I\0,0„P. P,0(E'MI

— sin isin45°cos(45°+i) Ar + 0 sin i cos 45°sin + Ar + . P,E',0'„P'. P,E',E'„P.

o et e représentant les nombres des ondulations ordinaires et extraordinaires dans chacune des lames cristallisées, pour l'espèce de rayons que l'on considère. J'ai employé ici la même notation que dans le Mémoire précédent. Les lettres placées sous chacun des faisceaux constituants indiquent la marche de leurs plans de polarisation. La valeur du troisième faisceau est affectée du signe — , parce que l'extrémité P de son plan de polarisation, au lieu de revenir en P, comme dans les autres faisceaux, est allée en P'. Or, d'après la règle déduite des observations de M. Biot, cette opposition dans la marche du plan de polarisation entraîne une différence d'une demi-ondulation, qu'on peut également indiquer par le signe — ou par l'addition de x- au nombre o -f- c des ondulations parcourues.

Le second et le troisième faisceau comptant le même nombre d'ondulations, leurs vitesses s'ajoutent, et les quatre faisceaux se réduisent ainsi à trois :

yj ^cosi'cos(/»ôV/')A2o âA»-*-< y/£sinisin(450-l-i)\

Pour calculer l'intensité de la lumière résultant de leur concours, je les rapporte à deux points séparés par un intervalle d'un quart d'ondulation. Je prends pour le premier de ces points celui qui répond a '»-+-<* . et pour le second celui qui répond à o + c-h^.

V" XVII. Je trouve pour la somme des composantes rapportées au premier point :

A J y/^ cos i cos (4 5" | t) cos [ 2 7r (e - o)] + J + y/^ si n i sin (4 5° + i) cos [ 2 tt (c-o)] |

A|î + ;cos[air(«-o)]j; et pour la somme des composantes rapportées au second point :

A j-y^cosi'cos(45B+i)sin[27r(<?-o)] +^sim'sin (45°+i) sin [a7r(e-o)]|

— A ^jx- cos(45"-+- 2i)sin[27r(e — o)].

Ajoutant les carrés des deux sommes, on a : Aajj + ^œs[27r(e-o)]4-^cosJ[27r(e-o)] + icos2(ii504-2i')sin'i[27r(<' o)]j ou

AaJ J + ^ cos[aw {e — o)}+ + J sin2[a7r(e — o)][i cos1 (45° -l- 21')— i ] j,

A2 j i+J cos [a»(«- 0)] -h ^ sin' [27T (e - 0)] cos [2 (45* + ai)] j, ou enfin

A2}^-l-^cos[2ir(e - o)] - £sin2[a7r(c — o)J sin 4* |-

Ainsi l'intensité de chaque espèce rie rayons dans l'image ordinaire est donnée par la formule :

A + ^ cos [arc (e- 0)]- Jsin t\i sina[2ir(e -0)]

dans laquelle 0 et e représentent les nombres de leurs ondulations ordinaires et extraordinaires dépendant de la longueur de ces ondulations et de l'épaisseur des lames cristallisées.

Si l'on cherche pareillement l'expression générale de l'intensité «les layons qui composent l'image ordinaire, dans le cas où l'on ne fait traverser ;i la lumière polarisée qu'une seule des deux lames disposée

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«le façon que son axe fasse un angle de 65° avec le plan de la polari- N° XVH. sation primitive, on trouve :

A=v^+>c0Sf27r(e~0^

On voit que ces deux formules ne diffèrent que par le ternit* — ^ sin 4» sin2 [27r(e — o)], qui se trouve dans la première et n'est pas dans la seconde. Par conséquent les teintes doivent être semblables dans toutes les positions «lu système des deux lames superposées qui font évanouir ce terme, c'est-à-dire lorsqu'on a i = 45°, i = 900, i= î35°,i"= 1800, etc. C'est aussi ce que l'expérience confirme, et pour ces valeurs particulières de i, le théorème de M. Biot est parfaitement exact. Mais dans tous les azimuts intermédiaires la teinte produite par les lames accouplées doit différer de l'autre. Cette conséquence de mes formules m'avait fait croire d'abord que je m'étais trompé dans mon calcul , ou dans les raisonnements sur lesquels il était appuyé, tant j'avais peine à supposer que cette variation de teinte, si elle avait lieu, eût échappé à un observateur aussi habile que M. Biot. Mais ayant remarqué qu'elle devait être Irès-léjjère , je pensai qu'il était possible qu'il ne l'eut pas aperçue, et on répétant l'expérience je me suis assuré qu'effectivement la teinte changeait d'une manière sensible.

