur le champ une conséquence de cette observation : c'est que si l'on recouvrait un miroir métallique d'une couche transparente assez mince pour produire des couleurs, et qu'on l'éclairât très-obliquement avec un faisceau lumineux polarisé, en faisant tourner le miroir autour de ce faisceau, on verrait les couleurs disparaître, ou du moins s'affaiblir beaucoup, quand le plan de réflexion se trouverait dans un azimut de 45° par rapport au plan primitif de polarisation, parce qu'alors les deux systèmes d'ondes réfléchies par le métal et par l'enduit transparent seraient polarisés à peu près en sens contraires, ce qui rendrait leur influence mutuelle presque insensible. C'est aussi ce (jue l'expérience confirme, comme je m'en suis assuré en étendant sur un miroir d'acier une légère couche d'huile de térébenthine. Quand elle fut assez amincie par l'évaporation pour donner des couleurs, je l'exposai à un faisceau de lumière polarisé par réflexion sur une glacr non étamée, autour duquel je la faisais tourner. Tant que l'inclinaison des rayons était moindre que celle qui produit la polarisation complète sur l'huile de térébenthine, les couleurs devenaient le plus faible* possible lorsque le plan de réflexion était perpendiculaire au plan àv la polarisation primitive, et atteignaient au contraire leur nuurimum d'intensité au moment où ces deux plans coïncidaient. Cette différence était surtout frappante pour l'incidence de la polarisation complète, parce qu'alors, quand le plan de réflexion était perpendiculaire au
rotation du second rhomboïde, comme celle* (l Je présume que ce phénomène n
qui sont reïléchies à la surface extérieure de core une autre cause ":. la glace.
" Notf in;irj;i:ialr mu crayon de IYx|»HliLi<>n aulhcnlitpip.
plan primitif de polarisation, toute réflexion cessant à la première sur- Y XVI. face, les couleurs disparaissaient entièrement. Mais en inclinant davantage le miroir sur le faisceau incident, le minimum d'intensité des couleurs se rapprochait de l'azimut de 65°, et l'atteignait sous des incidences très-obliques; alors le miroir ne réfléchissait plus qu'une lumière blanche uniforme, ou du moins les couleurs étaient a peine sensibles. Elles reparaissaient avec toute leur vivacité par l 'interposition d'un rhomboïde de chaux carbonatée. qui ramenait dans les mêmes plans de polarisation les deux systèmes d'ondes polarisées en sens contraires. Il est à remarquer que, sous ces incidences très-obliques, les teintes ne changent pas seulement d'intensité, mais encore de nature par la rotation du miroir autour du faisceau polarisé, et sont le plus différentes possible (presque complémentaires) dans les azimuts o° et qo°. Il me semble qu'on devrait en conclure que la réflexion qui a lieu à la surface du métal ne s'opère pas à la même profondeur pour des rayons polarisés parallèlement ou perpendiculairement au plan d'incidence. Je parlerai bientôt d'une autre espèce de phénomènes qui paraissent confirmer cette conjecture W'1.
9. Sous des incidences très-obliques les couleurs produites par la lumière ordinaire sont aussi faibles que celles de la lumière polariser dans l'azimut de 65°, et, comme celles-ci , elles redeviennent très-éela-
■'' Ces phénomènes onl beaucoup de ro|>- les siennes. Au reste je n'avais pas enrore lu port avec ceux que M. Arago ;i observés sur son Mémoire lorsque j'ai fait ces expérience-; un couvercle de laiton verni lb:. Néanmoins. auxquelles j'ai été conduit , comme je vieil!» d'après l'explication qu'il en donne dans son de le dire, par la remarque que j'avais f.iil* intéressant Mémoire sur les couleurs des sur le sens des plans de polarisation delames minces, je suis porté fi croire qu'il y rayons réfléchis à la première et à la semml.
a quelque différence entre mes expériences et surface d'une place élamée.
"' Dans le langage actuel de l'optique cette remarque signifie qu'il y a une diflVivnce <l< phase entre le rayon polarisé dans le plan d'incidence et le rayon polarisé dans le plan perpendiculaire réfléchis sous un même angle a la surface d'un métal. On sait que c'esl en asant égard à ce principe que M. Neumann a interprété le premier les expérience.- de lîiew-tei sur la réflexion métallique. [E. Vebdet. ]
|k Mémoire »nr les couleurs (les lames minces. {Méuimre* </<■ I%j<h,/ii,< et >lr t'.himir </. /-i Swi.-t, •l' ircueil, I. III. p. aa3. Œuvra rompUte* . t. \ , p. i .)
N" XVI. tantes en les regardant au travers d'un rhomboïde de spath calcaire tourné de façon que sa section principale soit parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion. L'on ne peut plus cependant appliquer a ce cas l'explication que je viens de donner pour l'autre; car alors les rayons réfléchis à la première et à la seconde surface de la couche d'huile de térébenthine ne sont plus polarisés en sens contraires.
Quoique les métaux ne paraissent imprimer à la lumière qu'une polarisation fort imparfaite, il est possible qu'ils la polarisent complètement, mais dans deux plans rectangulaires à la fois, comme le pensait Malus. Si, dans le cas dont il s'agit, la lumière réfléchie à la surface de contact de l'enduit et du métal était composée de deux faisceaux polarisés, l'un parallèlement et l'autre perpendiculairement au plan de réflexion, et réfléchis en conséquence à des profondeurs différentes, comme les phénomènes précédents paraissent l'indiquer, alors l'action de chacun de ces deux systèmes d'ondes sur celles qui sont réfléchies à la première surface de l'enduit produirait deux teintes différentes, qui se neutraliseraient sensiblement pour l'œil nu, si elles étaient à peu près complémentaires et d'égale intensité, et reprendraient toute leur vivacité quand on les séparerait avec un rhomboïde de spath calcaire. Je ne présente au reste cette explication que comme une simple hypothèse, qui peut conduire à la véritable solution du problème.
10. Cette même remarque sur l'opposition des plans de polarisalion des images réfléchies à la première et à la seconde surface d'une glace étamée m'a conduit à une expérience assez curieuse. Lorsque la lumière incidente est polarisée dans un azimut de 45°, par rapport au plan de réflexion, et tombe très-obliquement sur sa surface, la glace lui imprime des modifications à peu près semblables à celles qu'elle recevrait en traversant un cristal doué de la double réfraction, puisqu'elle la divise en deux systèmes d'ondes polarisées alors dans deux plans presque rectangulaires. A la vérité l'intervalle qui les sépare est énorme, si on le compare à celui que produirait une plaque de sulfate de chaux ou de cristal de roche de même épaisseur que la glace. Mais nn miroir très-mince, tel qu'une feuille de verre soufflé étamée, ne
séparerait pas les deux systèmes d'ondes réfléchies à sa première et à V XVI. sa seconde surface plus qu'une plaque cristallisée de quelques millimètres d'épaisseur. Quand on connaît la vitesse des rayons ordinaires et extraordinaires dans le cristal, il est aisé de déterminer par le calcul le rapport qu'il doit y avoir entre l'épaisseur de la feuille de verre et celle de la plaque cristallisée pour que la dilîérence des chemins parcourus par les deux systèmes d'ondes soit la môme dans l'une et dans l'autre. En réduisant donc une plaque de cristal de roche, ou de sulfate de chaux, à une épaisseur telle que la différence entre ces intervalles ne soit que de deux ou trois ondulations jaunes, on pourrait y développer des couleurs très-brillantes, en disposant la plaque cristallisée de façon que les rayons réfléchis à la première surface delà glace y subissent la réfraction extraordinaire, qui ralentit plus que l'autre la marche de la lumière dans ces deux espèces de cristaux.
N'ayant point de feuille de verre étamée, j'ai recouvert le miroir d'acier dont je m'étais déjà servi d'une couche de vernis très-mince, mais pas assez cependant pour colorer seule la lumière réfléchie. J'ai fait tomber très-obliquement ^ sur sa surface un faisceau de lumière polarisé dans un azimut de 65° par rapport au plan de réflexion, et j'ai placé entre ce miroir et le rhomboïde de spath calcaire, au travers duquel je le regardais, une lame de sulfate de chaux, dont la surface était perpendiculaire aux rayons réfléchis, et l'axe tourné dans le même azimut que l'image du plan de la polarisation primitive, qui diffère peu dans ce cas du plan de polarisation des rayons réfléchis à la surface du métal; en sorte que ce système d'ondes, qui se trouvait en arrière par rapport à l'autre, à cause du chemin plus long qu'il avait parcouru, s'en rapprochait en subissant la réfraction ordinaire, tandis que celui-ci éprouvait la réfraction extraordinaire. Quelques essais m'ont bientôt
(,i Pour donner aux couleurs le plus d'éclat possible, il faut choisir une incidence telle que la surface du métal et celle du vernis réfléchissent des quantités de lumière il p*Mi prte égales; car la proportion de lu-
mière non modifiée dans l'action réciproqiu de deux faisceaux lumineux est d'autant plus grande que ces deux faisceaux sont plus in*4gaux en intensité.
V XVI. lait trouver une lame de sulfate de chaux d'une épaisseur convenable, et d'autant plus facilement que celle du vernis, malgré tous mes soins, éfail très-inégale. Alors en plaçant la section principale du rhomboïde parallèlement ou perpendiculairement au plan de réflexion, j'apercevais des couleurs très-vives, mais qui variaient, pour ainsi dire, à chaque point de la surface du miroir, à cause de l'inégale épaissseur «lu vernis. Une feuille de verre étamée, en donnant plus de régularité an phénomène, lui donnerait aussi sans doute plus d'éclat O.
I 1 . Après avoir étudié les modifications qu'éprouve la lumière polarisée dans sa réflexion sur une glace non étamée, depuis l'incidence zéro jusqu'à celle de 900, j'ai voulu pousser mes observations au delà de I angle de réfraction qui répond à cette dernière limite, et pour cela je me suis servi d'un prisme de verre, dans l'intérieur duquel je faisais tomber le faisceau lumineux polarisé à Ub° du plan d'incidence. Tant que la réflexion n'était pas complète, la lumière restait entièrement polarisée, et la direction de son nouveau plan de polarisation suivait les mômes lois que j'avais déjà remarquées dans la réflexion sur une glace non élamée. Mais lorsque la totalité de la lumière était réfléchie dans l'inlérieur du prisme, elle paraissait avoir éprouvé une dépolarisation partielle, car aucune des images que j'observais au travers du second rhomboïde ne disparaissait, quelle que fût la direction de sa section principale; seulement elles s'affaiblissaient jusqu'à un certain degré, et reprenaient ensuite leur éclat par la rotation du rhomboïde. Leurs plans de polarisation partielle étaient perpendiculaires aux images des
'' On peut , en général, au moyen d'une plaque cristallisée douée de la double réfrac- '1011 . développer des couleurs dans une lame diaphane qui n'est pas assez mince pour en ■lonner imiiiédiatemenl ; mais quand les deux •iiirfuces de celle lame sont en contact avec le même milieu , les rayons qu'elles réfléchissent étant polarisés dans le même sens >>" partaient de la même manière entre les <U'ii\ réfractions du cristal; en sorte que
dans la disposition la plus favorable, c'està dire lorsque le plan de polarisation de la lumière réfléchie par la lame transparente fait un angle de 45° avec l'axe du cristal, il n'y a que la moitié des rayons qui concourent à la production de la teinle dont elle se colore; aussi ces couleurs sont-elles beaucoup moins brillantes que celles qui sont produites par le procédé que je viens de décrire.
plans de polarisation primitifs, et nie paraissaient ainsi à peu près dans iV XVI. les mêmes azimuts que ceux de polarisation complète, immédiatement avant l'incidence qui donnait la réflexion entière.