Je ne me suis point servi du même moyen que M. Biot pour croiser les axes des lames à 65°. Après avoir choisi une lame de sulfate de chaux d'une épaisseur bien uniforme, et l'avoir coupée en deux avec une règle et un canif, j'ai superposé ces deux morceaux de façon que les cotés formés par la section commune fissent entre eux un angle de 45°, ce que je pouvais exécuter à moins d'un degré près avec un rapporteur; tandis que par le procédé de M. Biot on se trompe aisément de 2 ou 3 degrés <ur la direction des axes, si l'on n'y apporte le plus grand soin.

7. Les rayons pour lesquels e — o est un nombre entier, ou un nombre entier plus un demi, ne varient point d'intensité, quel que soil l'azimut dans lequel on tourne le système des deux lames, car alors le

" xvl1- terme — ^ sin Ai sin'2 [air (e — o)] s'évanouit. Mais les rayons pour lesquels e — o est un nombre entier sont ceux qui ont le plus d'intensité dans l'image, comme il est aisé de le voir par l'inspection de la formule, car dans ce cas elle devient égale à A; et les rayons pour lesquels e — o est un nombre entier plus un demi sont au contraire exclus de l'image, puisque cette valeur de e — o substituée dans la formule donne zéro. Ainsi ce sont toujours les mêmes espèces de rayons qui dominent dans l'image et qui en sont exclus; par conséquent, les variations de sa teinte doivent être assez légères. Aussi n'éprouve-t-elle que des changements peu sensibles dans la nature de sa couleur; mais la vivacité de cette couleur varie d'une manière plus prononcée et assez apparente pour qu'on puisse s'en convaincre en observant le phénomène avec attention.

D'après la formule ces variations portent principalement sur les deux espèces de rayons pour lesquelles e - o est égal à un nombre entier plus un quart, ou moins un quart; car alors dans le terme

— Jsin A' sin'2 [air (e — «)] le facteur sin'2 [air(c — o)] devient égal à i. (juand i est égal au quart du quadrant, sin Ai = 1, et le terme atteint son maximum. C'est alors que la teinte doit être la plus vive, puisque les layons hétérogènes mêlés avec ceux qui dominent dans l'image sont parvenus à leur dernier degré d'affaiblissement. Vu contraire, lorsque i est égal aux trois quarts du quadrant, sin hi devenant négatif, le terme - ^ sin A' sin'2 [ air (e — o)] change de signe, et les rayons

qui dominent dans l'image se trouvent alors mêlés avec la plus grande quantité possible de rayons hétérogènes. C'est donc dans cet azimut que la couleur de l'image est à son minimum d'intensité. L'expérience confirme parfaitement ces conséquences de la théorie.

On peut rendre beaucoup plus sensibles les variations d'intensité des rajous pour lesquels e — o est égal à n ■ - , en employant de la lumière homogène, au lieu de lumière blanche, et choisissant précisément cette espèce de rayons, que Ion reconnaît aisément à la propriété de donner des images d'égale intensité, lorsque l'axe d'une des deux

lames est parallèle ou perpendiculaire au plan primitif de polari- i\ XVII sation.

8. Je vais appliquer maintenant la même théorie à quelques-uns des phénomènes les plus singuliers que présentent les couleurs développées dans les lames cristallisées, lorsque la lumière est modifiée par la réflexion complète.

Je m'occuperai d'abord du cas où la lumière polarisée, après avoir traversé une lame mince cristallisée, est ensuite réfléchie deux fois dans l'intérieur du verre sous l'incidence qui produit la dépolarisation complète. Je suppose, comme dans mon dernier Mémoire, que l'axe de ce cristal fait un angle de 65° avec le plan de la polarisation primitive et le plan de réflexion. Soit PP' la projection de ces deux plans

qui, en conséquence de cette hypothèse, doivent coïncider ou être perpendiculaires entre eux; soit 00' l'axe de la lame cristallisée, et SS' la section principale du rhomboïde de spath calcaire, avec lequel ou observe les couleurs. Je représente par i l'angle PCS qu'elle fait avec le plan primitif de polarisation. F étant l'intensité de la lumière incidente, les deux faisceaux, dans

lesquels elle se divise par l'action de la lame, seront y/^ F0, et ^ F,: o et e représentant toujours les nombres des ondulations ordinaires et extraordinaires exécutées dans ce cristal par l'espèce de rayons que l'on considère. Par l'effet de la double réflexion dans l'intérieur du verre, chacun de ces faisceaux se divise en deux systèmes d ondes polarisés l'un parallèlement et l'autre perpendiculairement au pian d'incidence, celui-ci étant en avant d'un quart d'ondulation relativement au premier. Enfin le second rhomboïde (l) de spath calcaire divise chacun de ces quatre faisceaux en deux autres. Je ne considérerai