Dans le voisinage de cette incidence, c'est-à-dire dans la faible iris qui sépare la réflexion partielle de la réflexion complète, et môme un peu au delà de ses limites apparentes, j'ai remarqué que les images en s'obscurcissant se coloraient d'une manière très-sensible, et j'ai reconnu à l'intensité de ces couleurs et aux changements brusques qu'y produisait la rotation du rhomboïde de spath calcaire qu'elles étaient développées par la polarisation. J'ai encore trop peu étudié ce phénomène pour le bien décrire et en donner l'explication. Je crois cependant que cette coloration tient à ce que les limites de la réflexion entière n'étant pas les mêmes pour les rayons de différentes espèces, à cause de leur inégale réfrangibilité, leur dépolarisation partielle ne commence pas sous la même inclinaison, et leurs plans de polarisation complète ou partielle ne se trouvent pas tout à fait dans les mêmes azimuts; en sorte que pendant la rotation du rhomboïde l'intensité des rayons ne s'affaiblit pas dans la même proportion pour ceux de différente couleur. Je me propose de reprendre l'étude de ce phénomène avec l'appareil gradué que je fais construire
La dépolarisation partielle produite par la réflexion complète de la lumière dans l'intérieur du prisme croît rapidement à mesure que les rayons s'inclinent davantage, jusqu'à une limite après laquelle elle s'affaiblit de nouveau , mais moins vite qu'elle n'avait augmenté. Alors l'image, qui disparaîtrait sans la polarisation partielle, s'obscurcit d'autant plus que la réflexion devient plus oblique, et je pense qu'à la limite, c'est-à-dire lorsque le rayon est parallèle à la surface réfléchissante, son action dépolarisante doit être nulle W,
l,) Je n'ai pas encore commencé ces ex- lieu d'un prisme je me suis servi d'une glac*périences (,). polie sur deux tranches opposées . de sorte
m Pour les incidences très-obliques, au que les rayons devenus presque parallèles ti
'» NoIp marginale au crayon de l'expédiuon authentique.
N° XVI. 12. On peut détruire la dépolarisation partielle du faisceau lumineux, lors même qu'elle est le plus prononcée, et le ramener à son premier état de polarisation complète par une seconde réflexion dans l'intérieur d'un autre prisme sous la même incidence que la première, mais suivant un plan perpendiculaire. Quand, au contraire, le second prisme est disposé de façon que le plan de la nouvelle réflexion coïncide avec celui de la première, alors la dépolarisation du faisceau lumineux augmente au lieu de diminuer, et paraît même complète sous des incidences convenables, c'est-à-dire que les images ordinaire et extraordinaire produites par l'interposition du second rhomboïde ne varient plus d'intensité pendant sa rotation, et que la lumière polarisée ainsi modifiée se comporte absolument comme la lumière naturelle, du inoins dans cette circonstance, car, sous d'autres rapports, elle en diffère essentiellement.
13. En faisant éprouver au faisceau lumineux, toujours dans le même plan, une troisième réflexion semblable aux deux autres, on le ramène à l'état de polarisation partielle. Enfin une quatrième réflexion lui rend la polarisation complète, mais dans un sens perpendiculaire à celui de la polarisation primitive. Une cinquième le dépolarise de nouveau partiellement, et une sixième entièrement. Je ne l'ai pas soumis à un plus grand nombre de réflexions, mais il n'y a pas de doute qu'en les multipliant davantage on reproduirait les mêmes phénomènes , et qu'après huit réflexions, par exemple, le faisceau lumineux se trouverait polarisé précisément dans la direction primitive. Ainsi la réflexion complète ne peut pas, comme la réflexion partielle, rapprocher graduellement le plan de polarisation du plan d'incidence.
14. La lumière dépolarisée par deux réflexions successives est ramenée à l'état de polarisation complète par deux autres réflexions
la surface de la glace étaient sensiblement vanouissement complet des images par la
perpendiculaires a celle des tranches, et ne rotation du second rhomboïde, mais elle»
pouvaient en conséquence en recevoir au- devenaient si faibles qu'il était difficile de les
cune modification. La petite étendue de cette distinguer lorsque la lumière incidente avait
^lace ne me permettait pas de me rappro- peu dïntoisité. cher asset du parallélisme pour obtenir l'é-
semblables dans un plan perpendiculaire, et, sans l'avoir encore essayé. N° XVI. je suis persuadé qu'il en est de même pour des réflexions plus multipliées, c'est-à-dire que la modification résultant d'un nombre quelconque de réflexions consécutives peut être détruite par un même nombre de réflexions semblables dans un plan perpendiculaire à celui des premières et sous des incidences égales.
15. Les modiGcations que les réflexions intérieures impriment à la lumière polarisée ne lui font pas perdre la propriété de développer des couleurs dans les lames minces cristallisées, même lorsque sa dépolarisation parait complète, comme dans le cas de deux réflexions; ces teintes sont aussi vives qu'auparavant, mais elles ne sont plus de même nature, et suivent des lois toutes différentes et assez compliquées en apparence.
Le cas le plus simple est celui où la lumière, toujours polarisée dans l'azimut de 45° par rapport au plan d'incidence, est réfléchie deux fois dans l'intérieur du verre entre des faces parallèles; car après ces deux réflexions consécutives les deux images de l'ouverture éclairante produites par le premier rhomboïde de chaux carbonatée se trouvent disposées parallèlement à leur situation primitive, et en arrangeant l'appareil de manière qu'on puisse observer à la fois les images directes et les images réfléchies, leur comparaison devient très- facile. On prévoit aussi, avant de l'avoir essayé, que la même cause qui rendait constante l'intensité de chaque image avant l'interposition de la lame cristallisée doit simplifier ici le phénomène de leur coloration; c'est donc dans ces circonstances qu'il est le plus commode de l'étudier.
16. Pour en décrire avec ordre les caractères principaux, je supposerai d'abord que la lame mince cristallisée, qui doit produire les couleurs, est placée entre les deux prismes accouplés W et le second rhomboïde de spath calcaire, c'est-à-dire que la lumière polarisée ne la traverse qu'après avoir reçu la modification que lui imprime la double réflexion dans l'intérieur des prismes. Alors en regardant alterna-
l'> J'ai remplacé depuis ce» deux prismes accouplés par un paraHélipipède en verre. (Note marginale au crayon).
N" XVI. tivement les images directes et les images réfléchies, on voit qu'elles donnent à la lame cristallisée des couleurs très-différentes, et cette différence est surtout sensible lorsque la lame est assez mince pour produire des teintes des anneaux du second ou du troisième ordre, dans lesquels les couleurs diverses sont bien séparées. Une lame de sulfate de chaux, qui donnait le violet du second ordre mêlé d'un peu île rouge dans l'image extraordinaire , et le jaune vcrdàtre dans l'image ordinaire, avec la lumière polarisée non modifiée, exposée à la lumière polarisée doublement réfléchie dans les prismes, présentait l'orangé roux et le bleu céleste. Une autre lame, au travers de laquelle la lumière directe paraissait d'un vert lavé du secotid ordre mêlé de bleu dans l'image extraordinaire, et d'un rouge couleur de chair légèrement orangé dans l'image ordinaire, colorait les rayons réfléchis d'un jaune brillant tirant sur l'orangé et d'un indigo violâtrc. Enfin une troisième lame, qui donnait l'orangé clair du troisième ordre dans l'image extraordinaire et le bleu foncé tirant sur l'indigo dans l'image ordinaire, quand on employait la lumière directe, présentait, avec la lumière deux fois réfléchie, un rouge violâtrc ou pourpre très-brillant et un vert légèrement jaunâtre.
Il est à remarquer que ces teintes produites par la lumière ainsi modifiée sont intermédiaires et assez exactement moyennes entre les couleurs complémentaires développées par la lumière polarisée ordinaire. J'entends par teinte moyenne entre deux autres celle qui répond ;iti milieu de l are qui les sépare sur la figure circulaire dont s'est serv i Newton pour représenter le retour des couleurs du spectre sur ellesmêmes.
17. Ouand l'axe de la lame de sulfate de chaux est parallèle an
Lorsque je dis qu'une iume cristallisée liiiiin; une certaine couleur «tans l'image inlinauf <>u extraonlinaire. je suppose, •.■mine M. liioi . que la section principale «lu vhoinbonir i(\».ç lequel on lol.serve est pla- •vr Wi.iis |f plnn ûe la polarisation primi-
tive : ainsi, dans ce cas, image ordinaire désigne celle qui est polarisée dans le plan primitif «le polarisation , et image extraordinaire celle qui l'e>t ilan* un plan fierpendi- «•nlaire
plan d'incidence, la réflexion fait monter les teintes dans l'ordre des Y' XVI. anneaux; quand il lui est perpendiculaire, elle les fait descendre. Ainsi, par exemple, lorsque l'axe de la première lame dont je viens de parler était parallèle au plan de réflexion, l'orangé roux des rayons réfléchis répondait au violet des rayons directs, et le bleu céleste au jaune verdâtre; et au contraire, lorsque l'axe était perpendiculaire au plan de réflexion, c'était l'orangé roux qui répondait au jaune verdâtre et le bleu céleste au violet. Ayant fixé la lame cristallisée sur le second rhomboïde de spath calcaire, de façon que son axe fût dans un azimul de Zi5° par rapport à la section principale de ce rhomboïde, je n'apercevais point, en le faisant tourner, de variation sensible dans la nature des teintes et dans leur intensité, quand la dépolarisation de la lumière était bien complète, et chaque image réfléchie conservait toujours la même couleur; tandis que ce même mouvement faisait disparaître deux des quatre images directes, en amenant en même temps les deux autres au blanc parfait, ce qui doit arriver, comme on sait, lorsque l'axe de la lame cristallisée se trouve parallèle ou perpendiculaire à la section principale du premier rhomboïde, après quoi ces images échangent leurs teintes.
18. Si on laisse le second dans une position fixe, et de façon que sa section principale soit parallèle ou perpendiculaire à celle du premier, on sait qu'en faisant tourner la lame cristallisée dans son plan les quatre images directes passent successivement et deux à deux du noir au blanc parfait, mais sans aucun changement dans la nature de leurs couleurs, qui ne varient que d'intensité seulement. Il n'en est pas de même des images réfléchies : à mesure que l'axe de la lame cristallisée s'éloigne du plan de réflexion, où je suppose qu'on l'a placé d'abord, leurs couleurs diminuent de vivacité, comme celles des images directes à la vérité, mais elles passent en même temps au blanc toutes les quatre, quand cet axe fait un angle de 45° avec le plan d'incidence, ou, ce qui revient au même, est parallèle ou perpendiculaire à la section principale du second rhomboïde; et en elfet, dans cette situation de la lame cristallisée, son interposition ne doit rien changer ni à la
Nr XVI. teinte ni à l'intensité des images. La lame continuant de tourner, les images réfléchies se colorent de nouveau en échangeant leurs teintes, et elles atteignent leur plus haut degré de vivacité lorsque l'axe entre dans l'azimut de 900, et fait ainsi un angle de 65° avec la section principale du second rhomboïde. Les mêmes phénomènes se répètent dans les autres quadrants.
1 9. La lame cristallisée restant fixe au contraire, si l'on fait tourner le second rhomboïde de chaux carbonatée, les images réfléchies passeront quatre fois au blanc dans une révolution entière, en échangeant leurs teintes, comme le font les images directes; mais il est pour cellesci deux positions de la lame telles que le second rhomboïde ne peut y développer aucune couleur, dans quelque azimut qu'on tourne sa section principale : c'est lorsque l'axe de la laine cristallisée se trouve parallèle ou perpendiculaire à la section principale du premier rhomboïde; tandis que les images réfléchies se colorent avec la môme vivacité dans toutes les situations de la lame cristallisée. Pour une direction quelconque de son axe, ces couleurs, comme celles des images directes, parviennent toujours à leur maximum d'intensité pendant la rotation du second rhomboïde, quand sa section principale fait avec celle de la lame un angle de 65°.
20. Je suppose maintenant que la lame cristallisée soit placée entre le premier rhomboïde et les prismes accouplés, en sorte qu'elle soit traversée par la lumière polarisée avant que celle-ci ait reçu la modification singulière que lui impriment les deux réflexions consécutives. Si cette lame est tournée de manière que son axe soit parallèle ou perpendiculaire au plan d'incidence, dans toutes les positions du second rhomboïde les teintes des quatre images seront de même couleur et de même intensité que si la lame était placée entre les prismes accouplés et l'œil de l'observateur, et elles passeront au blanc, comme dans ce cas, lorsque la section principale du second rhomboïde sera parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion. Mais pour que leur décoloration complète puisse avoir lieu, il faut que l'axe de la lame soit bien exactement parallèle ou perpendiculaire à ce plan ; car dès
qu'il s'écarte un peu d'une de ces directions, les images en échangeant leurs teintes passent par des couleurs intermédiaires.
21. Pour rendre ces nouvelles couleurs plus sensibles, l'analogie indique qu'il faut tourner l'axe de la lame cristallisée dans un azimut de 65° par rapport au plan d'incidence; mais alors il devient nécessaire de changer la position du premier rhomboïde, dont j'ai suppose jusqu'à présent la section principale inclinée de 65° sur ce plan; car sans cela elle coïnciderait avec l'axe de la lame ou lui serait perpendiculaire, ce qui empêcherait toute espèce de coloration. L'axe de la lame cristallisée étant dans l'azimut de 65°, la position du premier rhomboïde la plus favorable au développement des couleurs est celle où sa section principale se trouve parallèle ou perpendiculaire au plan •l'incidence. L'appareil ainsi disposé, si l'on observe les images réfléchies au travers du second rhomboïde, on les voit changer avec l'azimut de sa section principale, et présenter successivement, dans chaque demi-quadrant, les couleurs des images directes et celles que donnent les rayons réfléchis, quand ils ne traversent la lame qu'après leur réflexion. Ces changements de teinte n'ont pas lieu brusquement, mais graduellement, et l'on voit la même image passer dans une demi-révolution du rhomboïde par toutes les nuances diverses de l'ordre d'anneaux auquel appartiennent les couleurs de la lame cristallisée (,).
Par exemple en employant la lame n° 3 , dont j'ai parlé plus haut , qui donnait avec la lumière polarisée ordinaire le jaune orangé du troisième ordre dans l'image extraordinaire, et le bleu tirant sur l'indigo dans l'image ordinaire, et en faisant tourner le second rhomboïde.
1,1 II est possible que ces nouvelles teintes ne soient pas exactement semblables à cedex «les anneaux colorés du même ordre, parce qu'elles ne sont pas composées de la même manière; mais j'ai |»eine à croire que l'œil puisse saisir celle différence.
Vota. J'ai reconnu depuis, comme on le verra dans le Mémoire suivant, que ces teintes ne sont pas composées comme celles
des anneaux colores qui changent de degré dans l'échelle des ordres, en changeant de couleur, tandis que celles-là sont toujours au même degré quoique en changeant de couleur; c'est ainsi que les anneaux transmis sont du même ordre que les anneaux réfléchis correspondants quoique de couleurs complémentaires. [Annotation marginnle. ]
V XVI. voici les teintes principales dont j'ai vu se colorer l'image ordinaire de celui des deux faisceaux incidents qui était polarise dans le plan de réflexion. Je compte les azimuts à partir de ce plan et en allant vers l'axe de la lame cristallisée :
Azimut de o° — Bleu tirant sur l'indigo; bleu verdâtre. Azimut de û5° — Vert jaunâtre; jaune.
Azimut de 90" — Orangé; rouge orangé {i>.
Azimut de 1 35° — Rouge violâtre, ou pourpre; violet mêlé de rouge. Azimut de 1800 — Bleu tirant sur l'indigo.
En continuant à faire tourner le rhomboïde de spath calcaire, je voyais dans l'autre demi-circonférence les mômes couleurs se succédersuivant un ordre semblable.
Il est à remarquer que dans cette expérience sur une lame mince cristallisée parallèle à l'axe les variations produites par la rotation du rhomboïde suivent des lois semblables à celles que présentent les plaques de cristal de roche taillées perpendiculairement à l'axe. Mais ici le premier et le dernier plan de polarisation restant fixes, on ne peut pas faire tourner le système intermédiaire sans changer la nature et l'intensité des teintes, comme en employant une plaque de cristal de roche perpendiculaire à Taxe (2).
•': I /image extraordinaire dans cet azimut me paraissait d'un bleu céleste uu lieu d'un bleu foncé tirant sur l'indigo , comme l'image ordinoire dans l'azimut zéro; la couleur de I image ordinaire était l'orangé ainsi qu'on le voit dans le tableau . au lieu du jaune orangé indiqué par l'analogie et la tbéorie. Mais ces anomalies pouvaient tenir à ce que la seclion principale du premier rhomboïde n'était pas assez exactement parallèle au plan de réflexion, ou bien à ce (jue j ai mal estimé l'azimut. Ces expériences n'ayant pas été faites avec un appareil pourvu des cadrans nécessaires |M»ur mesurer les angles . je n'en
présente les résultats que comme des à-peu près, et seulement pour donner une idé»générale du phénomène.
<*' En ajoutant à cetapjwreil deux prisme» accouplés placés devant la lame parallèle à l'axe, de manière que la lumière y soit réfléchie deux fois avant de la traverser et dan» un plan perj>cndiculaire à l'autre plan de réflexion , on forme un système qui jouit de toutes les propriétés des plaques de crisUd de roche perpendiculaires à l'axe; car nonseulement la rotation d'un des rhomboïdes y change la nature des teintes . mais elles ne dépendent alors, comme dans ces plaques.
'2'2. Lorsque la lumière polarisée n'a éprouvé qu'une seule réflexion Y' XVI complète dans l'intérieur du verre, les couleurs qu'elle développe dans les lames cristallisées diffèrent moins des couleurs produites pat la lumière polarisée ordinaire que quand elle a éprouvé deux réflexions consécutives. 11 est naturel de supposer qu'elles sont alor? moyennes entre ces deux espèces de teintes, et c'est aussi ce que l'expérience m'a paru confirmer.
La lame n" t, dont j'ai parlé précédemment, qui donnait le violet du second ordre dans l'image extraordinaire, avec la lumière polarisée ordinaire, et l'orangé rougeâtre ou le bleu céleste, quand la lumière polarisée avait été réfléchie deux fois parallèlement ou perpendiculairement à son axe. donnait après une seule réflexion le rouge mêlé de violet ou l'indigo, selon que l'axe de cette lame était parallèle ou perpendiculaire au plan d'incidence.
La lame n° », dont l'image extraordinaire était colorée d'un vert lavé bleuâtre par la lumière polarisée ordinaire, et d'un indigo violàtre ou d'un jaune brillant tirant sur l'orangé par la lumière deux fois réfléchie, exposée à la lumière polarisée modifiée par une seul»réflexion, présentait, dans la même image, le bleu ou un jaune verdàlre mêlé de blanc, selon que son axe était parallèle ou perpendiculaire au plan d'incidence.
Knfm la lame n° 3, dont l'image extraordinaire était d'un orangé clair tirant sur le jaune, lorsque la lumière polarisée n'avait éprouvé aucune réflexion, et d'un vert jaunâtre ou d'un pourpre brillant après deux réflexions, donnait dans la même image, avec la lumière une seule fois réfléchie, un jaune légèrement verdâtre, quand son axe était parallèle au plan d'incidence, et un rouge couleur de chair mêlé d'orangé, quand il lui était perpendiculaire.
23. On voit d'après ces expériences qu'une seule réflexion intérieure de la lumière polarisée, comme deux réflexions consécutives.
ipie de I angle que font entre elles les sec- |ieut faire tourner le système intermédiaire lions principales des deux rhomboïdes, en sans altérer la nature ni l'intensité des cou- *t>rte ijue les rhomboïdes restant lixes. on leurs
N XM fait monter dans l'ordre des anneaux les teintes des lames cristallisées.
ou les fait descendre, selon que le plan d'incidence est parallèle ou perpendiculaire à l'axe , mais que ces altérations de la couleur primitive sont moitié moins prononcées dans le cas dune seule réflexion.
Lorsque la lumière incidente, que je suppose toujours polarisée dans un azimut de 65°, a été réfléchie deux fois parallèlement à l'axe du cristal, sa teinte monte de la moitié de l'intervalle compris entre sa couleur primitive et la couleur complémentaire en dessus, comme on l a vu précédemment; et quand au contraire la double réflexion a lieu perpendiculairement à l'axe, la teinte primitive descend de la moitié de l'intervalle compris entre cette teinte et la couleur complémentaire en dessous; en sorte que les deux nouvelles teintes de la même image dans ces cas opposés sont complémentaires l'une de l'autre. Il s'ensuit <jue les quatre images produites par les deux rhomboïdes doivent présenter toujours les mêmes couleurs, que l'axe de la lame soit parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion; seulement elles ont échangé leurs teintes.
11 n'en est plus ainsi quand la lumière polarisée n'a éprouvé qu une seule réflexion, parce que la teinte primitive ne monte et ne descend que du quart de l'intervalle compris entre cette teinte et sa couleur «•oinpiémentaire , et qu'en conséquence la même lame présente des couleur! très-différentes selon que son axe est parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion, ce qui rend le phénomène plus compliqué en apparence, et la loi des changements de teintes plus difficile à saisir.
La lumière polarisée modifiée par trois réflexions consécutives produit les mômes couleurs que la lumière réfléchie une seule fois, ainsi qu'il était aisé de le prévoir. Quand elle a été réfléchie quatre lois. • Ile donne les mêmes teintes que la lumière polarisée ordinaire, et en effet nous avons vu qu'alors elle ne présente plus aucune apparence de dépolarisation partielle.
Je crois qu'on peut regarder comme un principe général, que toute* les fois que la lumière est ramenée à l'état de polarisation complète, elle colore toujours les lames cristallisées des mêmes teintes, quelles
que soient les modifications diverses qu'elle ait éprouvées auparavant. N* XVI. J'ai ramené la lumière dépolarisée par deux réflexions intérieures à l'état de polarisation parfaite, d'abord par deux autres réflexions semblables dans le même plan, ensuite par deux réflexions complètes dans un plan perpendiculaire, enfin par la réflexion partielle sur une glace non étamée, sous l'inclinaison de 35°, et les teintes des images ainsi réfléchies étaient toujours les mêmes que celles dont se coloraient les images directes.
24. Ce dernier essai m'a conduit à un résultat singulier : en recevant sur une glace non étamée la lumière polarisée modifiée par deux réflexions intérieures et sous une incidence plus grande ou plus petite que celle qui produit la polarisation complète, j'ai vu les quatre images se colorer de quatre teintes différentes; tandis que dans les expériences précédentes elles étaient toujours semblables deux à deux. On peut se rendre raison de cette anomalie apparente, en faisant attention que sous l'incidence perpendiculaire ou parallèle à la glace, qui n'altère point les propriétés des rayons réfléchis, les images produites par la même réfraction du deuxième rhomboïde sont de couleurs complémentaires, et les images provenant de réfractions différentes sont de même teinte dans les deux faisceaux réfléchis, tandis qu'au contraire sous l'angle de la polarisation complète, ce sont les images de même nom qui ont la même couleur, et celles de noms opposés qui sont complémentaires : or, comme ce changement dans l'arrangement des teintes ne s'opère pas brusquement, mais graduellement, il en résulte que, pour les incidences intermédiaires, les quatre images doivent être colorées de quatre teintes différentes.
25. La lumière polarisée ordinaire réfléchie par un miroir métallique présente des phénomènes semblables et colore aussi de quatre teintes différentes en général les quatre images produites par les deux rhomboïdes de spath calcaire, quand on lui fait traverser une lame mince cristallisée.
26. Je ne m'étendrai pas davantage sur ces derniers phénomènes, que je n'ai pas encore suffisamment étudiés, et je reviens à ceux quepré-
N° XVI. sente la lumière polarisée modifiée seulement par une ou plusieurs réflexions complètes dans l'intérieur du verre, pour en exposer la théorie et faire voir de quelle manière on peut se rendre compte des changements apportés dans les couleurs des lames cristallisées par cette modification remarquable. Mais, avant d'entrer dans les détails de cette explication, il est nécessaire de rappeler en peu de mots les principes exposés dans le dernier Mémoire que j'ai eu l'honneur de soumettre à l'Académie.
27. W Le docteur Young a reconnu le premier que les couleurs développées par la polarisation dans les lames cristallisées répondaient
" Quarterly Bevietr , for april 1816, vol. XI, p. h*. Mùcellaneom Workt, vol. I, p. /i6o.
Chromatic» from Supplément to tlie Encyclopedia Britannica. Sect. XV. Mucellanêout Works , vol. 1 , p. 317.
L'article Chromatie* du Supplément à l'Encyclopédie Britannique, auquel les notes de cette édition font de fréquente renvois, a été écrit dans le cours de l'année 1817, peut-être avant que le présent Mémoire de Fresnel eût été présenté à l'Académie, mais à coup sûr après que les principales expériences de Fresnel et Arago sur les lois de l'interférence des rayons polarisés eurent déjà reçu une certaine publicité , car Young fait lui-même allusion à ces expériences dans le passage qu'on va lire, et qui nous parait propre à montrer le progrès qu'avaient fait depuis 1 81 h ses vues sur fn coloration des lames cristallisées : [E. Ysudbt.]