Je suppose ici, comme dans le Mé- tive est produite par mi rhomboïde de moire précédent, que la polarisation primi- spath calcaire.

V XVII. que ceux qui passent dans l'image ordinaire, l'image extraordinaire étant toujours de la teinte complémentaire. Les quatre faisceaux lumineux, qui concourent à la formation de l'image ordinaire, sont:

5 < so* i F0 i ^siniF0 ^cosiFtH j — ^sim'F, 1 l\0,P,S.' P,0,T,S. P,E',P,S.4 P.E'X.S'.

Je rapporte ces quatre systèmes d'ondes à deux points communs distants d'un quart d'ondulation, à ceux, par exemple, qui répondent à n et h n-t-^- Je trouve pour la somme de toutes les composantes rapportées au premier :

F j ^ sin i -I- l- cos î cos [ a ir ( e — o + l- ) ] ~ l- sin i cos [ a ir {e - o) ] ■ .

F|j sin i — cos i sin [air [c— o)] — £ sin i cos [air(c - o)]|: et pour celle des composantes rapportées au second :

F j | cos 1 4- \ cos i cos [air (c — o)] — £ sin i cos [air (e — o — i)] j .

F j ^ cos i -f cos i cos [air (e — o)] — ^ sin i sin [air (e — o)] j. La première de ces expressions équivaut à

F|îsini-isin[i-f-air(e-o)];,

et la seconde à

F[^cosi-H^cos[i4- air(f-o)]j; ajoutant leurs carrés, on trouve pour celui de la résultante :

F2 j l- -f- ^ — l- sin i sin [i -r air (e — o)) + ^ cos i cos [i -h air (e — o)] j .

F2j^cos[2«4-air(e-o)];:

Ainsi la résultante est égale à :

FV^cos^,+27r(<,~o^'

expression générale de l'intensité du rayon dans l'image ordinaire

9. Lorsque la lumière polarisée, qui a traversé la lame cristallisée. V XVII. est reçue immédiatement dans le second rhomboïde de spath calcaire . sans avoir été modifiée par la double réflexion, la section principale du second rhomboïde étant parallèle à celle du premier, l'intensité dey rayons qui composent l'image ordinaire est donnée par la formule :

F\/l + lcos[27r(e~0)}-

Ainsi la teinte de l'image réfléchie est la même que relie de. l'image directe lorsque i est égal à zéro.

Quand il est égal à 900, la première expression devient :

ce qui nous apprend que l'image réfléchie se colore de la teinte romplémentaire.

Lorsque 1 est égal à 45°, l'intensité des rayons dans I image réfléchie est représentée par

*yî+£cos[aw(e-o+i)]:

c est la teinte qui résulte d'un changement d'un quart d'ondulation dans l'intervalle (e — 0) d, ou celle que donne la même lame quand la lumière polarisée a éprouvé les deux réflexions complètes avant de la traverser.

Enfin, si l'on suppose dans la formule 1 égal a un quart ou à trois quarts de quadrant, on aura

Fy/; + ^cos[27r(e~o-h£)],

Fy/i + icos[air(e-o + |)].

Ce sont les deux espèces de teintes que développe dans la même la un la lumière polarisée modifiée par un nombre impair de réflexions complètes. Tous ces résultats de la théorie s'accordent parfaitement avec l'expérience.

10. Pour faire mieux ressortir les conséquences que l'on doit tirer

de la formule F i/^H-^ cos [21-1-271 (c — o)], je vais la comparer à

celle qui exprime l'intensité des rayons de l'image ordinaire, lorsque, toutes les autres parties de l'appareil restant dans la même situation, on supprime les prismes accouplés, dans lesquels la lumière éprouve deux réflexions consécutives. Je suppose donc que la lumière polarisée, après avoir traversé la lame cristallisée, est reçue immédiatement dans le rhomboïde de spath calcaire. Alors l'image ordinaire est formée par le concours des deux faisceaux

^«•(tf-iJF, y/Jsin^-OF.