-Dans le cas des substances doublement réfringentes, la première difficulté n'est pas d'expliquer pourquoi les couleurs 'd'interférence sont quelquefois produites, mais pourquoi "elles ne s'observent pas plus constamment; on pourrait en effet compter que, en conséquence de la loi générale des interférences, deux portions du même faisceau lumineux, qui ff traversent une plaque un peu épaisse (moderately thin ) d'une telle substance en suivant des ^chemins peu différents et qui reviennent de nouveau à la même direction, produiraient "dans tous les cas des couleurs presque pareilles à celles des plaques minces ordinaires. Il « serait toutefois difficile de prévoir si ces couleurs devraient ressembler aux couleurs transt mises ou aux couleurs réfléchies, et le fait est que ces deux séries de couleurs sont produites en même temps par les substances en question; mais elles sont mêlées de manière tqu'a moins d'un arrangement particulier elles se neutralisent réciproquement ; leur production parait ainsi limitée è certaines conditions particulières de polarisation, qui s'accordent avec l'observation de M. Arago sur la non-interférence de deux rayons polarisés suir-vanl des directions transverses. Plusieurs cas dans lesquels ces couleurs se produisent ■'demeurent il est vrai encore assez obscurs; mais il est facile d'analyser les phénomènes les *plus imj>ortants. et des les réduire, avec une grande précision, aux lois générales des coupleurs périodiques, n
exactement à la différence entre les chemins parcourus au même ins- V XVI. tant par les rayons qui avaient subi dans ces cristaux la réfraction ordinaire et ceux qui avaient été réfractés extraordinairement. 11 prouvé, par des calculs basés sur les observations mêmes de M. Biot. que cette théorie s accordait parfaitement avec 1 expérience.
11 est encore un autre principe nécessaire à l'explication de ces couleurs, que le docteur Young a peut-être aperçu, mais dont il n'a pas fait mention, je crois; c'est que les ondes lumineuses n'exercent plus aucune action apparente les unes sur les autres quand elles sont polarisées en sens contraires, et que, lorsqu'elles ont été une fois polarisées dans des plans rectangulaires, on ne peut rétablir les effets de leur influence mutuelle, en les ramenant au même plan de polarisation, qu'autant qu'elles ont été primitivement polarisées dans un même plan. Ce principe peut se déduire immédiatement des phénomènes de coloration que présentent les lames cristallisées; mais, pour ne laisser lieu à aucun doute, il était nécessaire qu'il fût confirmé par les phénomènes de la diffraction, où les faisceaux lumineux qui concourent à la production des franges sont séparés et leur influence mutuelle mise en évidence. 11 me paraît suffisamment démontré par les expériences de ce genre rapportées dans mon dernier Mémoire K Hlles prouvent aussi que les deux systèmes d'ondes ordinaires et extraordinaires, dans lesquels la lumière se divise en traversant les cristaux, sont toujours polarisés parallèlement et perpendiculairement à l'axe, même dans les lames assez minces pour que la polarisation puisse y développer des couleurs, principe que l'analogie annonçait d'avance . et qui est aussi favorable à l'explication de ces teintes dans la théorie «les ondulations, qu'il lui est contraire dans le système de l'émission.
28. Je vais envisager maintenant sous le même point de vue les nouveaux phénomènes de coloration que présente la lumière polarisée modifiée par une ou plusieurs réflexions complètes dans i'inté-
' Voyez V XV (A) et XV (B>
V XVI. rieur du verre. Je reprends le cas où la lame cristallisée est placée entre le premier rhomboïde de spath calcaire, qui sert à polariser la lumière, et les prismes accouplés dans lesquels elle se réfléchit. Je suppose que la section principale du premier rhomboïde fait un angle de A 5° avec le plan de réflexion, que Taxe de la lame cristallisée est parallèle à ce plan, et que la lumière, qui a traversé le premier rhomboïde et la lame cristallisée, est réfléchie deux fois dans l'intérieur des prismes sous l'incidence de la dépolarisation complète: alors les teintes des images réfléchies sont moyennes entre celles des images directes correspondantes et leurs complémentaires, et telles enfin, d'après l'analogie, que celles qui résulteraient d'un changement, d'un quart d'ondulation dans l'intervalle qui sépare les deux systèmes d'ondes lumineuses concourant à leur production (,). De plus, les couleurs des images réfléchies sont plus élevées dans l'ordre des anneaux que celles des images directes, quand l'axe de la lame est parallèle au plan d'incidence, ainsi que je l'ai supposé, ce qui indique qu'alors l'intervalle entre les deux systèmes d'ondes a diminué d'un quart d'ondulation : or les ondulations ordinaires précèdent les ondulations extraordinaires; il faut donc en conclure que celles-là ont éprouvé quelque retard dans leur marche au moment de la réflexion, ou parcouru un chemin un peu plus long que celles-ci en se réfléchissant plus près de la surface du prisme. Du reste les unes et les autres étant polarisées parallèlement ou perpendiculairement au plan de réflexion, n'ont du recevoir aucun changement dans leur plan de polarisation, et c'est
(,J J'entends par changement d'un quart d'ondulation dont F intervalle qui tepare les deux tyttèmes d'onde* , une augmentation ou une diminution d'un quart d'ondulation dans cet intervalle, pour chaque espèce de rayons; en sorte que la longueur de cette variation n'est point constante pour les différents rayons, mais proportionnelle à la longueur de leurs vibrations. Il en résulte que si les accords ou les discordances des vibrations
étaient les mêmes pour tous les rayons dans la teinte primitive, qui serait par conséquent blanche, ce changement d'un quart d'ondulation ne pourrait pas la colorer, puisqu'il n'altérerait pas l'égalité des accords ou des discordances des rayons de différentes couleurs. C'est dans le même sens que je dis un changement d'une demi-ondulation ; le mot ondulation étant pris en général s'applique à toutes les espèces d'ondes lumineuses.
pourquoi j'ai choisi ce cas, afin de rendre plus évidente la conséquence .V XVI. qu'on doit tirer de la différence de teinte entre les images réfléchies et les images directes.
Puisque deux réflexions consécutives produisent une différence d'un quart d'ondulation dans la marche des rayons polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan de réflexion , il est naturel de supposer que pour une seule réflexion cette différence n'est que d'un huitième d'ondulation. J'admets donc que lorsque la réflexion dans l'intérieur d'un prisme est complète, et a lieu sous des incidences suffisamment éloignées de ses deux limites extrêmes, les rayons polarisés parallèlement au plan d'incidence sont réfléchis un peu plus près de la surface du verre que ceux qui sont polarisés perpendiculairement au même plan, et de façon que la différence entre les chemins parcourus est d'un huitième d'ondulation.
Quand on place la lame cristallisée entre le prisme et le second rhomboïde, de manière qu'elle soit traversée par la lumière réfléchie, au lieu de l'être par la lumière incidente, comme dans le cas précédent, et en ayant soin que son axe reste toujours parallèle au plan de réflexion, les teintes sont absolument semblables. On doit en conclure que la lumière incidente s'est divisée, par l'effet de la réflexion complète, en deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle d'un huitième d'ondulation, et que la moitié du faisceau incident, qui a éprouvé par rapport à l'autre un retard d'un huitième d'ondulation, subit tout entière la réfraction ordinaire et l'autre moitié la réfraction extraordinaire. En effet, si chaque faisceau se partageait entre les deux réfractions, chacune des images produites par le second rhomboïde serait composée de quatre faisceaux lumineux , dont deux produiraient à la vérité la même teinte que dans le cas précédent, mais les deux autres une teinte très-différente, qui altérerait la première; car pour l'une le huitième d'ondulation s'ajouterait à la différence des chemins parcourus dans la lame cristallisée, tandis que pour l'autre il s'en retrancherait.
On peut donc admettre, comme principe général, que toutes les fois
V XVI. qu'un rayon polarisé est réfléchi dans l'intérieur d'un prisme, sous une incidence qui donne la réflexion complète, et qui soit suffisamment éloignée à la fois de la réflexion partielle et du parallélisme à la surface, il se divise en deux autres, dont l'un est polarisé parallèlement, et l'autre perpendiculairement au plan d'incidence, le premier étant réfléchi un peu plus près de la surface, de façon qu'au sortir du prisme il se trouve en retard d'un huitième d'ondulation. Quand le plan primitif de polarisation fait un angle de 45° avec le plan d'incidence . ces deux faisceaux sont d'une égale intensité, et lorsqu'il s'en approche ou s'en éloigne, leur intensité doit varier sans doute suivant les mêmes lois que celles des rayons ordinaires et extraordinaires dans un cristal dont l'axe serait parallèle ou perpendiculaire au plan de réflexion.
'29. Je supprime pour un moment la lame cristallisée dans l'appareil , et je reviens aux phénomènes que présente la lumière polarisée réfléchie complètement dans l'intérieur du verre, quand on l'observe immédiatement avec le second rhomboïde de spath calcaire. Pour simplifier les raisonnements, je supposerai la section principale du premier rhomboïde dans un azimut de 65° par rapport au plan de réflexion; il est toujours facile de passer de ce cas aux autres.
Soient RR' le plan d'incidence et PP' celui de la polarisation primitive considérée dans les rayons réfléchis; jp l 'K n suppose d'abord que le faisceau polarisé
n'éprouve qu'une seule réflexion : il se partagera en deux systèmes d'ondes d'égale intensité, dont l'un, polarisé suivant RR', sera en retard d'un huitième d'ondulation par rapport à l'autre, polarisé suivant SS' perpendiculaire à RIV. Si I on place la section principale du second rhomboïde suivant RR' ou SS', un des deux systèmes d'ondes entrera tout entier dans l'image ordinaire et l'autre dans l'image extraordinaire, qui seront en conséquence également brillantes, conformément à l'expérience. Mais si la section principale du second rhom-
I" MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 46<t
boïde est parallèle à PP', ou au plan perpendiculaire TT\ les faisceaux \' XVI. polarisés suivant RR' et SS' se diviseront chacun en deux autres, dont l'un sera polarisé suivant PP' et l'autre suivant TT. Ainsi chacun de ces derniers plans de polarisation contiendra deux systèmes d'ondes, que leur réflexion dans l'intérieur du prisme a séparés par un intervalle d'un huitième d'ondulation. Mais on sait qu'indépendamment de la différence entre les chemins parcourus il y en a toujours une d'une demi-ondulation entre l'intervalle des deux systèmes d'ondes de l'image ordinaire et celui des deux systèmes d'ondes de l'image extraordinaire, puisqu'elles sont complémentaires l'une de l'autre. Ainsi cet intervalle étant d'un huitième d'ondulation dans l'une sera dans l'autre d'une demi-ondulation plus un huitième; par conséquent celle-ci sera plus faible que celle-là, mais ne s'évanouira pas, puisque la discordance n'est point complète. Comment se fait-il que l'intervalle entre les deux systèmes d'ondes est plus grand d'une demi-vibration dans une des images que dans l'autre? C'est ce qu'on n'a pas encore expliqué; on ignore ce qui se passe dans une onde lumineuse quand elle change de plan de polarisation; on ne sait pas même en quoi consiste la polarisation.
La théorie n'indiquant pas encore quelle est celle des deux images pour laquelle on doit ajouter une demi-ondulation à la différence de> chemins parcourus, on ne peut à cet égard que consulter l'expérience, et se laisser ensuite guider par l'analogie. Voici la règle que j'avais déduite des observations de M. Biot, et que j'ai donnée dans le dernier Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie : <r L'image dont la teinte répond exactement à la différence entre les chemins parcourus est celle dans laquelle les plans de polarisation de ses deu\ faisceaux constituants, après s'être écartés l'un de l'autre, se rapprochent et se réunissent par un mouvement contraire; tandis que. dans l'image complémentaire, ils continuent à s'écarter jusqu'à ce qu" ils se trouvent sur le prolongement l'un de l'autre. Pour la première, IVrartement définitif des plans de polarisation est nul; pour la seconde, il est d'une demi-circonférence.
V XVI. Ainsi, dans le cas dont nous nous occupons, PF étant le plan de ia polarisation primitive, considérée dans le rayon réfléchi, si Ton suppose que la section principale du second rhomboïde soit parallèle à PP', les deux faisceaux constituants de l'image ordinaire différeront d'un huitième d'ondulation, et ceux de l'image extraordinaire d'un huitième plus une demi-ondulation, en sorte que celle-ci sera la plus faible.
30. Mais ici se présente une difficulté : quel est le plan de la polarisation primitive considérée dans le rayon réfléchi? J'ai fait voir qu'immédiatement avant la réflexion complète dans l'intérieur du prisme, les rayons réfléchis étaient polarisés suivant un plan perpendiculaire à l'image de celui de la polarisation primitive : si l'on regarde l'action dépolarisante (,) dans la réflexion entière comme succédant à une autre qui tourne d'abord le plan de la polarisation complète dans un sens perpendiculaire à l'image du plan de polarisation des rayons incidents, le plan PP' de la polarisation primitive, considéré dans le rayon réfléchi, sera perpendiculaire à cette image. Dans cette hypothèse, les résultats de l'expérience confirment ceux de la théorie; car, lorsque la section principale du second rhomboïde est parallèle à PP'. ou perpendiculaire à l'image du plan de polarisation des rayons incidents, c'est effectivement l'image ordinaire qui est la plus brillante.
Il serait peut-être plus naturel de n'envisager toujours dans la réflexion, comme je l'ai fait d'abord, que deux actions : la réflexion proprement dite, qui tend à reproduire d'une manière symétrique, dans le faisceau réfléchi, les ondes incidentes avec toutes leurs modifications, et l'action polarisante, qui empêche le plan de polarisation des rayons réfléchis de coïncider avec l'image de celui des rayons incidenls. Suivant ce système , le plan PF de la polarisation primitive considérée dans le rayon réfléchi serait l'image même du plan de polarisation du rayon incident. Alors, pour que la théorie fût d'accord avec l'expérience, il faudrait supposer que l'intervalle entre les deux systèmes
f,) J'entends ici par action dépolanmnle . celle qui fuit naître deux systèmes d'ondes |n>l;i risés en sens contraires.
d'ondes polarisés par la réflexion complète parallèlement et perpen- V XVI. diculairement au plan d'incidence est d'un huitième d'ondulation plus une demie, au lieu d'un huitième seulement. Cette hypothèse est aussi admissible que l'autre, et rend aussi bien compte des changements que la réflexion complète apporte dans les teintes des lames cristallisées. Elle serait même plus conforme à l'analogie, si l'on supposait que la lumière réfléchie sur une glace non étamée est aussi composée de deux systèmes d'ondes polarisés, l'un parallèlement et l'autre perpendiculairement au plan de réflexion, parce qu'alors, pour rendre compte des changements que cette réflexion partielle apporte dans la direction du plan de polarisation, il faudrait supposer les deux systèmes d'ondes déjà séparés par une demi-vibration, quand l'incidence est plus oblique que celle de la polarisation complète.
La difficulté sur laquelle je viens de m'appesantir, et qui se représente toutes les fois que le rayon polarisé a éprouvé un nombre impair de réflexions, n'existe plus lorsque ce nombre est pair. Car si l'on admet que le plan de polarisation primitif, considéré dans le faisceau réfléchi une fois, est perpendiculaire à l'image du plan de polarisation du faisceau incident, c'est-à-dire que par une seule réflexion il s'en est écarté d'un quadrant, après deux réflexions il coïncidera de nouveau avec lui. De même il est indifférent alors de supposer que l'intervalle entre les deux systèmes d'ondes résultant d'une seule réflexion complète est égal à un huitième d'ondulation, ou à un huitième plus un demi, la demi- vibration n'apportant plus aucune différence dans l'action réciproque des rayons lumineux quand elle est répété»un nombre pair de fois. Sans décider laquelle de ces deux hypothèses est la plus probable, j'adopterai la première comme plus commode dans les explications, en ce qu'elle réduit à leur plus simple expression les différences de marche des deux systèmes d'ondes développés par la réflexion intérieure.
31. Je suppose maintenant que les rayons polarisés ont été réfléchis deux fois complètement dans l'intérieur du verre entre deux faces parallèles. Alors le plan PF de la polarisation primitive, considérée
V XVI. dans le faisceau réfléchi, est parallèle au plan de polarisation du faisceau incident. Si la section principale du second rhomboïde est dirigée dans le même azimut, les deux faisceaux polarisés parallèlement et perpendiculairement au plan de réflexion concourront également à la production de l'image ordinaire et de l'image extraordinaire. Dans la première, la différence entre les deux systèmes d'ondes est d'un quart d'ondulation; dans la seconde, elle est d'un quart d'ondulation plus un demi. Ainsi, ces deux systèmes de vibrations lumineuses ne ^accordant pas plus ni moins dans une image que dans l'autre, elles doivent être d'égale intensité. Il en serait de même pour toute autre position du rhomboïde. En effet, soit i l'angle que sa section principale fait avec le plan de réflexion, y le faisceau polarisé parallèlement à ce plan, et/' le faisceau polarisé dans un sens perpendiculaire; les deux faisceaux constituants de l'image ordinaire seront / cos* i et f sin2 1 ; et ceux de l'image extraordinaire /sin'i et f cos* i^. Mais, par hypothèse , / et f sont égaux ; par conséquent les deux images seront formées par le concours de faisceaux équivalents; et comme leur action réciproque est exactement moyenne entre l'accord parfait et lu discordance complète dans les deux images, elles seront d'égale intensité.
Je ne m'arrêterai pas au cas où la lumière polarisée a été réfléchir trois fois; il est aisé de voir que les images ne doivent paraître dépolarisées que partiellement, comme dans celui d'une seule réflexion et en sens inverse.
32. Je passe au cas où la lumière incidente a éprouvé quatre réflexions successives. Alors l'intervalle entre les deux systèmes d'ondes est d'une demi-ondulation. Si l'on dirige la section principale du second rhomboïde parallèlement au plan primitif de polarisation, l'i-
" Les vitesses des molécules lumineuses du» leurs oscillations sont proportionnelles à cost et sini, de façon que la somme de leurs carrés reste constante; c'est le principe de la conservation des forces vives. Les
intensités de la sensation sont représenter par cos'i et sin'i. C'est une réflexion trèssimple que je n'avais pas encore faite lorsque j'ai écrit ce Mémoire. [Note marginale au crayon. |
mage ordinaire sera formée par le concours de deux faisceaux difle- N° XVI. rant d'une demi-ondulation et s'évanouira, puisqu'ils sont en outre d'égale intensité; tandis que l'image extraordinaire, pour laquelle il faut ajouter une demi-ondulation à cet intervalle, sera composée de deux systèmes d'ondes séparés par une ondulation entière, et qui seront par conséquent d'accord. Ceci est parfaitement conforme à l'expérience, qui apprend, comme on l'a vu dans la description de ces phénomènes, que quatre réflexions successives rendent à la lumière toutes les apparences d'une polarisation complète, mais en sens contraire de la polarisation primitive. Il serait aisé d'expliquer par des raisonnements semblables comment, après huit réflexions consécutives, le plan de polarisation apparent des rayons réfléchis est le môme que le plan de polarisation des rayons incidents.
On conçoit aussi, dans l'hypothèse que j'ai adoptée, comment de nouvelles réflexions peuvent détruire les modifications que les premières ont imprimées à la lumière polarisée, quand elles ont lieu dans un sens perpendiculaire à celles-ci; car alors le faisceau polarisé perpendiculairement au premier plan de réflexion l'est parallèlement au second, en sorte qu'il perd toute l'avance qu'il avait prise d'abord sur l'autre système d'ondes, si les nouvelles réflexions sont eu même nombre que les précédentes. Les deux faisceaux se trouvant ainsi d'accord, leur système doit se comporter comme un faisceau unique polarisé parallèlement à l'image du plan primitif de polarisation.
33. L'explication que je viens de donner des phénomènes de simple dépolarisation est fondée sur la supposition que la lumière polarisée est divisée par une réflexion complète en deux systèmes d'ondes polarisés l'un parallèlement, l'autre perpendiculairement au plan d'incidence, et séparés par un intervalle d'un huitième d'ondulation. J'ai été conduit à cette hypothèse par mes observations sur les nouvelles teintes des lames cristallisées, qui m'ont paru moyennes entre les teintes primitives et les couleurs complémentaires après deux réflexions, et entre les teintes primitives et celles-là, quand la lumière polarisée n'avait été réfléchie qu'une seule fois.
N- XVI. Pour faire cette comparaison avec quelque exactitude, j'ai employé la construction circulaire par laquelle Newton a représenté le retour des couleurs sur elles-mêmes. Les figures 2, 3 et U offrent cette construction pour les teintes données par les lames n° 1 , n° a et n° 3 , dont
Fig. 2.
j'ai parlé en exposant les résultats de mes observations, et font voir qu'effectivement ces couleurs répondent à peu près au milieu de l'arc compris entre la teinte primitive et la teinte diagonalement opposée.
lorsque la lumière a éprouvé deux réflexions, et, dans le cas d'une N° XVI. seule réflexion, au milieu de lare compris entre la teinte primitive et celle qui résulte de la double réflexion. La circonférence se trouve ainsi divisée en huit parties égales par les lignes qui répondent à ces diverses couleurs et à leurs complémentaires. Or puisqu'une demicirconférence répond dans cette construction à une différence d'une demi-ondulation dans l'intervalle des deux systèmes d'ondes qui concourent à la production d'une teinte, il est naturel de supposer, comme je l'ai fait, qu'un quart de circonférence doit répondre à une différence d'un quart d'ondulation, un huitième de circonférence à un huitième d'ondulation. En effet, un changement d'une demi-ondulation produisant la teinte complémentaire, un changement d'un quart doit faire naître une couleur également éloignée de cette teinte et de la couleur primitive qui lui est diamétralement opposée De même, une diminution ou augmentation d'un huitième d'ondulation doit produire une teinte également éloignée de la couleur primitive et de celle qui résulte d'une diminution ou augmentation d'un quart d'ondulation.
Ce raisonnement néanmoins peut ne pas paraître une démonstration suffisante de mon hypothèse. Pour la vérifier par un calcul rigoureux, il aurait fallu d'abord déduire de la teinte primitive, ou de l'épaisseur de la lame, les différents degrés d'accords et de discordances des deux systèmes d'ondes au sortir du cristal, relativement à toutes les espèces de rayons, supposer ensuite dans ces accords et ces discordances un changement d'un quart ou d'un huitième d'ondulation, déterminer les nouveaux rapports qui en résulteraient dans l'intensité des différentes couleurs du spectre, et en conclure la teinte du mélange. Mais il me manquait un élément essentiel de ce calcul. On
« Le blanc a la vérité remplirait cette définitive, il y a autant d'inégalités entre condition d'être également éloigné des deux les accords ou discordances des différentes teintes extrêmes; mais il est aisé de voir que espèces de vibrations ; seulement ce ne sont le changement d'un quart d'ondulation fait plus les mêmes rayons qui dominent dans varier les couleurs sans les affaiblir; car, en l'image.
N° XVI. n'a pas encore déterminé, que je sache, soit par l'observation, soit par la théorie, le degré d'éclat ou d'obscurité qui résulte, dans le concours de deux faisceaux lumineux homogènes, du degré d'accord ou de discordance de leurs vibrations
Quoique je n'aie point encore vérifié de cette manière l'exactitude de mon hypothèse , il me semble qu'étant confirmée par les phénomènes de simple dépolarisation, je puis la regarder comme démontrée, ou, du moins, comme très-probable. Le changement des teintes des lames cristallisées après deux réflexions de la lumière polarisée fait voir que ces réflexions l'ont divisée en deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle d'environ un quart d'ondulation , et son état de dépolarisation complète, au sortir des prismes, prouve que cet intervalle est exactement d'un quart d'ondulation; car, s'il était plus grand ou plus petit, les images ne conserveraient pas la môme intensité pendant la rotation du second rhomboïde. De même, le retour aux apparences de polarisation complète, après quatre réflexions consécutives, démontre qu'alors cet intervalle est exactement d'une demi-ondulation; car s'il était plus grand ou plus petit, la rotation du rhomboïde ne ferait point disparaître entièrement les images.
34. Je terminerai ce Mémoire en appliquant le principe que je viens d'établir aux phénomènes de coloration qui font le plus ressortir la différence entre la lumière polarisée ordinaire et celle qui u éprouvé cette modification singulière. On verra que la môme hypothèse sullit à l'explication de tous.
Un des caractères les plus remarquables de la lumière dépolarisée complètement par deux réflexions intérieures, c'est que les teintes des images ordinaires et extraordinaires conservent la même couleur et la même vivacité, quel que soit l'azimut dans lequel on dirige l'axe de la
'' J'ai résolu depuis ce problème des in- plument; mais je n'ai pas appliqué la formule lerférences. comme on le verra dans le sup- au cas donl il s'agit. [Noie marginale] (,).
<•» Voir N' XV 11.
lame cristallisée, pourvu que l'angle qu'il fait avec la section principale N* XVI. du second rhomboïde reste toujours de 11 est aisé maintenant de s'en rendre raison.