Pour avoir leur résultante, on peut se servir de la formule générale qui donne immédiatement la résultante de deux systèmes d'ondes lumineuses, et l'on trouve :

F y/ £+rin(45* — i) cos ( 45° — i) cos [27T (e — o)],

F y/ ^cos 21 cos[27r(e — o)].

Cette formule fait voir que plus i s'approche de 65°, plus la teinte de l'image s'affaiblit, et qu'enfin lorsque i est égal à A5°, l'image doit Atre absolument incolore, puisque l'expression générale de l'intensité

des rayons devenant alors Fy/^~et étant ainsi indépendante des valeurs particulières de c et de o, ne varie point avec la longueur des vibrations lumineuses.

Dans la formule F y/ ^ -1-^ cos [21 H- 21c [e — 0)] du cas précédent, au contraire, quelle que soit la valeur de i, les variations de e et deo fout toujours passer cos [21 -h 2 7r(e — o)]par toutes les valeurs possibles , depuis 4- 1 jusqu'à — 1 . Par conséquent les intensités des rayons de différentes espèces se trouvent toujours aussi inégales, et la teinte de

l'image, tout en changeant de nature, doit conserver le même degré de vivacité.

Il résulte au contraire de la formule F y/ ^4-^cos ai cos [aw(e— o)] que, dans le second cas, la rotation du rhomboïde fait varier l'intensité de la couleur sans changer sa nature. En effet, les ondulations de différentes espèces s'exécutent indépendamment les unes des autres, non-seulement à cause de la différence d'origine, mais encore parce que dans leur marche leurs mouvements se contrarient aussi souvent qu'ils s'accordent: les rayons divers qui composent la lumière blanche exerçant donc sur l'organe de la vue des actions distinctes et indépendantes, la sensation de leur mélange n'est, à proprement parler, que le mélange des sensations partielles qu'ils lui font éprouver. Or il est très-naturel de supposer que la force de la sensation est proportionnelle au carré de la vitesse des molécules lumineuses dans leurs oscillations. Ainsi, pour juger de la nature de la teinte, il faut comparer les carrés des intensités des rayons de diverses couleurs, c'est-à-dire, dans le cas dont il s'agit, les différentes valeurs de l'expression qui est sous le radical. Or la seule quantité variable étant cos ai cos [aTr(c-o)], les variations répondant aux différentes espèces de rayons seront toujours dans le même rapport, quelle que soit la valeur de i, et seulement plus ou moins faibles relativement au terme constant ^ . On doit donc en conclure que la teinte ne changera pas de nature, et qu'elle n'éprouvera d'autre altération que celle qui résulte du mélange d'une plus ou moins grande quantité de lumière blanche.

1 1 . J'ai dit, dansle Mémoire précédent^, qu'on pouvait imiter les phénomènes que présentent les plaques de cristal de roche taillées perpendiculairement à l'axe, en plaçant une lame cristallisée parallèle à l'axe entre deux systèmes perpendiculaires de prismes accouplés, et de façon que son axe fit un angle de 65° avec chacun des deux plans de réflexion; qu'alors, non-seulement la rotation d'un des rhomboïdes faisait

w N« XVI, 8 it, p. ûôo.notes.

XVII. changer la nature des teintes, mais encore 411e ces teintes restaient constantes quand on faisait tourner les deux rhomboïdes dans le même sens et de la même quantité angulaire; mais je n'ai pas donné la raison de cette loi remarquable. Je terminerai ce supplément par l'application de la théorie des interférences à ce phénomène, que je considérerai dans toute sa généralité.

Soient PP' le plan de la polarisation Kir;. :i 0 "1 primitive; RR' le premier plan dans lequel

la lumière polarisée éprouve deux réflexions complètes; 00' l'axe de la lame cristallisée; RJt'i le second plan de réflexion, et SS' la section principale du second rhomboïde. Je représente l'angle PCS par t, l'angle PCR par r, l'angle PCR, par r, et l'angle PCO par a. L'image ordinaire sera formée par le concours

des huit faisceaux suivants :

-4- cos rcos (a —

r) cos (r

— a) cos (r

+ cos r cos [a —

r) sin (r

— a) sin [r

— cos r sin (a —

r) sin (r

— a) cos [r