Soient PF le plan de la polarisation primitive, RR' celui de la réflexion, 00' l'axe de la lame cristallisée et SS' la section principale du second rhomboïde. Le faisceau, polarisé primitivement suivant PP', se décomposera en deux autres — t polarisés l'un suivant RR', et l'autre dans t le plan perpendiculaire TT', le premier se trouvant en arrière d'un quart d'ondulation par l'effet des deux réflexions consécutives. Je suppose toujours (sans cela la dépolarisation ne serait pas complète) que le plan de la polarisation primitive est dans un azimut de 65° par rapport au plan d'incidence; alors ces deux faisceaux lumineux sont d'égale intensité. Je les représente l'un et l'autre par /; mais pour distinguer celui qui est polarisé dans le plan d'incidence, et a éprouvé par rapport à l'autre un retard d'un quart d'ondulation, j'écrirai /i. Je représente enfin l'angle ROO par a.
En traversant la lame cristallisée, le faisceau /. se divisera en deux autres
cosaa/i + 0 et sin2 a /; + ,,.
polarisés, le premier suivant l'axe du cristal 00', et le second dans le plan perpendiculaire EE'. o et c représentent ici les nombres de vibrations des rayons ordinaires et extraordinaires dans la lame cristallisée W. De m£me, le faisceau /, polarisé suivant TT', se divisera en deux autres sii^a/ô et cos5a/f. Par l'action du second rhomboïde de spath calcaire chacun de ces quatre faisceaux lumineux se divisera
(,) Les explications des phénomènes don- l'aide des formules d'interférence, comme <>ti nées ici d'une manière très-pénible peuvent le verra dons le supplément; il est inutile du être présentées beaucoup plus simplement h les lire. [.Vote marginale.)
V XVI. encore en deux autres, polarisés l'un suivant la section principale SS', et l'autre dans un plan perpendiculaire. Il suffit de considérer une de ces deux images, l'image ordinaire, par exemple, l'autre étant toujours d'une teinte complémentaire.
cos2acoss45°/i+0, sinaasin545°/i+e , sin'acos2 H5° f0
et cos5asins45°/,,
sont les quatre faisceaux constituants de l'image ordinaire. La combinaison qui développe la teinte dont cette image est colorée est celle du premier avec le quatrième et du second avec le troisième; car d'abord le premier faisceau avec le troisième, et le second avec le quatrième ne produisent pas de couleurs, puisqu'ils ont parcouru la lame cristallisée avec la même vitesse ; d'une autre part, la teinte résultant de la combinaison du premier avec le second se trouve détruite par celle qui résulte du concours du troisième faisceau avec le quatrième. En effet le plan de polarisation du premier faisceau , d'abord en CP , a passé successivement dans les plans CR, CO et CS; le plan de polarisation du second faisceau, partant aussi de CP, a pris successivement les directions CR, CE et CS'; ainsi les plans de polarisation de ces deux faisceaux, considérés d'un même côté du rayon C, se sont éloignés d'une demi-circonférence et placés sur le prolongement l'un de l'autre. Il faut donc, d'après la règle déduite des observations de M. Biot, ajouter une demi-ondulation à la différence entre les nombres d'ondulations de ces deux faisceaux au sortir de la lame, c'est-à-dire à ^H-c— Q+oJ, ou à c — o, ce qui donne l- + e — o. En suivant de même la marche des plans de polarisation des deux autres faisceaux, on voit qu'après s'être éloignés l'un de l'autre ils se rapprochent el se réunissent par un mouvement rétrograde; en conséquence, d'après la même règle, l'intervalle entre les deux systèmes d'ondes répond exactement à la différence entre les nombres de vibrations de ces deux faisceaux déduite de l'épaisseur de la lame, c'est-à-dire à c—o; ainsi la teinte produite par leur concours est complémentaire de celle qui
résulte de l'action du premier faisceau sur le second, et doit la neutra- N° XVI. User complètement, puisqu'elle est, en outre, de même intensité, comme on peut s'en assurer par l'inspection des formules qui représentent les faisceaux constituants.
Au contraire, la couleur produite par la combinaison du premier faisceau avec le quatrième est précisément la même que celle qui résulte du concours des deux autres; car la différence d'une demi-ondulation dépendante de la marche des plans de polarisation se trouve compensée par une différence égale dans les intervalles des deux systèmes d'ondes, puisque c— Q + o) est plus petit d'une demi-ondulation que 7 + e- o. Ainsi ces deux teintes, loin de se détruire comme les précédentes, s'ajouteront et se fortifieront mutuellement.
11 est aisé de voir actuellement qu'elles doivent conserver la même vivacité pendant la rotation du second rhomboïde, sur lequel je suppose qu'on a fixé la lame cristallisée; car le faisceau cos'a cos?45°/i+0
sera toujours égal en intensité au faisceau cos^asinMô0/,, ainsi que
le faisceau sinaa sin2 45°/i + e au faisceau sin2a cos2 45°/0 pour toutes les valeurs de a : ainsi il ne se mêlera point de blanc à la teinte de l'image pendant la rotation du rhomboïde et de la lame cristallisée, comme cela arrive quand on se sert de lumière polarisée ordinaire.
35. Je passe maintenant au cas où la lame cristallisée est placée entre le premier rhomboïde et les prismes accouplés, et son axe situé dans un azimut de &5° par rapport au plan d'incidence et à celui de la polarisation primitive. L'appareil ainsi disposé, en faisant tourner le second rhomboïde on voit les images se colorer successivement de toutes les nuances de l'ordre d'anneaux auquel appartient la teinte primitive de la lame cristallisée. C'est peut-être la propriété qui caractérise le plus la modification imprimée par deux réflexions complètes; car la lumière polarisée ordinaire ne développe jamais qu'une espèce de teinte et sa couleur complémentaire dans une lame mince
&• XVI. parallèle à Taxe de cristallisation, telle que celles dont je me suis servi dans mes expériences, quand elle reste perpendiculaire aux rayons incidents; et la rotation du rhomboïde de chaux carbonatée , avec lequel on les observe , n'y apporte d'autre changement que celui de leur intensité, par le mélange dune quantité plus ou moins grande de lumière blanche.
Soit RR' le plan d'incidence et celui de la polarisation primitive,
qui par hypothèse doivent coïncider ou être perpendiculaires entre eux, puisqu'ils font chacun un angle de 65° avec l'axe 00' de la lame cristallisée. Je suppose ici qu'ils coïncident; les raisonnements seraient analogues s'ils faisaient entre eux un angle droit. Le faisceau lumineux polarisé suivant RR', en traversant la lame cristallisée , se divisera en deux systèmes d'ondes, l'un polarisé suivant 00', et l'autre dans le plan perpendiculaire EE' : le premier sera représenté par^ et le second par ft, d'après la notation que j'ai adoptée. Chacun de ces faisceaux, en se réfléchissant dans les prismes accouplés, se partagera en deux autres polarisés l'un suivant le plan de réflexion, l'autre dans le plan perpendiculaire TT\ ce qui produira en tout quatre faisceaux,
cosM5 /p + i, MH245 /e, eosMô + i , sin*J45
ou
ïfo+{' ] fo • â ft + \ ' 3 ft •
Si l'on place la section principale du second rhomboïde dans le plan RR', il n'y aura que les deux faisceaux • f9 + i et + i qui concourront à la formation de l'image ordinaire; et comme la différence entre 0-4-7 d et e + j d est égale à celle entre 0 et e, il est clair que la teinte dont cette image se colorera sera la môme que si la lumière en sortant de la lame était entrée directement dans le second
rhomboïde. Quant à l image extraordinaire, sa couleur sera compté- \" XVI. mentaire de celle-là, et elles auront échangé leurs teintes, comme dans le cas ordinaire, lorsque la section principale du rhomboïde sera parallèle au plan perpendiculaire TT'; mais elles ne passeront pas au blanc dans l'azimut do 4 5°. En effet, quand la section principale du second rhomboïde sera dirigée suivant 00', chacun des quatre faisceaux '-/0 + l, l^f0f ^/t + i. l-fe se subdivisera en deux autres polarisés, l'un suivant 00', et l'autre dans le plan perpendiculaire EE'. Il suffit de considérer les quatre faisceaux polarisés dans le plan de la section principale, qui concourent à la production de l'image ordinaire, l'autre image étant toujours d'une teinte complémentaire. Dans le concours de ces quatre faisceaux \f0 + i, \f0, \f* + \&\f** 'a combinaison du premier avec le second détruit l'effet qui résulterait de celle du troisième avec le quatrième; car les deux teintes ainsi produites sont complémentaires et d'égale intensité. D'abord elles sont d'égale intensité en raison de l'égalité des faisceaux constituants; en second lieu elles sont complémentaires, parce que les plans de polarisation des deux faisceaux \f0 + i et + apiès s'être écartés, s»* sont rapprochés et réunis par un mouvement rétrograde , tandis que ceux des deux faisceaux - f0 et fe se sont éloignés d'une demicirconférence, ce qui augmente d'une demi-ondulation l'intervalle qui sépare ces deux systèmes d'ondes. Au contraire l'influence du premier faisceau sur le quatrième tend à produire le même effet que celle du second sur le troisième; car la différence d'une demi-ondulation résultant de la marche des plans de polarisation se trouve compensée dans ce cas par une différence semblable entre les deux intervalles des systèmes d'ondes ainsi accouplés, puisque (?~(° + ^) *'sl plus petit de ^ que e+lf —o. Ainsi, la teinte de l'image, pour relie position du second rhomboïde , sera celle que développerait , dans la même lame, la lumière polarisée préalablement modifiée par deux réflexions complètes.
36. Je suppose maintenant qu'on place la section principale du
N° Xyi. second rhomboïde dans une direction intermédiaire SS'; si l'on représente par 5 l'angle RCS qu'elle fait avec le plan d'incidence, l'image ordinaire contiendra les quatre faisceaux suivants :
COSJâ/o + i. sin5-/0. cos*-/e4.i, sins-y,. R,0,R,S. R,0,T',S. R,E,R,S. R,E,T,S'.
Les lettres qui sont au-dessous de chaque faisceau indiquent la inarche de son plan de polarisation. Elles font voir qu'en combinant le quatrième faisceau avec les précédents il faut ajouter une demiondulation à la différence entre les chemins parcourus.
Lorque s est nul, le second faisceau et le quatrième s'évanouissent, et l'image n'est colorée que de la teinte résultant du concours du premier et du second , qui est semblable à celle que développe dans la même lame la lumière polarisée ordinaire. Quand l'angle s est de 45°, sin'j et cosai étant égaux, l'effet produit par la combinaison du premier faisceau et du troisième est neutralisé par l'action du second sur le quatrième, et alors la teinte de l'image est celle qui résulte du concours du premier faisceau avec le quatrième et du second avec le troisième. Mais pour toute autre valeur de s comprise entre zéro et 65°, la couleur de l'image ordinaire doit être un mélange de deux teintes répondant à 5 = 0, et à s= 65°, dans lequel la première ou la seconde dominent d'autant plus que CS s'approche davantage de Cil ou de CO.
Dans la combinaison du premier faisceau avec le quatrième, et du second avec le troisième, le second et le quatrième, qui sont plus faibles que les deux autres, n'agissent dans ceux-ci que sur une quantité égale de lumière, et les parties restantes (cosaj — sin2s) £ /„ + . ,
(cosa5 — sin's) ^/e + i> qui «e sont point modifiées par le second et le quatrième faisceau, en s'influençant réciproquement produisent la seconde teinte, qui se mêle à la première. Or, les intervalles entre les deux systèmes d'ondes qui déterminent chaque teinte ne différant que d'un quart d'ondulation, elles ne se neutraliseront pas récipro-
quement, comme deux couleurs complémentaires, mais leur mélange N" XVI. produira une teinte intermédiaire, qui devra être une moyenne exacte, quand les faisceaux constituants de chaque teinte auront W une égale intensité (,); elle sera donc alors de même nature que celle qui résulte fune différence d'un huitième d'ondulation, mais un peu moins pure,
(,) Il est possible que les formules de Malus/sin* i et /cos* i , qui représentent bien le rapport d'intensité des deux faisceaux dans lesquels la lumière est divisée par la double réfraction quand i est égal à zéro, 45* ou go" , ne le représentent plus exactement pour les azimuts intermédiaires, du moins suivant
les principes de la théorie des ondulations.
[Je n'avais point encore fait attention que sin* i et cos* i représentent les intensités de la sensation . et sin i , cos i les vitesses des molécules lumineuses dans leurs oscillations, conformément au principe de la conservation des forces vives. — (Noie marginale.) ]
l,) L'auteur a retranché le passage suivant de sa première rédaction, se réservant de traiter dans le Supplément de son Mémoire ce qui n'y est qu'indiqué, ainsi qu'il résulte d'une note marginale an crayon :
Var la même intensité, c'est-à-dire lorsque cos** -sin* * sera égal
à i sin1 5; mais cette équation donne un tiers de quadrant pour la valeur de s; d'où il résulterait que pour avoir la couleur moyenne entre celles qu'on observe en plaçant la section principale du second rhomboïde dans les plans RR' et 00', il faudrait, en parlant de la direction RR', lui faire parcourir les deux tiers de l'angle RCO, et non pas la moitié, comme l'analogie paraîtrait l'indiquer. Je me propose de vérifier ce résultat de la théorie que je viens d'exposer et des formules de Malus, aussitôt que l'appareil gradué, que je fais construire, sera terminé. Cette vérification, quoique fort délicate, me parait possible en prenant pour terme de comparaison de la teinte moyenne celle que développe dans la même lame la lumière polarisée qui n'a éprouvé qu'une seule réflexion intérieure.
A cette difficulté près, qui me reste à lever et qui ne me paraît point encore une objection contre la théorie que je viens d'exposer, je crois avoir expliqué comment une lame cristallisée parallèle à Taxe pouvait présenter, pendant la rotation .du second rhomboïde, ces variétés de couleurs qu'on n'avait remarquées jusqu'à présent que dans les plaques de cristal de roche taillées perpendiculairement à l'axe et dans certains fluides. Je suis parvenu à imiter encore plus complètement
àSà THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION.
N* XVI. ce me semble, parce qu'aucune espèce de rayons n'y sera totalement détruite. Néanmoins, je crois que cette différence de vivacité doit être aussi difficile à reconnaître que celle qui existe entre le vert homogène du spectre et le vert composé de jaune et de bleu.
37. Je ne m'étendrai pas davantage sur la théorie de ces phénomènes dans lesquels les lames cristallisées parallèles à l'axe se colorent suivant des lois si différentes de celles qu'on avait observées jusqu'à présent. Ce que j'en ai dit suffit pour faire voir comment on peut, à l'aide d'une seule hypothèse, expliquer ces nouvelles teintes par les mêmes principes que la coloration ordinaire des lames crislallisées.
Je suis loin cependant de considérer la théorie que j'ai exposée dans ce Mémoire et le précédent comme une explication complète des phénomènes. Les principes sur lesquels elle repose présentent encore des difficultés qui ne pourront être résolues sans doute que lorsqu'on saura en quoi consiste cette modification transversale .des ondes lumineuses à laquelle Malus a donné le nom de polarisation.
En attendant, il n'est pas inutile de tâcher de réunir les faits sous
les phénomènes de coloration que présentent les plaques de cristal de roche perpendiculaires à l'axe, en plaçant la lame mince parallèle à Taxe entre deux systèmes de prismes accouplés, disposés de façon que le plan de réflexion dans le premier système fût perpendiculaire au pian de réflexion dans le second. Alors , non-seulement la rotation d'un des rhomboïdes changeait la nature des teintes, mais elles paraissaient ne dépendre, comme dans les plaques de cristal de roche perpendiculaires à l'axe, que de l'angle que faisaient entre elles les sections principales des deux rhomboïdes; car en les faisant varier de la même quantité et dans h même sens, je n'altérais point les couleurs des images. Je donnais aussi à re système des quatre prismes et de la lame cristallisée la propriété de faire tourner les molécules lumineuses de droite à gauche ou de gauche à droite, pour me servir des expressions de M. Riot, selon le côté où je plaçais l'axe de la lame cristallisée par rapport au plan de; réflexion. On peut se rendre compte des singuliers résultats de cette expérience par des raisonnements semblables à ceux que je viens de faire pour un cas moins compliqué.
I" MÉMOIRE SUR LA RÉFLEXION DE LA LUMIÈRE POLARISÉE. 485 un même point de vue, eu les rattachant à un petit nombre de prin- y XVI. cipes généraux. C'est le moyen d'en saisir plus aisément les lois, et je pense que des efforts de ce genre peuvent contribuer, autant que les observations mêmes, à l'avancement de la science.
A Paris, le 10 novembre 1817.
. N* XVJf.
N- XVH.
SIR LES MODIFICATIONS QUE LA RÉFLEXION IMPRIME A LA LUMIÈRE POLARISÉE"1
[nisuni i fiurriTur ut 19 jartiei» 1818. 1
1. (''Les méthodes particulières que j'ai suivies jusqu'à présent pour expliquer les principaux phénomènes de la coloration des lames cristallisées ne peuvent s'appliquer qu'à des cas fort simples, et où il n'est pas nécessaire, pour juger des variations des teintes, de connaître la loi générale de l'influence réciproque des ondes lumineuses. Dès
l" Ce Mémoire est le supplément d'an joint et n'a été présenté à la signature de autre qui avait été lu à l'Institut le a h no- M. Delambre que vers la tin du mois de vembre 1817. Mais ce supplément n'y a été janvier 1 8 1 8. — [ Note marginale.
w Ce supplément N* XVlt est en partie compris dans le rapport académique du 4 juin 1 8a 1 . (Voir ci-après , N* XX ). 11 se rattache autant aux Mémoires sur la diffraction . N" XI et XIV, qu'aux Mémoires sur les couleurs des lames cristallisées douées de la double réfraction, N" XV et XVI.
Voir, à l'occasion de ce Mémoire, la note (b), p. 171, et les lettres à Léouor Fresnel de» •j8 novembre 1817 et 3 juin 1818.
Noos reproduisons ici le texte du manuscrit autographe déposé aux archives de l'Institut; il porte des notes marginales au crayon de la main d'A. Fresnel, et postérieures 0 la rédaction primitive.
Nous croyons inutile de signaler tout™ les parties empruntées textuellement a cet <!ci it et insérées dans d'autres Mémoires.
Y XVII. qu'on veut calculer ces teintes avec précision, ou même se rendre compte seulement des faits les plus saillants, quand le nombre des faisceaux constituants est un peu considérable, on sent la nécessité de déterminer exactement l'action qu'ils exercent les uns sur les autres.
ta solution générale des questions de cette espèce dépend donc de la solution du problème suivant :
Etant données les intensités d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes lumineuses, et leurs positions respectives, ou leurs différents degrés d'accords a de discordances, déterminer l'intensité de la lumière totale.
J'entends par intensité de la lumière celle du mouvement lumineux, c'est-à-dire la vitesse des molécules de l'éther dans leurs oscillations. Quant à l'intensité de la sensation, qui paraît devoir être proportionnelle au carré de cette vitesse, il n'est pas nécessaire de la considérer ici (,).
*2. D'après le principe des petits mouvements, la vitesse totale imprimée à une molécule quelconque est égale à la somme des vitesses que chaque onde lui aurait imprimée séparément. Gomme ces ondes ne coïncident pas, ces différentes vitesses ne dépendent pas seulement de l'intensité de chaque onde, mais encore de sa position par rapport à la molécule. 11 faut donc connaître la loi suivant laquelle les vitesses •l'oscillation varient dans la même onde, et pour cela remonter à la <ause qui l'a produite et dont elle tient tousses caractères.
L'hypothèse la plus simple qu'on puisse faire sur les vibrations des molécules des corps qui produisent la lumière, c'est qu'elles s'exécutent comme les oscillations d'un pendule, ou, ce qui revient au même, que la force accélératrice, qui tend à ramener les molécules dans leurs positions primitives, est proportionnelle à la distance dont elles s'en sont écartées. Quelque fonction qu'elle soit de cette distance, que je représente par a\ elle peut toujours être mise sous la forme
A.r 4- Rr2 -4- O3 + Dx* + etc.
' Il est plus naturel d entendre par intentitr de la lumière l'intensité de In tentation. —
[ \nie mttiffinnle. J
puisque la force accélératrice doit être nulle lorsque x = o. Or, si l'on V XVII. suppose les excursions des molécules très-petites par rapport a l'étendue des sphères d'activité des forces attractives et répulsives, on pourra négliger devant A.r tous les autres termes du développement, et regarder la force accélératrice comme sensiblement proportionnelle à la distance x.
On a donc en général dans cette hypothèse dv = — Axd/; mais r = ;jp ou d/ = ~; substituant dans la première équation, on trouve :
c(\v = — Axdx;
intégrant, on a.
d'où
Substituant cette valeur de .r dans la première équation, on a.
intégrant, et choisissant convenablement la constante introduite par cette nouvelle intégration,
/ = 4= arc ( sin = ^) . 011 ¥ = y/C sin ( / y/À) .
Si donc on prend pour unité de temps celui que la molécule emploie à revenir à sa première position, on aura, v = a sin (ntt). Par conséquent, dans des oscillations isochrones, les vitesses correspondant à la même valeur de t seront toujours proportionnelles à la constante a, qui représente ainsi l'intensité du mouvement vibratoire.
Considérons maintenant l'ondulation produite dans l'éther par les oscillations de cette molécule. L'énergie des vibrations lumineuses, à chaque point de cette onde, dépend de la vitesse de la molécule motrice au moment où elle a produit l'impulsion qui se fait sentir actuellement dans ce point. Ainsi la vitesse des molécules lumineuses en un point quelconque, après un temps t, est celle qui animait la molécule motrice à l'instant t - x représentant la distance de ce point
à la source du mouvement, et (/la longueur de l'ondulation lumineuse.
Sa
N° XVII. On a donc, en représentant par u la vitesse des molécules lumineuses. « = asin j^27r(<—
On peut, à l'aide de cette formule, calculer l'intensité des vibrations produites par le concours d'un nombre quelconque de faisceaux lumineux, quand on connaît l'intensité de ces différents systèmes d'ondes et leurs positions respectives.
Je suppose d'abord qu'il s'agisse de déterminer les vitesses des molécules lumineuses dans les vibrations résultant du concours de deux systèmes d'ondes distants l'un de l'autre d'un quart d'ondulation, et dont les intensités sont a et a. Je compte le temps t à partir du moment où ont commencé les vibrations du premier faisceau lumineux. Soient u et u' les vitesses que le premier et le second système d'ondes tendent à imprimer à la même molécule lumineuse distante de la source du mouvement d'une quantité égale à x; on aura a = a sin [air (/ — J)J
et u' = a sin j^air (r-^i-)j , ou a' = - a' cos [ 27T [t - 1)] ; par conséquent, la vitesse totale U sera égaleà a sin [ 27r(f-^) J -a' cos £ 27r(f-^) J . Mais en faisant a = A cos î , et a' — A sin i , on peut toujours mettre cette expression sous la forme
A | cos i sin [nt(t -3)]— sin i cos [a7r(f — ^)] j,
ou
A sin [arc (l - -J) —
Ainsi, l'onde résultant du concours des deux autres sera de même nature, mais aura une position et une intensité différentes. Les équations A cos i = a, et Asini = a', donnent pour la valeur de A, c'est-àdire pour l'intensité de l'onde résultante, yaM^o\ C'est précisément la valeur de la résultante de deux forces perpendiculaires égales à a et à a'.
3. Il est aisé de voir aussi, d'après les mêmes équations, que la position de la nouvelle onde répond exactement à la situation angulaire de la résultante des deux forces perpendiculaires a et a'; car, d'après la formule U= A sin [271 (/ l'intervalle qui sépare cette onde
SUPPLÉMENT AU MÉMOIRE PRÉCÉDENT. 491 de la première est égal à S; or i est l'angle que la force a fait avec ,V XVII. la résultante A, puisque Acosi = a. Ainsi la similitude est complète entre la résultante de deux forces rectangulaires et celle de deux systèmes d ondes distants d'un quart d'ondulation.
Ce résultat était facile à prévoir, car il est clair que dans cette situation respective des ondes elles n'exercent plus d'action les unes sur les autres, étant également éloignées de la discordance et de l'accord. En effet, les points d'un des systèmes d'ondes où les molécules sont le plus agitées répondent à ceux de l'autre où le mouvement est nul au même instant. A la vérité, dans les parties intermédiaires les deux systèmes de vibrations à la fois tendent à pousser les molécules tantôt dans le même sens, tantôt dans des sens opposés, d'où résultent des additions et des soustractions de vitesses; mais il est aisé de voir que les additions sont exactement compensées par les soustractions, en sorte qu'en définitive les vibrations de chacun des deux faisceaux lumineux ne sont affaiblies ni fortifiées par celles de l'autre, et qu'on peut les considérer en conséquence comme s'exécutant séparément et indépendamment les unes des autres. C'est ainsi que deux forces perpendiculaires appliquées à un même point lui impriment, chacune suivant sa direction , des vitesses égales à celles qu'elles auraient produites séparément.
U. La solution que je viens de donner du problème, dans le cas particulier où il s'agit de trouver la résultante de deux ondes séparées par un intervalle d'un quart d'ondulation, suffit pour le résoudre dans tous les autres cas. En effet quels que soient le nombre des différents systèmes d'ondes et les intervalles qui les séparent, on peut toujours substituer à chacun d'eux ses composants rapportés à deux points communs distants d'un quart d'ondulation. Alors en ajoutant ou retranchant, selon leurs signes, les vibrations des composants rapportées au même point, on ramènera le mouvement total à deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle d'un quart d'ondulation, et la racine carrée de la somme des carrés de leurs intensités sera celle de la lumière totale. C'est absolument le procédé qu'on emploie en statique pour trouver la résultante d'un nombre quelconque de forces. La longueur de l'ondula-
N8 XVII. tion répond ici à la circonférence dans le problème de statique, et l'intervalle d'un quart d'ondulation entre les systèmes d'ondes à l'intervalle angulaire d'un quart de circonférence qui sépare les composantes.
5. H arrive le plus souvent, dans les problèmes d'optique, que les intensités de lumière ou les teintes que l'on veut calculer ne résultent que du concours de deux systèmes d'ondes seulement, comme dans les anneaux colorés et les phénomènes de coloration les plus ordinaires que présentent les lames cristallisées; en sorte qu'il est bon de connaître la formule générale qui donne la résultante de deux systèmes d'ondes séparés par un intervalle quelconque. On prévoit déjà le résultat que l'on obtiendrait en appliquant à ce cas la méthode générale que je viens d'exposer; mais je ne crois pas inutile de m 'appesantir encore sur la théorie de ces mouvements vibratoires, et de prouver directement que l'onde résultant du concours de deux autres, quelles que soient leurs positions relatives, répond exactement, pour son intensité et pour sa situation, à la résultante de deux forces égales aux intensités des deux faisceaux lumineux, et faisant entre elles un angle qui soit à la circonférence entière comme l'intervalle qui sépare les deux systèmes d'ondes est à la longueur d'une ondulation.
Soit x la distance du centre du premier système d'ondes à la molécule lumineuse que l'on considère, et / l'instant où l'on veut calculer sa vitesse; celle que lui imprime l'onde du premier système est égale à <?sin £27r(f — ^)J, a étant l'intensité de ce faisceau lumineux. Si l'on représente par a l'intensité du second , et par c l'intervalle qui sépare les points correspondants des deux systèmes d'ondes, la vitesse résultant du second sera a'sin ^27r(f — , et par conséquent la vitesse
totale imprimée à la molécule, a sin [air(f-J)] +fl'8™ [aw('~ <
(a + a'cos 27rJ) sin 27r (/ — — a'sin 27T^cos [arc (f — |)J ; expression qui peut toujours se mettre sous la forme
Acosj sin [271 (/- ^)] — Asini'cos[27r(/~ |)J ,
SUPPLÉMENT Al MÉMOIRE PRÉCÉDENT. A93 on V XVII.
Asin[air(l-?)-i],
■■n faisan!
fl-Ha'cos (271^) = A cos i, et a'sin ^2tr^j = A sin i.
Élevant chaque membre de ces équations au carré, et les ajoutant, on a ,
A" = a1 a* 4- 2 ad cos {in ^ :
d où
A = ± yJ~à*+Mrl + lad cos ( aw .
C'est la valeur de la résultante de deux forces a et d faisant entre elles un angle égal à 27r^-
Il résulte de cette formule générale que l'intensité de la lumière totale est égale à la somme de celles des deux faisceaux constituant**, dans le cas de l'accord parfait, à leur différence quand ils discordent complètement, et enfin à la racine carrée de la somme de leurs carrés lorsque leurs vibrations correspondantes sont à un quart d'ondulation les unes des autres, ce qu'on avait déjà démontré'1.
Il est facile de voir que la position de l'onde répond exactement à la situation angulaire de la résultante des deux forces a et a. En effet, la distance de la première onde à la seconde est c, et à Tonde résultante ~d, et la distance de celle-ci à la seconde c — ~d. Par conséquent les angles correspondants sont awj, i et a^J-/. Or en multipliant par sin i l'équation a + a' cos (2^3) — Acos i. et par cosi
l'équation a'sin 27r^ = A sin i, et les retranchant l'une de l'autre, on trouve
a sin r = d sin (> * £ — ■» ) .
(>> J'entends toujours par intensité de la lumière, dons ce Mémoire et le suivant, non pas l'intensité de la sensation, mais la
vitesse des molécules lumineuses «Inns leui> oscillations. [Note marginale.]
494 THÉORIE DE LA LUMIÈRE. — DEUXIÈME SECTION. V XVII. qui, avec l'équation
a'sin (air^) = Asim,
donne la proportion
sin^air^ — ij :sinï:sin air^: :a:a': A.
L'expression générale Asin 2ir{t— ^) — î] de la vitesse des molécules dans Tonde résultant du concours de deux autres démontre que" cette onde a la même longueur que ses composantes, et que les vitesses des points correspondants sont proportionnelles; en sorte que l'onde résultante est toujours de même nature que ses composantes et n'en diffère que par l'intensité, c'est-à-dire par la quantité constante qui multiplie les rapports de vitesse de toutes les molécules qui la composent. En la combinant successivement avec de nouvelles ondes, on retrouverait toujours des expressions de même forme, propriété remarquable de cette sorte de fonctions. Ainsi, dans la résultante d'un nombre quelconque de systèmes d'ondes de même longueur, les molécules lumineuses sont toujours animées de vitesses proportionnelles à celles des composantes, aux points situés à la même distance de l'extrémité de chaque onde.
J'ai fait voir dans le second Mémoire que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie M, que pour expliquer la position des anneaux colorés réfléchis, il fallait supposer que la réflexion à la surface des corps transparents a lieu jusqu'à une profondeur d'un quart d'ondulation W,
l) Le docteur Young a très-bien expliqué que le corps choqué, et en concluant que
la tache noire centrale sans cette hypothèse . les vitesses des molécules lumineuses doivent
m rappelant que la vitesse d'un corps élas- être affectées de signes contraires dans leur
tique qui en choque un autre change de réflexion en dehors et en dedans du verre,
signe selon qu'il a plus ou moins de masse [ Note marginale de fauteur. ]
Supplément au deuxième Mémoire sur la diffraction N* X, $S 18 et 19. Dans la présente édition ce Mémoire est réellement le quatrième parmi ceux que l'auteur a déposés à l'Académie des sciences ; mais Fresnel ne considérait son premier Mémoire et le complément qu'il y avait joint (n" II et IV) que comme un essai de rédaction du Mémoire n* VIII, qui a dû porter, dans une édition complète, le titre de deuxième Mémoire sur la 1
ce qu'on pouvait encore démontrer directement, comme je l'ai fait ob- iV XVII. server, par des considérations sur la réflexion même. H résulte de la théorie que je viens d'exposer que, malgré la multitude d'ondulations partielles dont se compose l'onde réfléchie, dans cette hypothèse, elle est aussi simple que l'onde incidente et absolument pareille, à l'intensité près.
6. Je vais appliquer maintenant cette théorie au calcul des couleurs produites par les lames cristallisées dans plusieurs cas particuliers, et je m'occuperai d'abord de celui où deux lames parallèles à l'axe, de même nature et d'égale épaisseur, ont leurs axes croisés sous l'angle de A5°. M. Biot a conclu de ses formules que lorsque la section principale du rhomboïde de spath calcaire, dont on se sert pour analyser la lumière, est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polarisation, la teinte de chaque image doit rester invariable quand on fait tourner dans son plan le système des deux lames croisées. On va voir que la théorie des interférences conduit à un résultat différent. Soit PP' le plan de la polarisation primitive, 00' l'axe de la première lame, et 0,0/ celui de la seconde. Je suppose que la section principale du rhomboïde de spath calcaire, avec lequel on observe ces couleurs, soit parallèle à PP\ Je représente par t l'angle PGO. Pur l'action du premier cristal le faisceau lumineux se divisera en deux systèmes d'ondes polarisés, l'un suivant l'axe 00' et l'autre suivant le plan perpendiculaire EE'. Les ondulations ordinaires s'exécutant. dans le cristal d'une manière indépendante des ondulations extraordinaires, puisque des rayons lumineux polarisés en sens contraires ne s'influencent pas, on doit assimiler ces deux systèmes d'ondes à deux forces perpendiculaires entre elles W. Ainsi A représentant la vitesse des tno-
(1> On doit assimiler aussi à deux forces dans lesquels se divise la lumière à la surperpendiculaires les deux systèmes d'ondes face des corps transparents , quoique les
V XVII. Seules dans la lumière incidente, et a et a! leurs vitesses dans les faisceaux ordinaire et extraordinaire, on a l'équation : A5 = ûa -+• a'4 •'*•', qui signifie que A étant le rayon du cercle, a et cl sont le sinus et le cosinus du même angle. Mais cet angle doit être nul quand i est nul, égal à 45° quand i est de 45°, égal à 900 quand i est un angle droit, et ainsi de suite pour chaque huitième de circonférence; il est donc naturel de supposer que cet angle est précisément l'angle 1*. On verra d'ailleurs que les résultats auxquels conduit cette hypothèse s'accordent hien avec les faits.
rayons réfléchis et les rayons réfractes s'influencent mutuellement quand ils sont ramenés à la même direction, parce qu'au moment où ils se séparent ils tendent 0 produire des ondes indépendantes (**). Par conséquent, le carré de la vitesse des molécules lumineuses dans le faisceau incident doit être égal a la somme des carrés des vitesses des molécules dans le faisceau réfléchi et le faisceau transmis w. C'est au moyen de ce principe que le docteur Young a su concilier .son explication des anneaux transmis avec une expérience très-importante de M. Arago, qui démontre qu'ils sont d'une intensité absolue égale à celle des anneaux réfléchis. Ainsi il parait bien prouvé que les anneaux transmis sont formés par le concours des t'avons directs et des rayons réfléchis deux fois dans la lame d'air. Or, pour concilier maintenant celte formation des anneaux transmis avec les conséquences auxquelles j'ai été conduit sur la profondeur de la ré-
flexion à la surface des corps transparents . il faut supposer que, indépendammeut de* chemins parcourus, les rayons réfléchis diffèrent d'un quart d'ondulation des rayons transmis. Cette hypothèse, qui me parait très-probable en elle-même, a l'avantage de donner en quelque sorte une nouvelle raison du principe que je viens d'énoncer.
Il n'est pas inutile peut-être de rappeler un autre principe démontré par l'analyse mécanique, qui a beaucoup de rap|K>rl avec celui-ci : c'est que la vitesse des molécules lumineuses, à mesure que les onde* s'éloignent du centre de vibration , diminue proportionnellement a cette distance (***), tandis que l'étendue de la surface à laquelle se communique le mouvement ondulatoire augmente proportionnellement au carré de la même distance. Ainsi, dans ce cas. comme dans le précédent, les subdivisions des vitesses sont les racines carrées des subdivisions des ravons.
•'■ Cette équation se déduit Sien ;.' is naturellement du principe de la conservation des force> »i\es, auquel je ne songeais pas alors. [Mole margiuale.]
'*•'< Il faut substituer ici le principe de la conservation des forces vives à l'assimilation à deux force* perpendiculaires, f \ote marginale. ]
C'est encore la conservation des forces vi\es. [Mote marginale. \
Ot vnoncé incomplet a été plus tard rectifié par Fresnel, en tenant compte des différentes densi les de I etlier dan» divers milieux. — Vovpï le V XXXI. [E. Vbudet.]
Ainsi, A étant l'intensité de la lumière incidente, A cosi sera celle N° XVII. du faisceau polarisé suivant 00', et Asim'celle du faisceau polarisé suivant EE'; enfin, par l'action de la seconde lame cristallisée et du rhomboïde de spath calcaire, chacun de ces faisceaux se divisera en quatre, ce qui fera en tout huit systèmes d'ondes, dont quatre dans l'image ordinaire et quatre dans l'image extraordinaire.
Les quatre faisceaux composant l'image ordinaire seront :
cos icos 45° cos (45°-f i) A0 + 0 cos is'm 45°sin (45° i) A&^,
